2020高考數(shù)學(xué)刷題首選卷 考點(diǎn)測試67 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例（理）（含解析）.docx

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考點(diǎn)測試67　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例 高考概覽 考綱研讀 1．會作兩個相關(guān)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會利用散點(diǎn)圖認(rèn)識變量間的相關(guān)關(guān)系 2．了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程 3．了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用 4．了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用 一、基礎(chǔ)小題 1．已知回歸直線的斜率的估計值是1．23，樣本點(diǎn)的中心為(4，5)，則回歸直線的方程是(　　) A．＝1．23x＋4 B．＝1．23x＋5 C．＝1．23x＋0．08 D．＝0．08x＋1．23 答案　C 解析　選項(xiàng)D顯然錯誤．因?yàn)榛貧w方程必過樣本中心點(diǎn)，把點(diǎn)(4，5)代入選項(xiàng)A，B，C檢驗(yàn)，滿足的只有選項(xiàng)C．故選C． 2．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為(　　) A．－1 B．0 C． D．1 答案　D 解析　由題設(shè)知，這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為1．故選D． 3．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0．82 0．78 0．69 0．85 m 106 115 124 103 則試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性的是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案　D 解析　r越大，m越小，線性相關(guān)性越強(qiáng)，丁同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性．故選D． 4．在研究吸煙與患肺癌的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得“吸煙與患肺癌有關(guān)”的結(jié)論，并且有99%以上的把握認(rèn)為這個結(jié)論是成立的，則下列說法中正確的是(　　) A．100個吸煙者中至少有99人患肺癌 B．1個人吸煙，那么這人有99%的概率患有肺癌 C．在100個吸煙者中一定有患肺癌的人 D．在100個吸煙者中可能一個患肺癌的人也沒有 答案　D 解析　統(tǒng)計的結(jié)果只是說明事件發(fā)生可能性的大小，具體到一個個體不一定發(fā)生．故選D． 5．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為＝0．85x－85．71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0．85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58．79 kg 答案　D 解析　由于線性回歸方程中x的系數(shù)為0．85，因此y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確．又線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心(，)，因此B正確．由線性回歸方程中系數(shù)的意義知，x每增加1 cm，其體重約增加0．85 kg，故C正確．當(dāng)某女生的身高為170 cm時，其體重估計值是58．79 kg，而不是具體值，因此D不正確． 6．以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)z＝ln y，其變換后得到線性回歸方程z＝0．3x＋4，則c＝________． 答案　e4 解析　因?yàn)閥＝cekx，所以兩邊取對數(shù)，可得ln y＝ln (cekx)＝ln c＋ln ekx＝ln c＋kx，令z＝ln y，可得z＝ln c＋kx．因?yàn)閦＝0．3x＋4，所以ln c＝4，所以c＝e4． 二、高考小題 7．(2017山東高考)為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系．設(shè)其回歸直線方程為＝x＋．已知i＝225，i＝1600，＝4．該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為(　　) A．160 B．163 C．166 D．170 答案　C 解析　∵i＝225，∴＝i＝22．5． ∵i＝1600，∴＝i＝160． 又＝4，∴＝－＝160－422．5＝70． ∴回歸直線方程為＝4x＋70． 將x＝24代入上式得＝424＋70＝166． 故選C． 8．(2017全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 答案　A 解析　對于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確．故選A． 三、模擬小題 9．(2018合肥質(zhì)檢)某公司一種型號的產(chǎn)品近期銷售情況如下表： 月份(x) 2 3 4 5 6 銷售額y/萬元 15．1 16．3 17．0 17．2 18．4 根據(jù)上表可得到回歸直線方程＝0．75x＋，據(jù)此估計，該公司7月份這種型號產(chǎn)品的銷售額約為(　　) A．19．5萬元 B．19．25萬元 C．19．15萬元 D．19．05萬元 答案　D 解析　由表可知＝(2＋3＋4＋5＋6)＝4， ＝(15．1＋16．3＋17＋17．2＋18．4)＝16．8，則樣本中心點(diǎn)(4，16．8)在線性回歸直線上，故16．8＝0．754＋，得＝13．8．故當(dāng)x＝7時，＝0．757＋13．8＝19．05．故選D． 10．(2019衡陽模擬)某城市收集并整理了該市2018年1月份至10月份每月最低氣溫與最高氣溫(單位：℃)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖．已知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān) B．10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫 C．月溫差(最高氣溫減最低氣溫)的最大值出現(xiàn)在1月份 D．最低氣溫低于0 ℃的月份有4個 答案　D 解析　由圖觀察可得，當(dāng)最低氣溫較大時，最高氣溫也較大，故A正確；10月份的最高氣溫大于20 ℃，而5月份的最高氣溫不超過20 ℃，故B正確；從各月的溫差看，1月份的溫差最大，故C正確；而最低氣溫低于0 ℃的月份是1，2，4三個月份．故選D． 11．(2018河北邯鄲二模)觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是(　　) 答案　D 解析　在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認(rèn)為兩個分類變量有關(guān)系，在四個選項(xiàng)中(等高的條形圖)中，若x1，x2所占比例相差越大，則分類變量x，y的相關(guān)性越強(qiáng)．故選D． 12．(2018河北武邑中學(xué)調(diào)研)為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做了100次和150次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法正確的是(　　) A．l1和l2有交點(diǎn)(s，t) B．l1與l2相交，但交點(diǎn)不一定是(s，t) C．l1與l2必定平行 D．l1與l2必定重合 答案　A 解析　由題意知(s，t)是甲、乙兩位同學(xué)所做試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的中心，而線性回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心．故選A． 13．(2018大連雙基測試)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為＝x＋．若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1，0)和(2，2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(　　) A．>b′，>a′ B．>b′，a′ D．a′．選C． 解法二：根據(jù)所給數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如圖所示，可直接判斷：從l2旋轉(zhuǎn)到l1，斜率變大，縱截距變小，即a′．選C． 一、高考大題 1．(2018全國卷Ⅱ)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，17)建立模型①：＝－30．4＋13．5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17．5t． (1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值； (2)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由． 解　(1)利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為 ＝－30．4＋13．519＝226．1(億元)． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為＝99＋17．59＝256．