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第四講 不等式
一、選擇題
1．已知互不相等的正數(shù)a，b，c滿足a2＋c2＝2bc，則下列等式中可能成立的是( )
A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>a>b
解析：若a>b>0，則a2＋c2>b2＋c2≥2bc，不符合條件，排除A，D；
又由a2－c2＝2c(b－c)得a－c與b－c同號，排除C；
當b>a>c時，a2＋c2＝2bc有可能成立，例如：取a＝3，b＝5，c＝1.故選B.
答案：B
2．已知b>a>0，a＋b＝1，則下列不等式中正確的是( )
A．log3a>0 B．3a－b<
C．log2a＋log2b<－2 D．3≥6
解析：對于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，這與b>a>0，a＋b＝1矛盾，所以A不正確；對于B，由3a－b<可得3a－b<3－1，所以a－b<－1，可得a＋1
a>0，a＋b＝1矛盾，所以B不正確；對于C，由log2a＋log2b<－2可得log2(ab)<－2＝log2，所以ab<，又b>a>0，a＋b＝1>2，所以ab<，兩者一致，所以C正確；對于D，因為b>a>0，a＋b＝1，所以3>32＝6, 所以D不正確，故選C.
答案：C
3．在R上定義運算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x－b)>0的解集是(2,3)，則a＋b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：由題知(x－a)(x－b)＝(x－a)[1－(x－b)]>0，即(x－a)[x－(b＋1)]<0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(x－a)[x－(b＋1)]＝0的兩根之和等于5，即a＋b＋1＝5，故a＋b＝4.
答案：C
4．已知a∈R，不等式≥1的解集為P，且－2?P，則a的取值范圍為( )
A．(－3，＋∞) B．(－3,2)
C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)
解析：∵－2?P，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.
答案：D
5．已知x，y滿足則z＝8－xy的最小值為( )
A．1 B.
C. D.
解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z＝8－xy＝2－3x－y，欲使z最小，只需使－3x－y最小即可．由圖知當x＝1，y＝2時，－3x－y的值最小，且－31－2＝－5，此時2－3x－y最小，最小值為.故選D.
答案：D
6．設函數(shù)f(x)＝則不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：由題意得，f(1)＝3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當x<0時，x＋6>3，解得－33，解得x>3或0≤x<1.綜上，不等式的解集為(－3,1)∪(3，＋∞)．
答案：A
7．已知實數(shù)x，y滿足如果目標函數(shù)z＝3x－2y的最小值為0，則實數(shù)m等于( )
A．4 B．3
C．6 D．5
解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z＝3x－2y所對應的直線經(jīng)過點A時，z取得最小值0.
由
求得A.
故z的最小值為3－2＝－＋，
由題意可知－＋＝0，解得m＝5.
答案：D
8．若對任意正實數(shù)x，不等式≤恒成立，則實數(shù)a的最小值為( )
A．1 B.
C. D.
解析：因為≤，即a≥，而＝≤(當且僅當x＝1時取等號)，所以a≥.
答案：C
9．(2018太原一模)已知實數(shù)x，y滿足條件則z＝x2＋y2的取值范圍為( )
A．[1,13] B．[1,4]
C． D．
解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得z＝x2＋y2的最小值為點O到直線BC：2x－y＋2＝0的距離的平方，所以zmin＝2＝，最大值為點O與點A(－2,3)的距離的平方，所以zmax＝|OA|2＝13，故選C.
答案：C
10．(2018衡水二模)若關于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1＋x2＋的最小值是( )
A. B.
C. D.
解析：∵關于x的不等式x2－4ax＋3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2>0，
又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，
∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，當且僅當a＝時取等號．
∴x1＋x2＋的最小值是.
答案：C
11．某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
解析：設租用A型車x輛，B型車y輛，目標函數(shù)為z＝1 600x＋2 400y，則約束條件為
作出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點A(5,12)時，有最小值zmin＝36 800(元)．
答案：C
12．(2018淄博模擬)已知點P(x，y)∈{(x，y)|M(2，－1)，則(O為坐標原點)的最小值為( )
A．－2 B．－4
C．－6 D．－8
解析：由題意知＝(2，－1)，＝(x，y)，設z＝＝2x－y，顯然集合{(x，y)|對應不等式組所表示的平面區(qū)域．作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當目標函數(shù)z＝2x－y對應的直線經(jīng)過點A時，z取得最小值．由得A(－2,2)，所以目標函數(shù)的最小值zmin＝2(－2)－2＝－6，即的最小值為－6，故選C.
答案：C
二、填空題
13．(2018青島模擬)若a>0，b>0，則(a＋b)的最小值是________．
解析：(a＋b)＝2＋＋＋1＝3＋＋，因為a>0，b>0，所以(a＋b)≥3＋2＝3＋2，當且僅當＝，即a＝b時等號成立．所以所求最小值為3＋2.
答案：3＋2
14．(2018高考全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________．
解析：由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，x＋y取得最大值?斜率為－1的直線x＋y＝z(z看做常數(shù))的橫截距最大，
由圖可得直線x＋y＝z過點C時z取得最大值．
由得點C(5,4)，
∴zmax＝5＋4＝9.
答案：9
15．(2018石家莊模擬)若x，y滿足約束條件則z＝的最小值為________．
解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為目標函數(shù)z＝表示區(qū)域內(nèi)的點與點P(－3,2)連線的斜率．由圖知當可行域內(nèi)的點與點P的連線與圓相切時斜率最?。O切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，則有＝2，解得k＝－或k＝0(舍去)，所以zmin＝－.
答案：－
16．已知a>b>1，且2logab＋3logba＝7，則a＋的最小值為________．
解析：令logab＝t，由a>b>1得0
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