平面四桿機(jī)構(gòu)Matlab仿真及優(yōu)化設(shè)計(jì)帶開題報(bào)告.zip
平面四桿機(jī)構(gòu)Matlab仿真及優(yōu)化設(shè)計(jì)帶開題報(bào)告.zip,平面,機(jī)構(gòu),Matlab,仿真,優(yōu)化,設(shè)計(jì),開題,報(bào)告
附錄 1：外文翻譯
2015年第三屆國際最新計(jì)算趨勢(shì)會(huì)議（ICRTC-2015）
動(dòng)平衡四桿機(jī)構(gòu)的形狀優(yōu)化
機(jī)械工程系 馬拉維亞國家技術(shù)研究所 齋浦爾 302017，印度
摘 要
本文提出了一種求解動(dòng)態(tài)平衡平面四桿機(jī)構(gòu)的連桿形狀的優(yōu)化方法。通過優(yōu)化各連桿的質(zhì)量分布, 最大限度地減少了在慣性作用下產(chǎn)生的振動(dòng)力和振動(dòng)力矩。然后用三次B 樣條曲線得出連桿形狀, 并提出優(yōu)化方案,將連桿中產(chǎn)生的慣性量百分比誤差降到最低, 將 B 樣條曲線的控制點(diǎn)作為設(shè)計(jì)變量。通過將該方法應(yīng)用到文獻(xiàn)中的一個(gè)數(shù)值問題中, 證明了該算法的有效性。
關(guān)鍵詞：動(dòng)平衡; 等效系統(tǒng); 四桿機(jī)構(gòu); 遺傳算法; 形狀優(yōu)化
1 介紹
四桿機(jī)構(gòu)是機(jī)器最常使用的機(jī)構(gòu)。當(dāng)機(jī)器高速運(yùn)行時(shí)，這些機(jī)構(gòu)將力和力矩傳遞到地面，這些所有機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)環(huán)節(jié)的慣性力及力矩的矢量和，被定義為振動(dòng)力和振動(dòng)力矩。由于這些力和力矩產(chǎn)生的振動(dòng)、磨損和噪聲, 使機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能受到不利影響, 文獻(xiàn)[1-3] 中提出了幾種減少它們的方法，通過質(zhì)量再分配[4]或增加配重[5]使移動(dòng)連桿的質(zhì)心保持不變，從而實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的完全力平衡。
力的完全平衡增加了連桿各桿的振動(dòng)力矩，驅(qū)動(dòng)力矩和承受力[6]。使用慣性或磁盤配重[7]和復(fù)制結(jié)構(gòu)[8]的方式，振動(dòng)時(shí)刻會(huì)隨著力的完全平衡而減少。然而，這些方法并不是首選，因?yàn)樗鼈冊(cè)黾恿藱C(jī)構(gòu)的復(fù)雜性和質(zhì)量。通過優(yōu)化[9-11]，研究出了一些其他方法來最小化振動(dòng)力和振動(dòng)力矩。該方法根據(jù)連桿的質(zhì)量和相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，找到連桿質(zhì)量的最佳分配方案，以減少振動(dòng)力和振動(dòng)力矩。將機(jī)構(gòu)平衡問題表示為多目標(biāo)優(yōu)化問題，并考慮適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)約束[12-13]，采用粒子群優(yōu)化（PSO）和遺傳算法（GA）等技術(shù)來進(jìn)行優(yōu)化。
解決找到與平衡機(jī)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的最佳連桿形狀的方案很少。采用小單元疊加法, 將連桿形狀考慮為幾個(gè)小矩形元素的集合[14]。連桿形狀的優(yōu)化問題是利用給定外力所產(chǎn)生 的外部變化來制定目標(biāo)函數(shù)的，并將所有連桿的最大容量和最大體積作為約束函數(shù)[15]。采用三次貝塞爾曲線[16]的拓?fù)鋬?yōu)化方法生成相應(yīng)機(jī)構(gòu)的形狀。但是, 在這些方法中不
考慮機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)平衡，此外,這些方法還需要初始形狀或設(shè)計(jì)域才能開始運(yùn)算。
