（全國通用版）2019版高考數學大一輪復習 第十章 統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 第1節(jié) 隨機抽樣學案 理 新人教B版.doc

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第1節(jié)　隨機抽樣 最新考綱　1.理解隨機抽樣的必要性和重要性；2.會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法.會用隨機抽樣的基本方法解決一些簡單的實際問題. 知 識 梳 理 1.簡單隨機抽樣 (1)定義：從元素個數為N的總體中不放回地抽取容量為n的樣本，如果每一次抽取時總體中的各個個體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣. (2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數法. (3)應用范圍：總體中的個體數較少. 2.系統(tǒng)抽樣 (1)定義：當總體數量很大時，可將總體分成均衡的幾個部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方法叫做系統(tǒng)抽樣. (2)系統(tǒng)抽樣的操作步驟 第一步編號：先將總體的N個個體編號； 第二步分段：確定分段間隔k，對編號進行分段，當(n是樣本容量)是整數時，取k＝； 第三步確定首個個體：在第1段用簡單隨機抽樣確定第一個個體編號s(s≤k)； 第四步獲取樣本：按照一定的規(guī)則抽取樣本，通常是將s加上間隔k得到第2個個體編號(s＋k)，再加k得到第3個個體編號(s＋2k)，依次進行下去，直到獲取整個樣本. (3)應用范圍：總體中的個體數較多. 3.分層抽樣 (1)定義：在抽樣時，將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進行簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣. (2)應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣. [常用結論與微點提醒] 1.三種抽樣方法的共同點都是等概率抽樣，即抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，體現了這三種抽樣方法的客觀性和公平性.若樣本容量為n，總體容量為N，每個個體被抽到的概率是. 2.系統(tǒng)抽樣抽取的個體編號從小到大成等差數列. 診 斷 自 測 1.思考辨析(在括號內打“√”或“”) (1)簡單隨機抽樣每個個體被抽到的機會不一樣，與先后有關.(　　) (2)系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時采用簡單隨機抽樣.(　　) (3)分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性與層數及分層有關.(　　) (4)要從1 002個學生中用系統(tǒng)抽樣的方法選取一個容量為20的樣本，需要剔除2個學生，這樣對被剔除者不公平.(　　) 答案　(1)　(2)√　(3)　(4) 2.(教材習題改編)在“世界讀書日”前夕，為了了解某地5 000名居民某天的閱讀時間，從中抽取了200名居民的閱讀時間進行統(tǒng)計分析.在這個問題中，5 000名居民的閱讀時間的全體是(　　) A.總體 B.個體 C.樣本的容量 D.從總體中抽取的一個樣本 解析　由題目條件知，5 000名居民的閱讀時間的全體是總體；其中1名居民的閱讀時間是個體；從5 000名居民某天的閱讀時間中抽取的200名居民的閱讀時間是從總體中抽取的一個樣本，樣本容量是200. 答案　A 3.某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生視力是否存在顯著差異，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是(　　) A.抽簽法 B.系統(tǒng)抽樣法 C.分層抽樣法 D.隨機數法 解析　因為總體由有明顯差異的幾部分構成，所以用分層抽樣法.故選C. 答案　C 4.從2 017名學生中選取50名學生參加全國數學競賽，若采用以下方法選?。合扔煤唵坞S機抽樣法從2 017名學生中剔除17名學生，剩下的2 000名學生再按系統(tǒng)抽樣的方法抽取，則每名學生入選的概率(　　) A.不全相等 B.均不相等 C.都相等，且為 D.都相等，且為 解析　從N個個體中抽取M個個體，則每個個體被抽到的概率都等于. 答案　C 5.從300名學生(其中男生180人，女生120人)中按性別用分層抽樣的方法抽取50人參加比賽，則應該抽取男生人數為________. 解析　因為男生與女生的比例為180∶120＝3∶2，所以應該抽取男生人數為50＝30. 答案　30 考點一　簡單隨機抽樣及其應用 【例1】 (1)下列抽取樣本的方式屬于簡單隨機抽樣的個數為(　　) ①從無限多個個體中抽取100個個體作為樣本. ②盒子里共有80個零件，從中選出5個零件進行質量檢驗.在抽樣操作時，從中任意拿出一個零件進行質量檢驗后再把它放回盒子里. ③從20件玩具中一次性抽取3件進行質量檢驗. ④某班有56名同學，指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽. A.0 B.1 C.2 D.3 (2)總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為(　　) A.08 B.07 C.02 D.01 解析　(1)①不是簡單隨機抽樣，因為被抽取樣本的總體的個數是無限的，而不是有限的；②不是簡單隨機抽樣.