5(億元)． (2)利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 理由如下： (ⅰ)從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y＝－30．4＋13．5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型＝99＋17．5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． (ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型①得到的預(yù)測值226．1億元的增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預(yù)測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預(yù)測值更可靠． 2．(2018全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖： (1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由； (2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？ 附：K2＝， P(K2≥k0) 0．050 0．010 0．001 k0 3．841 6．635 10．828 解　(1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下： (ⅰ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅱ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85．5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73．5分鐘．因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅲ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (ⅳ)由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高． (以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．) (2)由莖葉圖知m＝＝80．列聯(lián)表如下： 超過m 不超過m 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15 (3)由于K2的觀測值k＝＝10>6．635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異． 3．(2017全國卷Ⅱ)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”，估計A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0．01)． P(K2≥k) 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 ， K2＝． 解　(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”． 由題意知P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C)． 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 (0．012＋0．014＋0．024＋0．034＋0．040)5＝0．62， 故P(B)的估計值為0．62． 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為 (0．068＋0．046＋0．010＋0．008)5＝0．66， 故P(C)的估計值為0．66． 因此，事件A的概率的估計值為0．620．66＝0．4092． (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2＝≈15．705． 由于15．705>6．635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)． (3)因?yàn)樾吗B(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為 (0．004＋0．020＋0．044)5＝0．34<0．5， 箱產(chǎn)量低于55 kg的直方圖面積為 (0．004＋0．020＋0．044＋0．068)5＝0．68>0．5， 故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為 50＋≈52．35(kg)． 二、模擬大題 4．(2018太原二模)按照國家質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：某種工業(yè)產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落在[100，120)內(nèi)，則為合格品，否則為不合格品．某企業(yè)有甲、乙兩套設(shè)備生產(chǎn)這種產(chǎn)品，為了檢測這兩套設(shè)備的生產(chǎn)質(zhì)量情況，隨機(jī)從兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了50件產(chǎn)品作為樣本，對規(guī)定的質(zhì)量指標(biāo)值進(jìn)行檢測．下表是甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表，下圖是乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖． 表　甲套設(shè)備的樣本頻數(shù)分布表 質(zhì)量 指標(biāo)值 [95， 100) [100， 105) [105， 110) [110， 115) [115， 120) [120， 125] 頻數(shù) 1 4 19 20 5 1 圖　乙套設(shè)備的樣本頻率分布直方圖 (1)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)？ 甲套設(shè)備 乙套設(shè)備 合計 合格品 不合格品 合計 (2)根據(jù)上表和上圖，對甲、乙兩套設(shè)備的優(yōu)劣進(jìn)行比較； (3)將頻率視為概率，若從甲套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，記抽到的不合格品的個數(shù)為X，求X的期望E(X)． 附： P(K2≥k0) 0．150 0．100 0．050 0．025 0．010 k0 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 K2＝，n＝a＋b＋c＋d． 解　(1)列聯(lián)表為 甲套設(shè)備 乙套設(shè)備 合計 合格品 48 43 91 不合格品 2 7 9 合計 50 50 100 將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得 K2＝ ＝≈3．053． ∵3．053>2．706， ∴有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲、乙兩套設(shè)備的選擇有關(guān)． (2)根據(jù)題意可知，甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，乙套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率約為，甲套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值主要集中在[105，115)之間，乙套設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與甲套設(shè)備相比較為分散． 因此，可以認(rèn)為甲套設(shè)備生產(chǎn)的合格品的概率更高，且質(zhì)量指標(biāo)值更穩(wěn)定，從而甲套設(shè)備優(yōu)于乙套設(shè)備． (3)由題知，X～B3，，∴E(X)＝3＝． 5．(2018湖北第二次聯(lián)考)菜農(nóng)定期使用低害殺蟲農(nóng)藥對蔬菜進(jìn)行噴灑，以防止害蟲的危害，但蔬菜上市時仍存在少量的殘留農(nóng)藥，食用時需要用清水清洗干凈，下表是用清水x(單位：千克)清洗該蔬菜1千克后，蔬菜上殘留的農(nóng)藥y(單位：微克)的統(tǒng)計表： x 1 2 3 4 5 y 58 54 39 29 10 (1)在右面的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并判斷變量x與y是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)； (2)若用解析式＝cx2＋d作為蔬菜上農(nóng)藥殘留量與用水量x的回歸方程，令w＝x2，計算平均值與，完成以下表格，求出與x的回歸方程(c，d保留兩位有效數(shù)字)； w 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10 wi－ yi－ (3)對于某種殘留在蔬菜上的農(nóng)藥，當(dāng)它的殘留量低于20微克時對人體無害，為了放心食用該蔬菜，請估計需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精確到0．1，參考數(shù)據(jù)：≈2．236) 附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計分別為＝，＝－． 解　(1) 變量x與y是負(fù)相關(guān)． (2)由題中表格易得＝11，＝38， w 1 4 9 16 25 y 58 54 39 29 10 wi－ －10 －7 －2 5 14 yi－ 20 16 1 －9 －28 c＝ ＝－≈－2．0， d＝－c＝38－－11≈60， ∴＝－2．0w＋60＝－2．0x2＋60． (3)當(dāng)<20時，－2．0x2＋60<20，即x>2≈4．5， ∴為了放心食用該蔬菜，估計需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜．