2018-2019學年高中數(shù)學 第一章 不等關(guān)系與基本不等式章末復習學案 北師大版選修4-5.docx
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第一章 不等關(guān)系與基本不等式 章末復習 學習目標 1.梳理本章的重要知識要點，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進一步強化對平均值不等式的理解和應(yīng)用，尤其注意等號成立的條件.3.鞏固對絕對值不等式的理解和掌握，進一步熟練絕對值不等式的應(yīng)用.4.熟練掌握不等式的證明方法． 1．實數(shù)的運算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比較兩個實數(shù)的大小，判斷差的符號即可． 2．不等式的4個基本性質(zhì)及5個推論． 3．絕對值不等式 (1)絕對值不等式的解法 解含絕對值的不等式的基本思想是通過去掉絕對值符號，把含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式．去絕對值符號常見的方法有： ①根據(jù)絕對值的定義； ②分區(qū)間討論(零點分段法)； ③圖像法． (2)絕對值三角不等式 ①|(zhì)a|的幾何意義表示數(shù)軸上的點到原點的距離，|a－b|的幾何意義表示數(shù)軸上兩點間的距離； ②|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0時等號成立)； ③|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0時等號成立)； ④||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左邊“＝”成立的條件是ab≤0，右邊“＝”成立的條件是ab≥0)； ⑤||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左邊“＝”成立的條件是ab≥0，右邊“＝”成立的條件是ab≤0)． 4．平均值不等式 (1)定理1：若a，b∈R，則a2＋b2≥2ab(當且僅當a＝b時取“＝”)． (2)定理2：若a，b∈R＋，則≥(當且僅當a＝b時取“＝”)． (3)定理3：若a，b，c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥3abc(當且僅當a＝b＝c時取“＝”)． (4)定理4：若a，b，c∈R＋，則≥(當且僅當a＝b＝c時取“＝”)． (5)推論：若a1，a2，…，an∈R＋，則≥.當且僅當a1＝a2＝…＝an時取“＝”． 5．不等式的證明方法 (1)比較法．(2)分析法．(3)綜合法．(4)反證法．(5)幾何法．(6)放縮法． 類型一 絕對值不等式的解法 例1 解下列關(guān)于x的不等式． (1)|x＋1|＞|x－3|； (2)|x－2|－|2x＋5|＞2x. 解 (1)方法一 |x＋1|＞|x－3|， 兩邊平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1. ∴原不等式的解集為{x|x＞1}． 方法二 分段討論： 當x≤－1時，有－x－1＞－x＋3，此時x∈?； 當－1＜x≤3時，有x＋1＞－x＋3， 即x＞1， ∴此時1＜x≤3； 當x＞3時，有x＋1＞x－3，∴x＞3. ∴原不等式解集為{x|x＞1}． (2)分段討論：①當x＜－時， 原不等式變形為2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7， ∴不等式解集為. ②當－≤x≤2時，原不等式變形為2－x－2x－5＞2x，解得x＜－， ∴不等式解集為. ③當x＞2時，原不等式變形為x－2－2x－5＞2x， 解得x＜－，∴原不等式無解． 綜上可知，原不等式的解集為. 反思與感悟 含有兩個以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個含絕對值符號的代數(shù)式等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標注出來，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個區(qū)間的符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解．這種方法通常稱為零點分段法． 跟蹤訓練1 已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)當a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值． 解 (1)當a＝2時，f(x)＋|x－4|＝ 當x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1； 當2＜x＜4時，f(x)≥4－|x－4|無解； 當x≥4時，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5. 所以f(x)≥4－|x－4|的解集為{x|x≤1或x≥5}． (2)記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)， 則h(x)＝ 由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}， 所以解得a＝3. 類型二 不等式的證明 例2 已知a＞b＞c＞d，求證：＋＋≥. 證明 ∵a＞b＞c＞d， ∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0， ∴(a－d)＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)] ≥33＝9. ∴＋＋≥. 反思與感悟 不等式證明的基本方法是比較法，分析法，綜合法，在證明時注意對所證不等式恰當分組，選擇適當?shù)姆椒ㄟM行證明． 跟蹤訓練2 已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求證： (1)a＋b＋c≥； (2)＋＋≥(＋＋)． 