因為它是有放回抽樣；③不是簡單隨機抽樣.因為這是“一次性”抽取，而不是“逐個”抽取；④不是簡單隨機抽樣.因為不是等可能抽樣.故選A. (2)從第1行第5列和第6列組成的數65開始由左到右依次選出的數為08，02，14，07，01，所以第5個個體編號為01. 答案　(1)A　(2)D 規(guī)律方法　1.簡單隨機抽樣是從含有N(有限)個個體的總體中，逐個不放回地抽取樣本，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等. 2.一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是制簽是否方便；二是號簽是否易攪勻，一般地，當總體容量和樣本容量都較小時可用抽簽法.而隨機數表法適用于總體中個體數較多的情形：隨機數表法的操作要點：編號，選起始數，讀數，獲取樣本. 【訓練1】 (1)下面的抽樣方法是簡單隨機抽樣的是(　　) A.在某年明信片銷售活動中，規(guī)定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎 B.某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格 C.某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見 D.用抽簽方法從10件產品中選取3件進行質量檢驗 (2)利用簡單隨機抽樣，從n個個體中抽取一個容量為10的樣本.若第二次抽取時，余下的每個個體被抽到的概率為，則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為(　　) A. B. C. D. 解析　(1)選項A，B是系統(tǒng)抽樣，C項是分層抽樣，D是簡單隨機抽樣. (2)依題意，得＝，解之得n＝28. 故每個個體在抽樣過程中被抽到的概率P＝＝. 答案　(1)D　(2)C 考點二　系統(tǒng)抽樣及其應用 【例2】 (1)(2018安徽皖北聯(lián)考)某學校采用系統(tǒng)抽樣方法，從該校高一年級全體800名學生中抽50名學生做視力檢查.現將800名學生從1到800進行編號.已知從33～48這16個數中抽到的數是39，則在第1小組1～16中隨機抽到的數是(　　) A.5 B.7 C.11 D.13 (2)(2018長沙雅禮中學質檢)在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示： 若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間[139，151]上的運動員人數是________. 解析　(1)把800名學生分成50組，每組16人，各小組抽到的數構成一個公差為16的等差數列，39在第3組. 所以第1組抽到的數為39－32＝7. (2)依題意，可將編號為1～35號的35個數據分成7組，每組有5個數據，從每組中抽取一人. 成績在區(qū)間[139，151]上共有20個數據，分在4個小組內，每組抽取1人，共抽取4人. 答案　(1)B　(2)4 規(guī)律方法　1.如果總體容量N能被樣本容量n整除，則抽樣間隔為k＝，否則，可隨機地從總體中剔除余數，然后按系統(tǒng)抽樣的方法抽樣，特別注意，每個個體被抽到的機會均是. 2.系統(tǒng)抽樣中依次抽取的樣本對應的號碼就是一個等差數列，首項就是第1組所抽取樣本的號碼，公差為間隔數，根據等差數列的通項公式就可以確定每一組內所要抽取的樣本號碼. 【訓練2】 (1)(2018鄭州模擬)為規(guī)范學校辦學，某省教育廳督察組對某所高中進行了抽樣調查.抽到的班級一共有52名學生，現將該班學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本，已知7號、33號、46號同學在樣本中，那么樣本中還有一位同學的編號應是(　　) A.13 B.19 C.20 D.51 (2)(2018湖北重點中學適應模擬)某校高三年級共有30個班，學校心理咨詢室為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到30，現用系統(tǒng)抽樣的方法抽取5個班進行調查，若抽到的編號之和為75，則抽到的最小的編號為________. 解析　(1)由系統(tǒng)抽樣的原理知，抽樣的間隔為524＝13，故抽取的樣本的編號分別為7，7＋13，7＋132，7＋133，即7號，20號，33號，46號. ∴樣本中還有一位同學的編號為20. (2)系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為＝6.設抽到的最小編號為x， 則x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3. 答案　(1)C　(2)3 考點三　分層抽樣及其應用 【例3】 (1)(2017江蘇卷)某工廠生產甲、乙、丙、丁四種不同型號的產品，產量分別為200，400，300，100件，為檢驗產品的質量，現用分層抽樣的方法從以上所有的產品中抽取60件進行檢驗，則應從丙種型號的產品中抽取________件. (2)某學校三個興趣小組的學生人數分布如下表(每名同學只參加一個小組)(單位：人). 