2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破二 數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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專題突破二數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)一、數(shù)列的單調(diào)性(1)定義：若數(shù)列an滿足：對一切正整數(shù)n，都有an1an(或an1an)，則稱數(shù)列an為遞增數(shù)列(或遞減數(shù)列)(2)判斷單調(diào)性的方法轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等，研究數(shù)列的單調(diào)性利用定義判斷：作差比較法，即作差比較an1與an的大?。蛔魃瘫容^法，即作商比較an1與an的大小，從而判斷出數(shù)列an的單調(diào)性例1已知函數(shù)f(x)(x1)，構(gòu)造數(shù)列anf(n)(nN)試判斷數(shù)列的單調(diào)性解f(x)2.方法一an2(nN)，an12，an1an0.an1an.數(shù)列an是遞減數(shù)列方法二設(shè)x1x21，則f(x1)f(x2)，x1x21，x110，x210，x2x10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上為減函數(shù)，anf(n)為遞減數(shù)列反思感悟研究數(shù)列的單調(diào)性和最大(小)項(xiàng)，首選作差，其次可以考慮借助函數(shù)單調(diào)性之所以首選作差，是因?yàn)檠芯繑?shù)列的單調(diào)性和研究函數(shù)單調(diào)性不一樣，函數(shù)單調(diào)性要設(shè)任意x1x2，而數(shù)列只需研究相鄰兩項(xiàng)an1，an，證明難度是不一樣的另需注意，函數(shù)f(x)在1，)上單調(diào)，則數(shù)列anf(n)一定單調(diào)，反之不成立跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an32n-223n-1，nN.求證：an為遞增數(shù)列證明an1an32n-123n(32n-223n-1)3(2n-22n-1)2(3n3n-1)32n-243n-12n-2，n1，nN，n-21-2，12n-283，12n-230，又2n-20，an1an0，即an1an，nN.an是遞增數(shù)列二、求數(shù)列中的最大(或最小)項(xiàng)問題常見方法：(1)構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最值(2)利用(n2)求數(shù)列中的最大項(xiàng)an；利用(n2)求數(shù)列中的最小項(xiàng)an.當(dāng)解不唯一時，比較各解大小即可確定例2在數(shù)列an中，an，則該數(shù)列前100項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)分別是_答案45,44解析an1，設(shè)f(x)1，則f(x)在區(qū)間(，)與(，)上都是減函數(shù)因?yàn)?445，故數(shù)列an在00，n6時，an3，nN時，an1an0.綜上，可知an在n1,2,3時，單調(diào)遞增；在n4,5,6,7，時，單調(diào)遞減所以存在最大項(xiàng)又a333+1a444+1，所以第4項(xiàng)為最大項(xiàng)反思感悟如果本例用函數(shù)單調(diào)性來解決，就會變得很麻煩跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn，nN，求bn的最大值解bn1bn，且nN，當(dāng)n1,2,3,4,5時，bn1bn0，即b1b2b3b4b5.當(dāng)n6,7,8，時，bn1bn0，即b6b7b8，又b5b6.bn的最大值為b6.三、利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍常利用以下等價關(guān)系：數(shù)列an遞增an1an恒成立；數(shù)列an遞減an1an恒成立，通過分離變量轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的最值來解決例5已知數(shù)列an中，ann2n，nN.(1)若an是遞增數(shù)列，求的取值范圍(2)若an的第7項(xiàng)是最小項(xiàng)，求的取值范圍解(1)由an是遞增數(shù)列anan1n2n(2n1)，nN3.的取值范圍是(3，)(2)依題意有即解得1513，即的取值范圍是15，13反思感悟注意只有對二次函數(shù)這樣的單峰函數(shù)，這個解法才成立，對于如圖的多峰函數(shù)滿足不一定a7最小跟蹤訓(xùn)練5數(shù)列an中，an2n1k2n1，nN，若an是遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍解an12(n1)1k2n112n1k2n，an1an2k2n1.an是遞減數(shù)列，對任意nN，有2k2n10，即k恒成立，kmax2，k的取值范圍為(2，)1設(shè)an2n229n3，nN，則數(shù)列an的最大項(xiàng)是()A103B.C.D108答案D解析an2223，nN，當(dāng)n7時，an取得最大值，最大值為a72722973108.