(浙江專版)2018年高考數(shù)學 母題題源系列 專題15 排列組合問題.doc
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專題十五 排列組合問題【母題原題1】【2018浙江,16】從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成_個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260【解析】分析:按是否取零分類討論,若取零,則先排首位,最后根據(jù)分類與分步計數(shù)原理計數(shù).詳解:若不取零,則排列數(shù)為若取零,則排列數(shù)為因此一共有個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).【母題原題2】【2017浙江,16】從6男2女共8名學生中選出隊長1人,副隊長1人,普通隊員2人組成4人服務隊,要求服務隊中至少有1名女生,共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)【答案】600 【命題意圖】考查排列數(shù)、組合數(shù)公式,考查運算求解能力、分類討論的思想及分析問題與解決問題的能力 【命題規(guī)律】縱觀近幾年的高考試題,排列組合問題往往以實際問題為背景,考查排列數(shù)、組合數(shù)、分類分步計數(shù)原理除了以選擇、填空的形式考查,也往往在解答題中與古典概型概率計算相結(jié)合進行考查難度基本穩(wěn)定在中等.【答題模板】求解排列組合問題,一般考慮:第一步:分清分類和分步.第二步:分清排列與組合,確定解題方向.根據(jù)問題有序和無序,確定是排列問題還是組合問題;第三步:正確應用公式運算求解.【方法總結(jié)】1. 求解排列、組合問題的思路:排組分清,加乘明確;有序排列,無序組合;分類相加,分步相乘具體地說,解排列、組合的應用題,通常有以下途徑:(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素(2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列或組合數(shù)2. 解答排列、組合問題的角度:解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合,對某些元素的位置有、無限制等;(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類,然后逐類解決;(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡單的排列、組合問題,然后逐步解決3. 有條件的排列問題大致分四種類型(1)某元素不在某個位置上問題,可從位置考慮用其它元素占上該位置,可考慮該元素的去向(要注意是否是全排列問題);可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù)(2)某些元素相鄰,可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列(3)某些元素互不相鄰,可將其它剩余元素排列,然后用這些元素進行插空(即插空法)(4)某些元素順序一定,可在所有排列位置中取若干個位置,先排上剩余的其它元素,這個元素也就一種排法4. 對于有條件的組合問題,可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題;也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算,此類問題要注意分類處理或間接計算,切記不要因為“先取再后取”產(chǎn)生順序造成計算錯誤5.不同元素分組:將個不同元素放入個不同的盒中6、相同元素分組:將個相同元素放入個不同的盒內(nèi),且每盒不空,則不同的方法共有種.解決此類問題常用的方法是“擋板法”,因為元素相同,所以只需考慮每個盒子里所含元素個數(shù),則可將這個元素排成一列,共有個空,使用個“擋板”進入空檔處,則可將這個元素劃分為個區(qū)域,剛好對應那個盒子. 7、涂色問題:涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”,在處理涂色問題時,可按照選擇顏色的總數(shù)進行分類討論,每減少一種顏色的使用,便意味著多出一對不相鄰的區(qū)域涂相同的顏色(還要注意兩兩不相鄰的情況),先列舉出所有不相鄰區(qū)域搭配的可能,再進行涂色即可.1【2018屆貴州省凱里市第一中學黃金卷第四套】集合A=1,2,3,4,5,B=3,4,5,6,7,8,9,從集合A、B中各取一個數(shù),能組成( )個沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)?A. 52 B. 58 C. 64 D. 70【答案】B【解析】分析:分別從集合A,B取一個數(shù)字,再全排列,根據(jù)分步計數(shù)原理即可得到答案詳解:C21C31+C41C31+C21C41+C32A22=58故選:B2【2018屆浙江省金麗衢十二校第二次聯(lián)考】用0,1,2,3,4可以組成的無重復數(shù)字的能被3整除的三位數(shù)的個數(shù)是()A. 20 B. 24 C. 36 D. 48【答案】A點睛:求解排列、組合問題常用的解題方法:(1)元素相鄰的排列問題“捆邦法”;(2)元素相間的排列問題“插空法”;(3)元素有順序限制的排列問題“除序法”;(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題間接法.3【2018屆浙江省臺州市高三上期末】有3位男生,3位女生和1位老師站在一起照相,要求老師必須站中間,與老師相鄰的不能同時為男生或女生,則這樣的排法種數(shù)是A. B. C. D. 