（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運算精練.docx

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3.1導(dǎo)數(shù)的概念及運算【真題典例】挖命題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義2017天津文,10導(dǎo)數(shù)的幾何意義直線方程與截距2.導(dǎo)數(shù)的運算1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=1x,y=x2,y=x3,y=x的導(dǎo)數(shù)2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2018天津文,102016天津文,10導(dǎo)數(shù)的運算指數(shù)函數(shù)分析解讀本節(jié)主要是對導(dǎo)數(shù)概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其運算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運算公式和運算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點.1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見的是求過曲線上某點的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點的坐標(biāo),或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等.2.導(dǎo)數(shù)的運算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時與單調(diào)性、極值或最值綜合考查.3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題.破考點【考點集訓(xùn)】考點一導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.(2018課標(biāo),5,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D2.(2017課標(biāo)文,14,5分)曲線y=x2+1x在點(1,2)處的切線方程為.答案x-y+1=0考點二導(dǎo)數(shù)的運算3.(2013江西,13,5分)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f(1)=.答案2煉技法【方法集訓(xùn)】方法1求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法1.曲線f(x)=x2+ax+1在點(1,f(1)處切線的傾斜角為34,則實數(shù)a=()A.1B.-1C.7D.-7答案C方法2利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程2.(2015陜西,15,5分)設(shè)曲線y=ex在點(0,1)處的切線與曲線y=1x(x0)上點P處的切線垂直,則P的坐標(biāo)為.答案(1,1)3.(2016北京,18,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解析(1)因為f(x)=xea-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依題設(shè),知f(2)=2e+2,f (2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1.解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)與1-x+ex-1同號.令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x(-,1)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值,從而g(x)0,x(-,+).綜上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).方法總結(jié)(1)曲線在某點處的切線滿足兩個條件:一是過該點,二是斜率(若斜率存在)等于函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值.(2)討論函數(shù)的單調(diào)性可轉(zhuǎn)化為討論導(dǎo)函數(shù)的符號變化,因此常將導(dǎo)函數(shù)作為一個新函數(shù)來研究其值域(最值),利用所得結(jié)果確定原函數(shù)的單調(diào)性.過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組考點一導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義1.(2017天津文,10,5分)已知aR,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖象在點(1,f(1)處的切線為l,則l在y軸上的截距為.答案12.(2017天津文,19,14分)設(shè)a,bR,|a|1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)已知函數(shù)y=g(x)和y=ex的圖象在公共點(x0,y0)處有相同的切線.(i)求證:f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)等于0;(ii)若關(guān)于x的不等式g(x)ex在區(qū)間x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范圍.解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f(x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f(x)=0,解得x=a,或x=4-a.由|a|1,得a0,可得f(x)1.又因為f(x0)=1,f(x0)=0,故x0為f(x)的極大值點,由(1)知x0=a.由于|a|1,故a+10,可得f(x)1.根據(jù)(1)可知f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立.由f(a)=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1,利用導(dǎo)數(shù)即可求出b的取值范圍.評析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查用函數(shù)思想解決問題的能力.3.(2013天津文,20,14分)設(shè)a-2,0,已知函數(shù)f(x)=x3-(a+5)x,x0,x3-a+32x2+ax,x0.(1)證明f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)設(shè)曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)處的切線相互平行,且x1x2x30.證明x1+x2+x3-13.解析(1)設(shè)函數(shù)f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-a+32x2+ax(x0),f1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,從而當(dāng)-1x0時,f1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函數(shù)f1(x)在區(qū)間(-1,0內(nèi)單調(diào)遞減.f2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以當(dāng)0x1時,f2(x)1時,f2(x)0.