故選D.2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann-1n-1(nN)，則數(shù)列an()A有最大項(xiàng)，沒有最小項(xiàng)B有最小項(xiàng)，沒有最大項(xiàng)C既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)D既沒有最大項(xiàng)也沒有最小項(xiàng)答案C解析ann-1n-12n-1，令n-1t，則t是區(qū)間(0,1內(nèi)的值，而ant2t2，所以當(dāng)n1，即t1時，an取最大值使n-1最接近的n的值為數(shù)列an中的最小項(xiàng)，所以該數(shù)列既有最大項(xiàng)又有最小項(xiàng)3設(shè)ann210n11，則數(shù)列an從首項(xiàng)到第幾項(xiàng)的和最大()A10B11C10或11D12答案C解析ann210n11是關(guān)于n的二次函數(shù)，數(shù)列an是拋物線f(x)x210x11上的一些離散的點(diǎn)，an前10項(xiàng)都是正數(shù)，第11項(xiàng)是0，數(shù)列an前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最大故選C.4數(shù)列an中，a12，an2an1(nN，2n10)，則數(shù)列an的最大項(xiàng)的值為_答案1024解析a12，an2an1，an0，21，anan1，即an單調(diào)遞增，an的最大項(xiàng)為a102a922a829a12922101024.5已知數(shù)列an中，an1.若a6為最大項(xiàng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(11，9)解析根據(jù)題意知，y1的圖象如下：由a6為最大項(xiàng)，知56.11m9.一、選擇題1已知數(shù)列an滿足a10，2an1an，則數(shù)列an是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C常數(shù)列D以上都不對答案B解析a10，an1an，an0，1，an10，數(shù)列an是遞增數(shù)列3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ann29n100，則其最小項(xiàng)是()A第4項(xiàng)B第5項(xiàng)C第6項(xiàng)D第4項(xiàng)或第5項(xiàng)答案D解析f(x)x29x100的對稱軸為x，且開口向上ann29n100的最小項(xiàng)是第4項(xiàng)或第5項(xiàng)4在遞減數(shù)列an中，ankn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()ARB(0，)C(，0) D(，0答案C解析an是遞減數(shù)列，an1ank(n1)knk0.6已知p0，nN，則數(shù)列l(wèi)og0.5pn是()A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C增減性與p的取值有關(guān)D常數(shù)列答案C解析令anlog0.5pn.當(dāng)p1時，pn+1pn，log0.5pn+1log0.5pn，即an1an；當(dāng)00)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上單調(diào)遞增，故數(shù)列an(nN)在區(qū)間(0，)上遞增，在區(qū)間(，)上遞減又23，且a2a3，所以最大項(xiàng)為第2項(xiàng)或第3項(xiàng)8已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式ann，若對任意的nN，都有ana3，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A6,12B(6,12) C5,12D(5,12)答案A解析n3對任意的nN恒成立，則k3n，3n，當(dāng)n4時，k3n，所以k12，當(dāng)n1時，k3，當(dāng)n2時，k6，以上三個要都成立，故取交集得6k12.二、填空題9已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n228n，則數(shù)列an的各項(xiàng)中的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)答案5解析易知，an3n228n32，故當(dāng)n取附近的正整數(shù)時，an最小又40時，a1a2a31時，a8a9a10；為使數(shù)列an遞增還需a7a8.故實(shí)數(shù)a滿足條件解得2a0，即2n1k0，nN恒成立，分離變量得k2n1，故需k3即可，所以k的取值范圍為(，3)13已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(1)判斷an的單調(diào)性；(2)求an的最小項(xiàng)解(1)an1an(n1)1，且nN，當(dāng)1n2時，an1an0，當(dāng)n3時，an1an0，即n1，n2時，an遞減，n3時，an遞增(2)由(1)知an的最小項(xiàng)從a2，a3中產(chǎn)生由a2a3，an的最小項(xiàng)為a3.14已知數(shù)列an，則數(shù)列an中的最小項(xiàng)是第_項(xiàng)答案5解析an，令3n160，得n5時數(shù)列遞減，最大值為a536，無最小值