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考點規(guī)范練13 函數模型及其應用
一、基礎鞏固
1.在我國大西北,某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預測經過x年可能增長到原來的y倍,則函數y=f(x)的圖象大致為( )
答案D
解析由題意可得y=(1+10.4%)x,函數是底數大于1的指數函數,故選D.
2.某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺,第二個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x之間關系的是 ( )
A.y=100x B.y=50x2-50x+100
C.y=502x D.y=100log2x+100
答案C
解析根據函數模型的增長差異和題目中的數據可知,應為指數型函數模型.
3.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為( )
A.800米 B.900米 C.1 000米 D.1 200米
答案A
解析設這個廣場的長為x米,則寬為40000x米.故其周長為l=2x+40000x≥800,當且僅當x=200時取等號.
4.
在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是 ( )
A.[15,20] B.[12,25]
C.[10,30] D.[20,30]
答案C
解析設矩形的另一邊長為ym,則由三角形相似知,x40=40-y40,∴y=40-x.∵xy≥300,∴x(40-x)≥300,
∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.
5.某產品的總成本y(單位:萬元)與產量x(單位:臺)之間的函數關系是y=3 000+20x-0.1x2(0
500.
當f(x)=168時,由1680.9≈187<200,
故此時x=168;
當f(x)=423時,由4230.9=470∈(200,500],
故此時x=470.
故兩次共購得價值為470+168=638元的商品.
又5000.9+(638-500)0.7=546.6元,即若一次性購買上述商品,應付款額為546.6元.
15.2017年10月9日—10月13日為天貓親子理想生活季.天貓某商家為了慶祝該節(jié)日,于2017年10月1日起特意推行親子款十二生肖紀念章.通過市場調查,得到該紀念章每枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數據如下:
上市時間x/天
4
10
36
市場價y/元
90
51
90
(1)根據上表數據,為描述親子款十二生肖紀念章的市場價y與上市時間x的變化關系,從下列函數中選取一個最佳的函數模型是 .
①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.
(2)利用你選取的函數,求親子款十二生肖紀念章的市場價最低時的上市時間及最低價格.
(3)設你選取的函數為y=f(x),若對任意實數k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個相異實數根,求m的取值范圍.
解(1)由于市場價y隨上市時間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調函數,不符合題意,故選擇二次函數模型②.
(2)由表中數據可知16a+4b+c=90,100a+10b+c=51,-b2a=4+362,
解得a=14,b=-10,c=126.
∴函數模型為y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26.
∴當市場價最低時的上市時間為20天,最低價格為26元.
(3)∵f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,
∴14x2-(10+k)x+6-2m=0恒有兩個相異實數根,
∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,
即-2m3.
故m的取值范圍是(3,+∞).
三、高考預測
16.如圖,正方形ABCD的頂點A0,22,B22,0,頂點C,D位于第一象限,直線l:x=t(0≤t≤2)將正方形ABCD分成兩部分,記位于直線l左側陰影部分的面積為f(t),則函數s=f(t)的圖象大致是( )
答案C
解析依題意得s=f(t)=t2,0≤t≤22,-(t-2)2+1,22
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