【答案】D【解析】第一步,老師站中間,分別選一個男生與一個女生站在老師兩邊,共有 種排法;第二步剩余的學生全排列,共有種排法,所以根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可得,符合題意的排法共有 種,故選D.4【2017屆黑龍江省齊齊哈爾市一?!坑?、2、3、4、5、6、7七個數(shù)字組成七位數(shù),要求沒有重復數(shù)字且6、7均不得排在首位與個位,1與6必須相鄰,則這樣的七位數(shù)的個數(shù)是( )A. 300 B. 338 C. 600 D. 768【答案】D【解析】當1在首位時,6只有一種排法,7有四種排法,余下四數(shù)共有中排法,共有種;當1在個位時,同樣共有96種;當1即不再首位也不在個位時,先把1和6排好,有種排法,再排7有3種排法,余下四數(shù)共有中排法,共有種綜上:共有=768故選:D點睛:本題是一道帶有限制條件的排列組合題目,這種問題的常用解題策略有:相鄰問題捆繩法,不鄰問題插空法,特殊元素(特殊位置)優(yōu)先分析法,定序問題縮倍法,多排問題單排法,相同元素隔板法等等.5【2018屆浙江省臺州中學高三模擬】由1,1,2,2,3,3,4,4可組成不同的四位數(shù)的個數(shù)為_【答案】204【解析】分析:此問題可以分為以下三種情況:i)選取的4個數(shù)字是1,2,3,4;ii)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組;iii)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組,再從剩下的3組中的不同的三個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字,利用排列與組合的計算公式及其乘法原理即可得出.詳解:i)選取的四個數(shù)字是1,2,3,4,則可組成A44個不同的四位數(shù);ii)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取兩組有C42種取法,其中每一種取法可組成C42個不同的四位數(shù),所以此時共有C42C42個不同的四位數(shù);iii)從四組(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)中任取一組有C41種取法,再從剩下的三組中的不同的三個數(shù)中任取2個不同的數(shù)字有C32種取法,把這兩個不同的數(shù)字安排到四個數(shù)位上共有A42種方法,而剩下的兩個相同數(shù)字只有一種方法,由乘法原理可得此時共有C41C32A42C22個不同的四位數(shù);綜上可知,用8個數(shù)字1,1,2,2,3,3,4,4可以組成不同的四位數(shù)個數(shù)是A44+C42C42+C41C32A42C22=204,故答案是204.6【2018屆浙江省杭州市第二中學6月熱身】有6張卡片分別寫有數(shù)字1,1,1,2,3,4,從中任取3張,可排出不同的三位數(shù)的個數(shù)是_(用數(shù)字作答)【答案】34.點睛:對于排數(shù)問題,我們有如下策略:(1)特殊位置、特殊元素優(yōu)先考慮,比如偶數(shù)、奇數(shù)等,可考慮末位數(shù)字的特點,還有零不能排首位等;(2)先選后排,比如要求所排的數(shù)字來自某個范圍,我們得先選出符合要求的數(shù)字,在把它們放置在合適位置;(3)去雜法,也就是從反面考慮7【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應性考試】聯(lián)合國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資,每種物資既可以全部給一個國家,也可以由其中兩個或三個國家均分,若每個國家都要有物資援助,則不同的援助方案有_種【答案】25.【解析】分析:按照每個國家都要有物資援助,分類型,求解即可詳解:聯(lián)合國際援助組織計劃向非洲三個國家援助糧食和藥品兩種物資,每種物資既可以全部給一個國家,也可以由其中兩個或三個國家均分,若每個國家都要有物資援助,需要分為:糧食和藥品都有,方法1種;一個國家糧食,兩個國家藥品,有3種方法;一個國家藥品,兩個國家糧食,有3種方法;兩個國家糧食,三個國家藥品,有3種方法;兩個國家藥品,三個國家糧食,有3種方法;一個國家糧食和藥品,另兩個國家各一種,有3(2+2)=12種方法;方法總數(shù)是:25故答案為:258【2018年天津市十二重點中學聯(lián)考(一)】用0,1,2,3,4組成沒有重復數(shù)字的五位偶數(shù),要求奇數(shù)不相鄰,且0不與另外兩個偶數(shù)相鄰,這樣的五位數(shù)一共有_個.