籃球組 書畫組 樂器組 高一 45 30 a 高二 15 10 20 學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，按小組分層抽樣的方法，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則a的值為________. 解析　(1)因為樣本容量n＝60，樣本總體N＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例為＝＝. 因此應從丙種型號的產品中抽取300＝18(件). (2)由分層抽樣得＝，解得a＝30. 答案　(1)18　(2)30 規(guī)律方法　1.分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且互不重疊. 2.進行分層抽樣的相關計算時，常用到的兩個關系 (1)＝； (2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比. 【訓練3】 (1)(2015北京卷)某校老年、中年和青年教師的人數見下表，采用分層抽樣的方法調查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有320人，則該樣本中的老年教師人數為(　　) 類別 人數 老年教師 900 中年教師 1 800 青年教師 1 600 合計 4 300 A.90 B.100 C.180 D.300 (2)(2018唐山調研)甲、乙兩套設備生產的同類型產品共4 800件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為80的樣本進行質量檢測.若樣本中有50件產品由甲設備生產，則乙設備生產的產品總數為________件. 解析　(1)設該樣本中的老年教師人數為x，由題意及分層抽樣的特點得＝，故x＝180. (2)由題設，抽樣比為＝. 設甲設備生產的產品為x件，則＝50，∴x＝3 000. 故乙設備生產的產品總數為4 800－3 000＝1 800. 答案　(1)C　(2)1 800  基礎鞏固題組 (建議用時：25分鐘) 一、選擇題 1.為了了解某地區(qū)的中小學生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(　　) A.簡單隨機抽樣 B.按性別分層抽樣 C.按學段分層抽樣 D.系統(tǒng)抽樣 解析　不同的學段在視力狀況上有所差異，所以應該按照學段分層抽樣. 答案　C 2.(2018呼和浩特質檢)為了解1 000名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為40的樣本，則分段的間隔為(　　) A.50 B.40 C.25 D.20 解析　根據系統(tǒng)抽樣的特點分段間隔為＝25. 答案　C 3.下列抽樣試驗中，適合用抽簽法的為(　　) A.從某廠生產的5 000件產品中抽取600件進行質量檢驗 B.從某廠生產的兩箱(每箱18件)產品中抽取6件進行質量檢驗 C.從甲、乙兩廠生產的兩箱(每箱18件)產品中抽取6件進行質量檢驗 D.從某廠生產的5 000件產品中抽取10件進行質量檢驗 解析　因為A，D中總體的個體數較大，不適合用抽簽法；C中甲、乙兩廠生產的產品質量可能差別較大，因此未達到攪拌均勻的條件，也不適合用抽簽法；B中總體容量和樣本容量都較小，且同廠生產的產品可視為攪拌均勻了. 答案　B 4.(一題多解)(2018青島測試)某中學有高中生3 500人，初中生1 500人，為了解學生的學習情況，用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為(　　) A.100 B.150 C.200 D.250 解析　法一　由題意可得＝，解得n＝100. 法二　由題意，抽樣比為＝，總體容量為3 500＋1 500＝5 000，故n＝ 5 000＝100. 答案　A 5.在一個容量為N的總體中抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為p1，p2，p3，則(　　) A.p1＝p2＜p3 B.p2＝p3＜p1 C.p1＝p3＜p2 D.p1＝p2＝p3 解析　由隨機抽樣的知識知，三種抽樣中，每個個體被抽到的概率都相等，故選D. 答案　D 6.我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1 534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為(　　) A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 解析　由隨機抽樣的含義，該批米內夾谷約為1 534≈169(石). 答案　B 7.將參加英語口語測試的1 000名學生編號為000，001，002，…，999，從中抽取一個容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分為50組，如果第一組編號為000，001，002，…，019，且第一組隨機抽取的編號為015，則抽取的第35個編號為(　　) A.700 B.669 C.695 D.676 解析　由題意可知，第一組隨機抽取的編號l＝15， 分段間隔數k＝＝＝20，由題意知抽出的這些號碼是以15為首項，20為公差的等差數列，則抽取的第35個編號為15＋(35－1)20＝695. 答案　C 8.