證明 (1)要證a＋b＋c≥，由于a，b，c∈R＋， 因此只需證(a＋b＋c)2≥3， 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 根據(jù)條件，只需證a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca， 由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2可知， 原不等式成立． (2)＋＋＝， 在(1)中已證a＋b＋c≥， ∴要證原不等式成立， 只需證≥＋＋， ∵ab＋bc＋ca＝1， 即證a＋b＋c≤1＝ab＋bc＋ca. ∵a，b，c∈R＋，a＝≤， b≤，c≤， ∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(當且僅當a＝b＝c＝時取等號)成立， ∴原不等式成立． 類型三 利用平均值不等式求最值 例3 已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，則的最小值為______． 答案 3 解析 由x－2y＋3z＝0，得y＝， 則＝≥＝3， 當且僅當x＝3z時取“＝”． 反思與感悟 利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型 (1)當和為定值時，積有最大值． (2)當積為定值時，和有最小值，在具體應(yīng)用基本不等式解題時，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”． 跟蹤訓練3 當0＜x＜時，函數(shù)f(x)＝的最小值為________． 答案 4 解析 f(x)＝＝＋， ∵x∈，∴cos x＞0，sin x＞0. 故f(x)＝＋≥2＝4，當且僅當tan x＝時取“＝”． 類型四 恒成立問題 例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a. (1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若f(x)≥＋1對任意的實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解 (1)當a＝1時， f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4， ∴f(x)min＝4. (2)f(x)≥＋1對任意的實數(shù)x恒成立 ?|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋對任意的實數(shù)x恒成立 ?a＋≤4. 當a＜0時，上式成立；當a＞0時，a＋≥2＝4， 當且僅當a＝，即a＝2時上式取等號， 此時a＋≤4成立． 綜上，實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪{2}． 反思與感悟 不等式恒成立問題，通常是分離參數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問題．當然，根據(jù)題目特點，還可能用變更主次元、數(shù)形結(jié)合等方法． 跟蹤訓練4 已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}． (1)求a的值； (2)若|f(x)－2f|≤k恒成立，求k的取值范圍． 解 (1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2， ∵f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}， ∴當a≤0時，不合題意． 又當a＞0時，－≤x≤， ∴a＝2. (2)令h(x)＝f(x)－2f＝|2x＋1|－|2x＋2|， ∴h(x)＝ ∴|h(x)|≤1， ∴k≥1，即k的取值范圍是[1，＋∞)． 1．給出下列四個命題： ①若a＞b，c＞1，則algc＞blgc；②若a＞b，c＞0，則algc＞blgc；③若a＞b，則a2c＞b2c；④若a＜b＜0，c＞0，則＞. 其中正確命題的個數(shù)為( ) A．1B．2C．3D．4 答案 C 解析?、僬_，c＞1，lg c＞0；②不正確，當0＜c≤1時，lg c≤0；③正確，2c＞0；④正確，由a＜b＜0，得0＞＞，故＞. 2．設(shè)a，b為正實數(shù)，以下不等式恒成立的是( ) ①＞；②a＞|a－b|－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋＞2. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案 D 解析 ①不恒成立，因為a＝b時取“＝”；②恒成立，因為a，b均為正數(shù)； ③不恒成立，當a＝2，b＝1時，a2＋b2＝5,4ab－3b2＝5，a2＋b2＝4ab－3b2. ④是恒成立的，因為ab＋≥2＞2. 3．若a＝，b＝，c＝，則( ) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 答案 C 解析 a＝＝，b＝＝， ∵9＞8，∴b＞a. b＝＝，c＝＝， ∵35＞53，∴b＞c. a＝＝，c＝， ∵32＞25，∴a＞c.∴b＞a＞c，故選C. 4．求不等式＜1的解集． 解 ＜1?－1＜1＋x＋＜1? ∴原不等式的解集為(－2,0)． 5．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 解 設(shè)y＝|x－a|＋|x－2|，則ymin＝|a－2|. 因為不等式|x－a|＋|x－2|≥1對任意x∈R恒成立． 所以|a－2|≥1，解得a≥3或a≤1. 1．本章的重點是平均值不等式、絕對值不等式和不等式的證明方法．要特別注意含絕對值不等式的解法． 2．重點題型有利用不等式的基本性質(zhì)、平均值不等式、絕對值不等式證明不等式或求函數(shù)最值問題；解絕對值不等式． 3．重點考查利用不等式的性質(zhì)、平均值不等式求函數(shù)的最值，含參數(shù)的絕對值不等式有解、解集是空集或恒成立問題． 4．證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等．證明不等式時既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學素養(yǎng)． 一、選擇題 1．a(chǎn)，b∈R＋，那么下列不等式中不正確的是( ) A.＋≥2 B.＋≥a＋b C.＋≤ D.＋≥ 答案 C 解析 A滿足基本不等式；B可等價變形為(a－b)2(a＋b)≥0，正確；B選項中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項不正確；D選項是A選項中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確． 2．設(shè)0下載提示(請認真閱讀)
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