本文提出的平面四桿機(jī)構(gòu)平衡的優(yōu)化問題公式，機(jī)構(gòu)的剛性連接被表示為動(dòng)態(tài)等價(jià)的點(diǎn)質(zhì)量系統(tǒng), 稱為等效系統(tǒng) [11、17]。該問題作為一種多目標(biāo)優(yōu)化問題,利用遺傳算法求解，目的就是將振動(dòng)力和振動(dòng)化力矩最小化。對(duì)于平衡機(jī)構(gòu)所產(chǎn)生的最小慣性慣量, 為了保持其與平衡機(jī)構(gòu)相同，連桿形狀的慣性特性被看作是約束,利用三次 B 樣條曲線描述出機(jī)構(gòu)連桿的形狀。將通過 B 樣條曲線的控制點(diǎn)作為設(shè)計(jì)變量, 把得到連桿慣性值的百分比誤差的最小化作為目標(biāo)函數(shù)。
本文的結(jié)構(gòu)如下。第2節(jié)給出了機(jī)構(gòu)的振動(dòng)力和振動(dòng)力矩的定義。連桿形狀的形成過程在第3節(jié)中給出。動(dòng)態(tài)平衡和形狀形成的優(yōu)化問題在第4節(jié)中闡述。在第5節(jié)中，使用所提出的方法來解決數(shù)值實(shí)例。最后，在第6節(jié)給出結(jié)論。
2 振動(dòng)力和振動(dòng)的時(shí)刻
1 0 03
圖1 表示了一個(gè)平面四桿機(jī)構(gòu)，其中固定連桿與運(yùn)動(dòng)連桿分離, 為了表明反作用力。振動(dòng)力被定義為所有慣性力矢量和的反作用力，而振動(dòng)力矩則是慣性力矩與作用在慣性力矩固定點(diǎn)的所有力矩的反作用力。一旦確定了所有的連接處的反作用力，就可以得到連接點(diǎn) 1 振動(dòng)力和連接點(diǎn) 1 處的振動(dòng)力矩[11]：
fsh
= -( f
01 + f03
) 和 nsh
= -(ne + a f )
（1）
在等式（1）中，f01和f03分別是作用在連桿上的反作用力#1和#3。在關(guān)節(jié)＃1施加的主動(dòng)轉(zhuǎn)矩由en1表示，而a0表示從O1到O4的矢量。
圖1 四桿機(jī)構(gòu)從框架分離
3 鏈接形狀的形成
使用參數(shù)閉合三次B樣條曲線來合成連桿形狀，在曲線內(nèi)插入或近似一組n + 1個(gè)控制點(diǎn)， P0，P1，...，Pn [18]，并在方程（2）中：
n
P(u) = ? Pi Ni,k (u), 0 ￡ u ￡ umax
i=0
（2）
在等式（2）中，參數(shù)k，Ni，k（u）和u分別定義為曲線的程度，B樣條混合函數(shù)和參數(shù)集。 曲線第i段任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為：
x (u) = a1xi-1 + a2 xi + a3 xi+1 + a4 xi+2
（3）
i 6
y (u) = a1 yi-1 + a2 yi + a3 yi+1 + a4 yi+2
（4）
i 6
當(dāng)：
1
a = -u3 + 3u2i - 3ui2 + i3
2
a = 3u3 + u2 (3 - 9i) + u(-3 + 9i2 - 6i) - 3i3 + 3i2 + 3i +1
3
a = -3u3 + u2 (-6 + 9i) + u(-9i2 +12i) + 3i3 - 6i2 + 4
4
a = u3 + u2 (3 - 3i) + u(3 + 3i2 - 6i) - i3 + 3i2 - 3i + 4
（3）
（4）
（5）
（6）
在方程（3-4）中，（xi-1，yi-1），（xi，yi）等分別是點(diǎn)Pi-1，Pi等的坐標(biāo)。利用格林定理計(jì)算了用閉合的三次B樣條曲線合成的形狀的慣性特性[19]，由n個(gè)三次B 樣條曲線片段組成閉合曲線，關(guān)于質(zhì)心軸（Ixx，Iyy，Izz）的面積A，質(zhì)心（x，y）和區(qū)域轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，計(jì)算如下：
n ui
A = ?òu
xi (u) yi '(u)du
（7）
i=1
i-1
x = - 1 ?n
ui y 2 (u)x '(u)du; y = 1 n
ò
i i
?