即函數(shù)f2(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.綜合,及f1(0)=f2(0),可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)由(1)知f(x)在區(qū)間(-,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間0,a+36內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間a+36,+內(nèi)單調(diào)遞增.因為曲線y=f(x)在點Pi(xi,f(xi)(i=1,2,3)處的切線相互平行,從而x1,x2,x3互不相等,且f(x1)=f(x2)=f(x3).不妨設(shè)x10x2x3,由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a,可得3x22-3x32-(a+3)(x2-x3)=0,解得x2+x3=a+33,從而0x2a+36x3.設(shè)g(x)=3x2-(a+3)x+a,則ga+36g(x2)g(0)=a.由3x12-(a+5)=g(x2)a,解得-2a+53x1-2a+53+a+33,設(shè)t=2a+53,則a=3t2-52,因為a-2,0,所以t33,153,故x1+x2+x3-t+3t2+16=12(t-1)2-13-13,即x1+x2+x3-13.評析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算及其幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論思想、化歸思想、函數(shù)思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.考點二導(dǎo)數(shù)的運算1.(2018天津文,10,5分)已知函數(shù)f(x)=exlnx,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(1)的值為.答案e2.(2016天津文,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(0)的值為.答案3B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2014課標(biāo),8,5分)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=()A.0B.1C.2D.3答案D2.(2018課標(biāo),13,5分)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為.答案y=2x3.(2018課標(biāo),14,5分)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=.答案-34.(2016課標(biāo),15,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x1.解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=aexlnx+axex-bx2ex-1+bxex-1.由題意可得f(1)=2,f(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知,f(x)=exlnx+2xex-1,從而f(x)1等價于xlnxxe-x-2e.設(shè)函數(shù)g(x)=xlnx,則g(x)=1+lnx.所以當(dāng)x0,1e時,g(x)0.故g(x)在0,1e上單調(diào)遞減,在1e,+上單調(diào)遞增,從而g(x)在(0,+)上的最小值為g1e=-1e.設(shè)函數(shù)h(x)=xe-x-2e,則h(x)=e-x(1-x).所以當(dāng)x(0,1)時,h(x)0;當(dāng)x(1,+)時,h(x)0時,g(x)h(x),即f(x)1.評析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題,考查等價轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力.C組教師專用題組1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()A.y=sinxB.y=lnxC.y=exD.y=x3答案A2.(2013課標(biāo),21,12分)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x-2時,f(x)kg(x),求k的取值范圍.解析(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4.而f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.從而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).設(shè)函數(shù)F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,則F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1).由題設(shè)可得F(0)0,即k1.令F(x)=0,得x1=-lnk,x2=-2.(i)若1ke2,則-2x10.從而當(dāng)x(-2,x1)時,F(x)0.即F(x)在(-2,x1)上單調(diào)遞減,在(x1,+)上單調(diào)遞增.故F(x)在-2,+)上的最小值為F(x1).而F(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0.故當(dāng)x-2時,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.(ii)若k=e2,則F(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).從而當(dāng)x-2時,F(x)0,即F(x)在(-2,+)上單調(diào)遞增.而F(-2)=0,故當(dāng)x-2時,F(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.(iii)若ke2,則F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)0.從而當(dāng)x-2時,f(x)kg(x)不可能恒成立.綜上,k的取值范圍是1,e2.評析本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了分類與整合、函數(shù)與方程的思想;結(jié)合特值限定參數(shù)的范圍可減少分類的情況,有利于提高效率,利用兩根大小作為討論的分界點是解題關(guān)鍵.【三年模擬】一、選擇題(每小題5分,共5分)1.(2018天津靜海一中模擬,8)已知f(x)+f(x)=x+1,且f(0)=1,f(x)ax+1有且僅有一個整數(shù)解,則正數(shù)a的取值范圍是()A.1ea12+12e2B.12+12e2a23+13e3C.1+1e2a2+1e2D.2e+12a2+1e2答案A二、填空題(每小題5分,共20分)2.(2017天津河西一模,12)設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+ex,則f(1)=.答案23.(2017天津河北一模,12)已知f(x)=ex-e,則曲線y=f(x)在點(1,f(x)處的切線方程是.答案y=ex-e4.(2017天津和平二模,14)已知f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x0),g(x)=bx2+2b-1.