(用數(shù)字作答)【答案】【解析】若末位數(shù)字為時,則共有個五位數(shù);若末位數(shù)字為時,則當十位數(shù)字為時,只有;當十位數(shù)字為時,只有;當十位數(shù)字為時,有和兩個五位數(shù),共有個五位數(shù).若末位數(shù)為時,則當十位數(shù)字為時,只有,;當十位數(shù)字為時,有和兩個五位數(shù);當十位數(shù)字為時,只有,共有個五位數(shù).綜上,這樣的五位數(shù)共有個.故答案為.9【騰遠2018年(浙江卷)紅卷】2018北京兩會期間,有甲、乙、丙、丁、戊5位國家部委領導人要去3個分會場發(fā)言(每個分會場至少1人),其中甲和乙要求不再同一分會場,甲和丙必須在同一分會場,則不同的安排方案共有_種(用數(shù)字作答).【答案】30【解析】分析:由題意甲和丙在同一分會場,甲和乙不在同一分會場,所以有“2,2,1”和“3,1,1”兩種分配方案,利用分類計數(shù)原理和排列組合的知識,即可求解.詳解:因為甲和丙在同一分會場,甲和乙不在同一分會場,所以有“2,2,1”和“3,1,1”兩種分配方案:當“2,2,1”時,甲和丙為一組,余下3人選出2人為一組,有C32A33=18種方案;當“3,1,1”時,在丁和戊中選出1人與甲丙組成一組,有C21A33=12種方案,所以不同的安排方案共有18+12=30種.點睛:本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用,有關排列組合的綜合問題,往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題,解答這類問題理解題意很關鍵,一定多讀題才能挖掘出隱含條件解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”,在應用分類計數(shù)加法原理討論時,既不能重復交叉討論又不能遺漏,這樣才能提高準確率在某些特定問題上,也可充分考慮“正難則反”的思維方式10【2018屆浙江省教育綠色評價聯(lián)盟5月測試】有7個球,其中紅色球2個(同色不加區(qū)分),白色,黃色,藍色,紫色,灰色球各1個,將它們排成一行,要求最左邊不排白色,2個紅色排一起,黃色和紅色不相鄰,則有_種不同的排法(用數(shù)字回答)【答案】408【解析】分析:把紅色球看做一個處理,利用分類計數(shù)原理結(jié)合分步計數(shù)原理,由左至右逐一排放,然后求和即可.詳解:123456紅色球2個(同色不加區(qū)分),2個紅色排一起,把紅色球看做一個,本題相當于6個球的排列,將它們排成一行,最左邊不排白色,2個紅色排一起,黃色和紅色不相鄰,左側(cè)1號位置,放紅色球,有:C41A44=96,2號位置放紅色球,則放球方法有:C31C31A33=54,3,4,5號位置放紅色球,則放球方法有:3A44+C31A32A22=180,6號位置放紅色球,則放球方法有:A44+C31A31A33=78,排列方法有:96+54+180+78=408,故答案為408.11【2018年浙江省普通高等學校全國招生統(tǒng)一考試模擬】分配4名水暖工去3個不同的民居家里檢查暖氣管道,要求4名水暖工部分配出去,并每名水暖工只能去一個居民家,且每個居民家都要有人去檢查,那么分配的方案共有_種(用數(shù)字作答).【答案】36.【解析】分析:根據(jù)題意,分2步分析:,將4名水暖工分成3組,將分好的三組全排列,對應3個不同的居民家,由分步計數(shù)原理計算可得答案詳解:根據(jù)題意,分2步分析:將4名水暖工分成3組,有C42=6種分組方法;將分好的三組全排列,對應3個不同的居民家,有A33=6種分配方法.共有66=36種不同的分配方案故答案為36點睛:解答排列、組合問題的角度:解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手;(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論,哪些是“元素”,哪些是“位置”;(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合,對某些元素的位置有、無限制等;(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類,然后逐類解決;(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡單的排列、組合問題,然后逐步解決12.【浙江省金華十校2018年4月高考模擬】3名男生和3名女生站成一排,要求男生互不相鄰,女生也互不相鄰且男生甲和女生乙必須相鄰,則這樣的不同站法有_種(用數(shù)字作答)【答案】40點睛:(1)解排列組合問題要遵循兩個原則:一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過程進行分步具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置)(2)不同元素的分配問題,往往是先分組再分配在分組時,通常有三種類型:不均勻分組;均勻分組;部分均勻分組,注意各種分組類型中,不同分組方法的求法- 配套講稿:
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