u
i x 2 (u) y '(u)du
ò
i i
u
u
（10-11）
2Ai
i=1
i-1
2Ai
i=1
i-1
1 n ui 3 1 n ui 3
Ixx = -
?òu
yi (u)xi '(u)du; I yy =
?òu
xi (u) yi '(u)du; Izz = Ixx + I yy
（12-14）
3 i=1 i-1
3 i=1 i-1
xi '(u) 和 yi '(u) 是w、r、t的一階導(dǎo)數(shù)，分別在方程（9-13），由下式給出：
x '(u) = b1xi-1 + b2 xi + b3 xi+1 + b4 xi+2
（15）
i 6
y '(u) = b1 yi-1 + b2 yi + b3 yi+1 + b4 yi+2
（16）
i 6
當(dāng)：
1
b = -3u2 + 6ui - 3i2
（17）
2
b = 9u2 + 2u(3 - 9i) - 3 + 9i2 - 6i
3
b = -9u2 + 2u(-6 + 9i) - 9i2 +12i
4
b = 3u2 + 2u(3 - 3i) + 3 + 3i2 - 6i
（18）
（19）
（20）
對(duì)于等式（9-14）中所定義的幾何特性，閉合曲線形狀所表示的連桿質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算如下：
m = Atp
I = Izztp
其中t和ρ分別表示連桿的厚度和材料密度。
4 優(yōu)化問題的制定
4.1 動(dòng)態(tài)平衡
（21）
（22）
為了平面四桿機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)平衡，使用等質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量系統(tǒng)的概念，制定了優(yōu)化方案以最小化振動(dòng)力和振動(dòng)力矩。這些連桿被系統(tǒng)地轉(zhuǎn)換成三個(gè)等質(zhì)量的點(diǎn)質(zhì)量系統(tǒng)，并將點(diǎn)質(zhì)量參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量。點(diǎn)質(zhì)量由三個(gè)參數(shù)確定，因此每個(gè)連桿的設(shè)計(jì)變量的9矢量xi被定義為：
i i1
i1
i1
x = é?m l q
m l q
m l q
ù?T
i=1，2，3 （23）
i 2
i 2
i 2
i3
i3
i3
其中mij是第i個(gè)連桿的第j個(gè)點(diǎn)質(zhì)量，lij和θij是它在形狀范圍內(nèi)固定支架的極坐標(biāo)。因此，該機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)矢量x由下式給出：
x = é?xT
xT xT ù?T
（24）
1 2 3
考慮到振動(dòng)力的大小，fsh，rms和振動(dòng)力矩的RMS值，nsh，rms，定義在方程（1）， 優(yōu)化方案規(guī)定為力和力矩的加權(quán)和：
最小化Z = w1 fsh,rms + w2nsh,rms
（25）
i,min
ij i,max
i,min
ij ij
滿足m ￡ ?m ￡ m ; I ￡ ?m l 2 i=1,2,3 j=1,2,3 （26）
j j
其中w1和w2分別是用于分配重力給振動(dòng)力和振動(dòng)力矩的加權(quán)因子。
4.2 機(jī)構(gòu)連桿的形狀優(yōu)化
在得到優(yōu)化機(jī)構(gòu)連桿的慣性參數(shù)之后，就會(huì)制定一個(gè)優(yōu)化方案來找到本節(jié)中所描述的連桿形狀。將三次B樣條曲線控制點(diǎn)的笛卡爾坐標(biāo)作為設(shè)計(jì)變量，如圖2所示。連接起點(diǎn)Oi至Oi + 1之間的連接長(zhǎng)度被分成相等部分。為保持對(duì)稱形狀使得慣性積零，以y坐標(biāo)點(diǎn)為設(shè)計(jì)變量。連桿延伸以外的坐標(biāo)原點(diǎn)Oi和Oi + 1由右端的P0，P1，Pn-1和左端的Pn/2-1，Pn/2，Pn/2 + 1控制。在右端，P0的x坐標(biāo)，P1和Pn-1的y坐標(biāo)被選擇作為設(shè)計(jì)變量，并且在左端進(jìn)行相同的處理。最后，在本文中，設(shè)計(jì)向量被定義為：
yn/2-1 xn/2 yn/2+1 yn-1 ù?