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;(2)當(dāng)a=1-2b時,若函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,求a的取值范圍;(3)當(dāng)a=1-2b=1時,求函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值.解析(1)由已知得f(x)=x2-a,g(x)=2bx.因為曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),即13-a=b+2b-1,且1-a=2b,解得a=13,b=13.(2)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),當(dāng)a=1-2b時,h(x)=13x3+1-a2x2-ax-a,h(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),令h(x)=0,得x=-1或a(a0).當(dāng)x變化時,h(x),h(x)的變化情況如下表:x(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)h(x)+0-0+h(x)極大值極小值所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(a,+);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,a),因為a0,所以h(x)在區(qū)間(-2,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,要使函數(shù)h(x)在區(qū)間(-2,0)內(nèi)恰有兩個零點,則h(-2)0,h(0)0,解得0a13,所以a的取值范圍是0,13.(3)設(shè)h(x)=f(x)+g(x),當(dāng)a=1-2b=1時,h(x)=13x3-x-1.由(2)可知,當(dāng)a=1時,函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-1),(1,+);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1).當(dāng)t+3-1,即t-4時,h(x)在區(qū)間t,t+3上單調(diào)遞增,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t+3)=13(t+3)3-(t+3)-1=13t3+3t2+8t+5;當(dāng)t-1且-1t+31,即-4t-2時,h(x)在區(qū)間t,-1)上單調(diào)遞增,在區(qū)間-1,t+3上單調(diào)遞減,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(-1)=-13;當(dāng)t-1且t+31,即-2t-1時,t+32且h(2)=h(-1)=-13,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(-1)=-13;當(dāng)-1t1,h(x)在區(qū)間t,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間1,t+3上單調(diào)遞增,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t)與h(t+3)中的較大者.由h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,當(dāng)-1t1時,h(t+3)h(t),所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t+3)=13t3+3t2+8t+5;當(dāng)t1時,h(x)在區(qū)間t,t+3上單調(diào)遞增,所以h(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為h(t+3)=13t3+3t2+8t+5.綜上,當(dāng)t-4或t-1時,f(x)+g(x)在區(qū)間t,t+3上的最大值為13t3+3t2+8t+5;當(dāng)-4t1時,直線QA的斜率恒小于2,求實數(shù)a的取值范圍.解析(1)a=1時,f(x)=x2+x-lnx,f(x)=2x+1-1x=(x+1)(2x-1)x(x0),令f(x)=0,得x=12,x0時,f(x)與f(x)的變化情況如下表:x0,121212,+f(x)-0+f(x)極小值函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為12,+,單調(diào)遞減區(qū)間為0,12.(2)證明:g(x)=a2x2-f(x)=lnx-ax,g(x)=1x-a,x0,g(1)=1-a,直線l的斜率kl=1-a.ll,且l在y軸上的截距為1,直線l的方程為y=(1-a)x+1.令h(x)=g(x)-(1-a)x+1=lnx-x-1(x0),h(x)=1x-1=1-xx,當(dāng)x(0,1)時,h(x)0,當(dāng)x(1,+)時,h(x)0,函數(shù)h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+)上單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時,h(x)取得極大值,極大值為h(1)=-2,在(0,+)上,h(x)取得最大值h(1)=-2,h(x)-20),無論a取何實數(shù),函數(shù)g(x)的圖象恒在直線l的下方.(3)A(1,-a),Q(x0,lnx0-ax0),kQA=lnx0-ax0+ax0-1=lnx0x0-1-a,當(dāng)x01時,lnx0x0-1-a2,即lnx0-(a+2)(x0-1)1),則r(x)=1x-(a+2),x1,01x0,r(x)在(1,+)上單調(diào)遞增,有r(x)r(1)=0,不滿足題意;當(dāng)-2a-1時,0a+20,當(dāng)x1a+2,+時,r(x)r(1)=0,不滿足題意;當(dāng)a-1時,a+21,此時r(x)0,r(x)在(1,+)上單調(diào)遞減,r(x)r(1)=0,滿足題意.綜上,實數(shù)a的取值范圍是-1,+).8.(2018天津和平三模,20)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-12ax2-bx.(1)當(dāng)a=b=12時,求函數(shù)f(x)的最大值;(2)令F(x)=f(x)+12ax2+bx+ax(00)有唯一實數(shù)解,求m的值.解析(1)依題意,知f(x)的定義域為(0,+),當(dāng)a=b=12時,f(x)=lnx-14x2-12x,f(x)=1x-12x-12=-(x+2)(x-1)2x,令f(x)=0,得x=1或x=-2(舍).當(dāng)0x0,此時f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x1時,f(x)0).m0,x0,設(shè)g(x)=0,即x2-mx-m=0的兩根分別為x1,x2,x1=m-m2+4m20(舍去),x2=m+m2+4m2.當(dāng)x(0,x2)時,g(x)0,g(x)在(x2,+)上單調(diào)遞增;當(dāng)x=x2時,g(x2)=0,g(x)取到最小值g(x2).g(x)=0有唯一解,g(x2)=0.則g(x2)=0,g(x2)=0,即x22-2mlnx2-2mx2=0,x22-mx2-m=0.2mlnx2+mx2-m=0.m0,2lnx2+x2-1=0(*),設(shè)h(x)=2lnx+x-1,x0,則h(x)=2x+1,當(dāng)x0時,h(x)0,h(x)在(0,+)上是增函數(shù),h(x)=0至多有一解.h(1)=0,方程(*)的解為x2=1,即m+m2+4m2=1,解得m=12.