2019-2020年三年級數學 奧數講座 找規(guī)律（一）.doc

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2019-2020年三年級數學 奧數講座 找規(guī)律（一）這一講我們先介紹什么是“數列”，然后講如何發(fā)現和尋找“數列”的規(guī)律。按一定次序排列的一列數就叫數列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一個數列中從左至右的第n個數，稱為這個數列的第n項。如，數列(1)的第3項是3，數列(2)的第3項是4。一般地，我們將數列的第n項記作an。數列中的數可以是有限多個，如數列(2)(4)，也可以是無限多個，如數列(1)(3)。許多數列中的數是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現這些規(guī)律。數列(1)是按照自然數從小到大的次序排列的，也叫做自然數數列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項ann。數列(2)的規(guī)律是：后項=前項2，或第n項數列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復始地出現。數列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常見的較簡單的數列規(guī)律有這樣幾類：第一類是數列各項只與它的項數有關，或只與它的前一項有關。例如數列(1)(2)。第二類是前后幾項為一組，以組為單元找關系才可找到規(guī)律。例如數列(3)(4)。第三類是數列本身要與其他數列對比才能發(fā)現其規(guī)律。這類情形稍為復雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。例1 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，解：通過對已知的幾個數的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現(1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應填16。(2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應填48，36。(3)的規(guī)律是：前項3=后項。所以應填54，162。(4)的規(guī)律是：前項5=后項。所以應填5，1。(5)的規(guī)律是：數列各項依次為1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以應填55=25。(6)的規(guī)律是：數列各項依次為2=12，6=23，12=34，20=45，所以，應填 56=30， 67=42。說明：本例中各數列的每一項都只與它的項數有關，因此an可以用n來表示。各數列的第n項分別可以表示為(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an23n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數列(1)的第100項等于3100+1=301。本例中，數列(2)(4)只有5項，當然沒有必要計算大于5的項數了。例2 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通過對各數列已知的幾個數的觀察分析可得其規(guī)律。(1)把數列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現其規(guī)律是：前一組每個數加1得到后一組數，所以應填4，5。(2)把后面已知的六個數分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數的商都是2，且由5，6，7的次序知，應填8，4。(3)這個數列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應填( 17+27=)44。(4)這個數列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應填(832=)256。例3 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數列2，4，6，其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數列1，2，4，8，按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5a6-26=16，故a616+26=42。(3)觀察數列前、后項的關系，后項=前項2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例4 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)數列的第1，3，5，項組成一個新數列12，17， 22，其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數列的第2，4，6，項組成一個新數列15，30，45，其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應填27，60。(2)如(1)分析，由奇數項組成的新數列2，5，8，中，8后面的數應為11；由偶數項組成的新數列8，6，4， 中，4后面的數應為2。故應填11，2。 練習5 按其規(guī)律在下列各數列的( )內填數。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.數列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)如果其中缺少一個數，那么這個數是幾？應補在何處？(2)如果其中多了一個數，那么這個數是幾？為什么？附送：2019-2020年三年級數學 奧數講座 找規(guī)律（二）這一講主要介紹如何發(fā)現和尋找圖形、數表的變化規(guī)律。例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補充完整。分析與解：觀察前三個圖，從左至右，黑點數依次為4，3，2個，并且每個圖形依次按逆時針方向旋轉90，所以第四個圖如右圖所示。觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數：解：(1)觀察前兩個圖形中的數可知，大圓圈內的數等于三個小圓圈內的數的乘積的一半，故第三個圖形中的“？”=5382=60；第四個圖形中的“？”=(212)32=7。(2)觀察前兩個圖形中的已知數，發(fā)現有10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的數的和減去三角形外面的數就是中間小圓圈內的數。故第三個圖形中的“？”=12+1-5=8；第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。例3 尋找規(guī)律填數：解：(1)考察上、下兩數的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。(2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，知，9下面的“？”=14。例4 尋找規(guī)律在空格內填數：解：(1)因為前兩圖中的三個數滿足：256=464，72=612，所以，第三圖中空格應填1215=180；第四圖中空格應填16913=13。第五圖中空格應填2247=32。(2)圖中下面一行的數都是上一行對應數的3倍，故43下面應填433=129；87上面應填873=29。例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”：解：(1)觀察每行中兩邊的數與中間的數的關系，發(fā)現3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)觀察每列中三數的關系，發(fā)現1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例6 尋找規(guī)律填數：(1)(2)解：(1)觀察其規(guī)律知(2)觀察其規(guī)律知：觀察比較圖形、圖表、數列的變化，并能從圖形、數量間的關系中發(fā)現規(guī)律，這種能力對于同學們今后的學習將大有益處。 練習尋找規(guī)律填數：6.下圖中第50個圖形是還是？