交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層抽樣調查.假設四個社區(qū)駕駛員的總人數為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人.若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區(qū)駕駛員的總人數N為(　　) A.101 B.808 C.1 212 D.2 012 解析　甲社區(qū)每個個體被抽到的概率為＝，樣本容量為12＋21＋25＋43＝101，所以四個社區(qū)中駕駛員的總人數N＝＝808. 答案　B 二、填空題 9.某校高一年級有900名學生，其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法，從該年級學生中抽取一個容量為45的樣本，則應抽取的男生人數為________. 解析　設男生抽取x人，則有＝，解得x＝25. 答案　25 10.(2018武漢調研)從編號為0，1，2，…，79的80件產品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是5的樣本，若編號為28的產品在樣本中，則該樣本中產品的最大編號為________. 解析　由系統(tǒng)抽樣知，抽樣間隔k＝＝16， 因為樣本中含編號為28的產品， 則與之相鄰的產品編號為12和44. 故所取出的5個編號依次為12，28，44，60，76，即最大編號為76. 答案　76 11.在距離央視春晚直播不到20天的時候，某媒體報道，由六小齡童和郭富城合演的《猴戲》節(jié)目被斃，為此，某網站針對“是否支持該節(jié)目上春晚”對網民進行調查，得到如下數據： 網民態(tài)度 支持 反對 無所謂 人數(單位：人) 8 000 6 000 10 000 若采用分層抽樣的方法從中抽取48人進行座談，則持“支持”態(tài)度的網民抽取的人數為________. 解析　持“支持”態(tài)度的網民抽取的人數為48＝48＝16. 答案　16 12.從編號為001，002，…，500的500個產品中用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個樣本，已知樣本中編號最小的兩個編號分別為007，032，則樣本中最大的編號應該為________. 解析　根據系統(tǒng)抽樣的定義可知樣本的編號成等差數列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大編號為7＋2519＝482. 答案　482 能力提升題組 (建議用時：10分鐘) 13.福利彩票“雙色球”中紅色球的號碼由編號為01，02，…，33的33個個體組成，某彩民利用下面的隨機數表選取6組數作為6個紅色球的編號，選取方法是從隨機數表第1行的第6列和第7列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第6個紅色球的編號為(　　) A.23 B.09 C.02 D.17 解析　從隨機數表第1行的第6列和第7列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出的6個紅色球的編號依次為21，32，09，16，17，02，故選出的第6個紅色球的編號為02. 答案　C 14.某工廠的三個車間在12月份共生產了3 600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產品的質量，決定采用分層抽樣的方法進行抽取，若從第一、二、三車間抽取的產品數分別為a，b，c，且a，b，c構成等差數列，則第二車間生產的產品數為(　　) A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500 解析　因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c. 所以＝b.所以第二車間抽取的產品數占抽樣產品總數的.根據分層抽樣的性質，可知第二車間生產的產品數占總數的，即為3 600＝1 200. 答案　C 15.采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9.抽到的32人中，編號落入區(qū)間[1，450]的人做問卷A，編號落入區(qū)間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C.則抽到的人中，做問卷B的人數為________. 解析　由系統(tǒng)抽樣的特點，知抽取號碼的間隔為＝30，抽取的號碼依次為9，39，69，…，939.落入區(qū)間[451，750]的有459，489，…，729，這些數構成首項為459，公差為30的等差數列，設有n項，顯然有729＝459＋(n－1)30，解得n＝10.所以做問卷B的有10人. 答案　10 16.一個總體中有90個個體，隨機編號0，1，2，…，89，依從小到大的編號順序平均分成9個小組，組號依次為1，2，3，…，9.現用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為9的樣本，規(guī)定：如果在第1組隨機抽取的號碼為m，那么在第k組中抽取的號碼個位數字與m＋k的個位數字相同，若m＝8，則在第8組中抽取的號碼是________. 解析　由題意知m＝8，k＝8，則m＋k＝16，也就是第8組抽取的號碼個位數字為6，十位數字為8－1＝7，故抽取的號碼為76. 答案　76