T
x = é?x0 y1
目標(biāo)函數(shù)的制定是為了最小化連桿慣量值中的百分比誤差，如下所示：
(I * - I )
（27）
I
o
最小化 Z = i i *100
i
（28）
滿足m = m*; x = *
= y*
i=1,2,3 （29）
i i i
xi ; yi i
這里帶有上標(biāo)'*'的參數(shù)表示上一節(jié)（4.1）中獲得的最優(yōu)參數(shù)，下標(biāo)'i'用于機(jī)構(gòu)的第i個(gè)連接。
5.數(shù)值例子
圖1所示的平面四桿機(jī)構(gòu)[12]的數(shù)值問題是使用本節(jié)提出的方法解決的（表1）。 由于振動(dòng)力和振動(dòng)力矩具有不同的單位，因此這些量需要無量綱化以將它們添加到單個(gè)目標(biāo)函數(shù)中。為此, 對(duì)傳動(dòng)鏈的參數(shù)進(jìn)行了無量綱化, 即連桿 #1。為了減少問題的維度, 在九個(gè)變量中，mij，lij，θij，對(duì)于j=1，2，3，對(duì)于如圖3中定義的第i個(gè)連接點(diǎn)， 選擇五個(gè)參數(shù)為:
qi1 = 0;qi 2 = 2p / 3;qi3 = 4p / 3和li 2 = li3 = li1
其他四個(gè)點(diǎn)質(zhì)量參數(shù)，即mi1，mi2，mi3，li1被引入優(yōu)化方案?？紤]到
（30）
mi,min=0.25mi,mi,max=5mi,Ii,min=0.25Ii，對(duì)于第i個(gè)鏈路，使用MATLAB的遺傳算法和直接搜索工具箱中的“ga”函數(shù)求解方程（25）-（26）中解釋的優(yōu)化問題。上標(biāo)“o”代表原始機(jī)構(gòu)的參數(shù)。表2和圖4給出了原始值與振動(dòng)力和振動(dòng)力矩的最佳值的比較。遺傳算法的應(yīng)用讓振動(dòng)力的值和振動(dòng)力矩的值分別減少了約50％和68％，平衡機(jī)構(gòu)的相應(yīng)最佳參數(shù)如表1所示。
圖2 封閉的三次B樣條曲線代表連桿形狀及其控制點(diǎn)
表1 平面四桿機(jī)構(gòu)的參數(shù)
圖3（a）剛性連接 圖3（b）點(diǎn)質(zhì)量
圖3 將剛性連接轉(zhuǎn)換為點(diǎn)質(zhì)量的等效系統(tǒng)表2 標(biāo)準(zhǔn)和優(yōu)化機(jī)制的動(dòng)態(tài)量的RMS值
圖4 完整周期的振動(dòng)力和振動(dòng)力矩的變化
接下來，形式優(yōu)化問題在公式（28）-（29）用遺傳算法和MATLAB的直接搜索工具箱中的“ga”函數(shù)求解。 三次B樣條曲線的最終連接形狀如圖5所示：
——————初始機(jī)構(gòu)
優(yōu)化的機(jī)構(gòu)
圖5 對(duì)應(yīng)于平衡機(jī)構(gòu)的初始和優(yōu)化鏈路形狀
文中所提出的方法不需要任何預(yù)定義的形狀或設(shè)計(jì)域作為初始條件。最終慣性值的百分比誤差在±5％之內(nèi)。平衡機(jī)構(gòu)的連桿所產(chǎn)生的應(yīng)力可以在外部載荷下最薄弱的部位進(jìn)行計(jì)算。
6 結(jié)論
本文提出了一種平面四桿機(jī)構(gòu)動(dòng)平衡和形狀形成的優(yōu)化方法。對(duì)于動(dòng)態(tài)平衡，機(jī)構(gòu)的剛性環(huán)節(jié)可由點(diǎn)質(zhì)量等效系統(tǒng)的表示。以點(diǎn)質(zhì)量參數(shù)為設(shè)計(jì)變量, 優(yōu)化了連桿質(zhì)量分布, 最大限度地減少了振動(dòng)力和震動(dòng)力矩。利用遺傳算法作為求解器, 實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)力和震動(dòng)力矩分別減少了50%和68%。然后將平衡機(jī)構(gòu)的連桿形狀建模為立方B樣條曲線。對(duì)B 樣條曲線的邊界進(jìn)行優(yōu)化, 使連桿質(zhì)量和慣性達(dá)到優(yōu)化值。為此，控制點(diǎn)充當(dāng)設(shè)計(jì)變量， 約束條件被定義為保持生成的連桿參數(shù)與平衡機(jī)構(gòu)參數(shù)相同。本文提出的方法很簡(jiǎn)單， 也可以應(yīng)用于多環(huán)平面和空間機(jī)構(gòu)。
附錄 2：外文原文
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