河北省衡水市2019年高考數(shù)學(xué) 各類考試分項(xiàng)匯編 專題08 立體幾何 理.doc

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專題08 立體幾何 一、選擇題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】我國古代《九章算術(shù)》里，記載了一個“商功”的例子：今有芻童，上廣二丈，袤三丈，下廣三丈，袤四丈，高三丈.問積幾何？其意思是：今有上下底面皆為長方形的草垛（如圖所示），上底寬2丈，長3丈；下底寬3丈，長4丈；高3丈.問它的體積是多少？該書提供的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.則這個問題中的芻童的體積為（ ） A．13.25立方丈 B．26.5立方丈 C．53立方丈 D．106立方丈 【答案】B 2. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，則它的俯視圖不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 3. 【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質(zhì)量測評數(shù)學(xué)（理)試題】一正方體被兩平面截去部分后剩下幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題中條件及三視圖可知該幾何體是由棱長為2的正方體被平面截去了兩個三棱錐后剩下的幾何體，如圖所示， 該幾何體的制面三角形有，，，，，，由對稱性只需計(jì)算，的大小，因?yàn)椋?所以該幾何體的表面積為.故選B. 6. 【河北省衡水中學(xué)2018—2019學(xué)年高三年級上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】 如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成，該封閉幾何體內(nèi)部放入一個小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B ，(0h5)，求導(dǎo)，當(dāng)0h時，體積單調(diào)遞增，當(dāng)h5時，體積單調(diào)減。所以當(dāng)h=時，小圓柱體積取得最大值，，故選B. 9. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( ) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 10. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三高考押題（一)理數(shù)試題試卷】已知一幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 11. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三上學(xué)期七調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】一個四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，繪制該四面體三視圖時, 按照如下圖所示的方向畫正視圖，則得到左視圖可以為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】將四面體放在如圖正方體中，得到如圖四面體，得到如圖的左視圖，故選B. 14. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(二)】某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則它的表面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 15. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(三)】某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖下半部分是半徑為的半圓，則該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)三視圖可知幾何體是棱長為4的正方體挖掉半個圓柱所得的組合體， 且圓柱底面圓的半徑是2、母線長是4， ∴該幾何體的表面積， 本題選擇B選項(xiàng). 16. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體( ) A．有四個兩兩全等的面 B．有兩對相互全等的面 C．只有一對相互全等的面 D．所有面均不全等 【答案】B 【解析】幾何體的直觀圖為四棱錐.如圖.因?yàn)?，? 所以≌. 解決該試題的關(guān)鍵是本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，正確判斷幾何體的特征是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力． 20. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】如圖是一個幾何體的三視圖，在該幾何體的各個面中，面積最小的面的面積為（ ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 21. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足MP＝MC，則點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為（ ） 【答案】A 【解析】 以D為原點(diǎn)，DA、DC所在直線分別為x、y軸建系如圖：設(shè)M(x，y,0)，設(shè)正方形邊長為a，則P(，0，)，C(0，a,0)， 則|MC|＝， |MP|＝. 由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)的軌跡為直線y＝x的一部分． 22. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題】已知球O與棱長為4的正方體的所有棱都相切，點(diǎn)M是球O上一點(diǎn)，點(diǎn)N是△的外接圓上的一點(diǎn)，則線段的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】C 二、填空題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018—2019學(xué)年高三年級上學(xué)期四調(diào)考試數(shù)學(xué)（理)試題】 已知直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為_______. 【答案】 【解析】 如圖所示，設(shè)分別為和的中點(diǎn)，則夾角為和夾角或其補(bǔ)角，，，作中點(diǎn)，則為直角三角形，中，由余弦定理得，，在中，； 在中，由余弦定理得，又異面直線所成角的范圍是，與所成角的余弦值為，故答案為. 4. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三高考押題（一)理數(shù)試題試卷】已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，，點(diǎn)在線段 上，且，過點(diǎn)作圓的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是__________． 【答案】 5. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三十六模】已知直三棱柱中，，，,若棱在正視圖的投影面內(nèi)，且與投影面所成角為，設(shè)正視圖的面積為，側(cè)視圖的面積為，當(dāng)變化時，的最大值是__________． 【答案】 側(cè)視圖的面積為， ， ，， ， ， ， 故得的最大值為，故答案為. 6. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】已知三棱錐滿足底面，是邊長為的等邊三角形，是線段上一點(diǎn)，且.球?yàn)槿忮F的外接球，過點(diǎn)作球的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為，則球的表面為__________． 【答案】 【解析】 將三棱錐P—ABC補(bǔ)成正三棱柱，且三棱錐和該正三棱柱的外接球都是球O，記三角形ABC的中心為，設(shè)球的半徑為R，PA=2x，則球心O到平面ABC的距離為x，即O=x，連接C，則C=4，，在三角形ABC中，取AB的中點(diǎn)為E，連接D， E，則在直角三角形OD中，由題意得到當(dāng)截面與直線OD垂直時，截面面積最小，設(shè)此時截面圓的半徑為r,則最小截面圓的面積為，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大為，，如圖三， 球的表面積為 故答案為：100 . 三、解答題 1. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三畢業(yè)班模擬演練一】在矩形中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個動點(diǎn)，且.如圖，將沿折起至，使得平面平面. （1）當(dāng)時，求證：； （2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由. 【答案】(1)見解析(2) 【解析】（1）當(dāng)時，點(diǎn)是的中點(diǎn). ∴，. ∵，∴. ∵，，， ∴. ∴. 又平面平面，平面平面，平面， ∴平面. ∵平面，∴. （2）以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則，，. 取的中點(diǎn)， ∵，∴， ∴ 易證得平面， ∵，∴，∴. ∴，，. 設(shè)平面的一個法向量為， 則 令，則. 同理設(shè)平面FB1D的法向量為，則 ， 令. 所以， 所以 , 所以所求的鏡二面角的余弦值為 5. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】如圖所示，四棱錐的底面為矩形，已知， ，過底面對角線作與平行的平面交于. （1）試判定點(diǎn)的位置，并加以證明； （2）求二面角的余弦值. 【答案】(1) 為的中點(diǎn)，見解析(2) 顯然， 是平面的一個法向量.設(shè)是平面的一個法向量， 則，即，取， 則， 所以 ， 所以二面角的余弦值為. 7. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三第十七次模擬考試數(shù)學(xué)（理)試題】四棱錐中，面，底面是菱形，且，，過點(diǎn)作直線，為直線上一動點(diǎn). （1）求證：； （2）當(dāng)面面時，求三棱錐的體積. 【答案】（1）證明見解析；（2）. （2）由題意得和都是以為底的等腰三角形，設(shè)和的交點(diǎn)為， 連接、，則，， 又, ∴平面． 又平面面，平面 面， ∴面， ∴. 在菱形中，，， ∴. 在中，． 在中，設(shè)，則． ∴在中，， 又在直角梯形中，， 故， 解得，即. ∴， ∴. 8. 【河北省衡水中學(xué)2018屆高三高考押題（一)理數(shù)試題試卷】如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上， 垂直與圓所在平面， 為 的垂心 （1）求證：平面平面 ； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）見解析（2）. = ，所以 平面.即平面，又平面，所以平面 平面. （2）以點(diǎn)為原點(diǎn)， ， ， 方向分別為， ， 軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則， ， ，， ， ，則，.平面即為平面，設(shè)平面的一個法向量為，則令，得.過點(diǎn)作于點(diǎn)，由平面，易得，又，所以平面，即為平面的一個法向量. 在中，由，得，則，. 所以，.所以. 設(shè)二面角的大小為，則. 從而. 故所求的二面角的余弦值為. 12. 【河北省衡水中學(xué)2018年高考押題(三)】如圖所示,在四棱錐中,平面平面. (1)求證:; (2)若二面角為,求直線與平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)證明見解析；(2). （2）由（1）平面，平面， 所以. 又因?yàn)?，平面平面? 所以是平面與平面所成的二面角的平面角，即. 因?yàn)?，? 所以平面. 所以是與平面所成的角. 因?yàn)樵谥?，? 所以在中，. 13. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三第一次摸底考試】在中，，分別為，的中點(diǎn)，，如圖1.以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2. 如圖1 如圖2 （1）證明：平面平面； （2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值。 【答案】(1)見解析；（2）直線與平面所成角的正弦值為. 【解析】 （1）證明：在題圖1中，因?yàn)椋覟榈闹悬c(diǎn).由平面幾何知識，得. 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以 在題圖2中，，，且， 所以平面， 所以平面. 又因?yàn)槠矫妫? 所以平面平面. （2）解：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面? 則. 所以直線與平面所成角的正弦值為. 14. 【河北省衡水中學(xué)2019屆高三上學(xué)期六調(diào)考試】如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，垂直于和，為棱上的點(diǎn)，，. （1）若為棱的中點(diǎn)，求證：平面； （2）當(dāng)時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值； （3）在第（2）問條件下，設(shè)點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，與平面所成的角為，求當(dāng)取最大值時點(diǎn)的位置. 【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）當(dāng)最大時，點(diǎn)N在線段CD上，且． ∴， ∴四邊形AMED為平行四邊形． ∴． ∵平面SCD，平面SCD， ∴平面SCD． （3）設(shè)，其中． 由于，所以． 所以， 可知當(dāng)，即時分母有最小值，此時有最大值， 此時，，即點(diǎn)N在線段CD上且．