高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和課件.ppt

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第五章數(shù)列 第3節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 1 理解等比數(shù)列的概念 2 掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式 3 能在具體的問題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系 并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題 4 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 要點(diǎn)梳理 1 等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起 每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù) 不為零 那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比 通常用字母q表示 2 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列 an 的首項(xiàng)為a1 公比為q 則它的通項(xiàng)an a1 qn 1 3 等比中項(xiàng)若 那么G叫做a與b的等比中項(xiàng) 質(zhì)疑探究 b2 ac是a b c成等比數(shù)列的什么條件 提示 必要而不充分條件 因?yàn)閎2 ac時(shí) 不一定有a b c成等比數(shù)列 如a 0 b 0 c 1 而a b c成等比數(shù)列 則必有b2 ac G2 a b ab 0 4 等比數(shù)列的常用性質(zhì) 1 通項(xiàng)公式的推廣 an am n m N 2 若 an 為等比數(shù)列 且k l m n k l m n N 則 qn m ak al am an 6 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為 1的等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 則Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比數(shù)列 其公比為 qn 基礎(chǔ)自測(cè) 1 給出下列命題 滿足an 1 qan n N q為常數(shù) 的數(shù)列 an 為等比數(shù)列 數(shù)列 an 是公比q 1的等比數(shù)列 則 nan 是等比數(shù)列 如果 an 為等比數(shù)列 bn a2n 1 a2n 則數(shù)列 bn 也是等比數(shù)列 如果數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 lnan 是等差數(shù)列 其中錯(cuò)誤的命題是 A B C D 解析 錯(cuò)誤 q 0時(shí) an 不是等比數(shù)列 錯(cuò)誤 若 an 是公比q 1的等比數(shù)列 則 nan 不是等比數(shù)列 錯(cuò)誤 如數(shù)列1 1 1 1 錯(cuò)誤 數(shù)列 an 中可能有小于零的項(xiàng) 故選D 答案 D 答案 D 2 已知 an 為等比數(shù)列 a4 a7 2 a5a6 8 則a1 a10等于 A 7B 5C 5D 7 答案 D 4 2015 揚(yáng)州中學(xué)期中 設(shè)等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) 其前n項(xiàng)和為Sn 若a1 1 a3 4 Sk 63 則k 答案 6 5 2013 北京高考 若等比數(shù)列 an 滿足a2 a4 20 a3 a5 40 則公比q 前n項(xiàng)和Sn 答案 22n 1 2 考向一等比數(shù)列基本量的計(jì)算例1 1 2013 新課標(biāo)高考全國(guó)卷 等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為Sn 已知S3 a2 10a1 a5 9 則a1 2 2015 荊州市質(zhì)檢 設(shè)Sn是等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 S3 S9 S6成等差數(shù)列 且a2 a5 2am 則m 思路點(diǎn)撥建立關(guān)于a1和q的方程 組 求所需要的量 答案 1 C 2 8 拓展提高 1 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 共涉及五個(gè)量a1 an q n Sn 知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè) 體現(xiàn)了用方程的思想解決問題 2 數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用 而a1和q是等比數(shù)列的兩個(gè)基本量 用它們表示已知和未知是常用方法 思路點(diǎn)撥構(gòu)造an 1 an與an an 1的關(guān)系用累加法求an 3 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an c qn 1 c q均為不為0的常數(shù) n N 則 an 是等比數(shù)列 4 前n項(xiàng)和公式法 若數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn k qn k k為常數(shù)且k 0 q 0 1 則 an 是等比數(shù)列 提醒 1 前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法 常用于證明 而后兩種方法常用于選擇題 填空題中的判定 2 若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列 則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可 考向三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例3 1 2015 遼寧沈陽一模 已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列 an 滿足2a2 a 2a12 0 數(shù)列 bn 是等比數(shù)列 且b7 a7 則b3b11等于 A 16B 8C 4D 2 拓展提高等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用中的常見題型與求解策略 規(guī)范答題5等差 等比數(shù)列綜合問題的規(guī)范答題典例 本小題滿分12分 2013 新課標(biāo)高考全國(guó)卷 已知等差數(shù)列 an 的公差不為零 a1 25 且a1 a11 a13成等比數(shù)列 1 求 an 的通項(xiàng)公式 2 求a1 a4 a7 a3n 2 審題視角 1 先設(shè)出公差d 根據(jù)已知條件求出公差 可得出通項(xiàng)公式 2 所求的和構(gòu)成了一個(gè)新的數(shù)列 求出該數(shù)列的首項(xiàng)和公差 運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解 滿分展示 解 1 設(shè) an 的公差為d 由題意得a a1a13 即 a1 10d 2 a1 a1 12d 第1步 3分 于是d 2a1 25d 0 又a1 25 所以d 0 舍去 d 2 故an 2n 27 第2步 3分 答題模板 第一步 依等差數(shù)列設(shè)未知量 依等比數(shù)列建立等式關(guān)系 第二步 求d 求通項(xiàng) 第三步 判斷 a3n 2 為等差數(shù)列 第四步 依據(jù)公式求和 提醒 本題求等差數(shù)列an 就設(shè)等差數(shù)列中的未知量 用等比數(shù)列建立關(guān)于d的方程 分清兩個(gè)使用層次 在第二問中 必須指明數(shù)列a1 a4 a7 a3n 2所具有的特點(diǎn) 2 由bn 3n 1 知an 2n 1 3n 1 于是數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和Sn 1 30 3 31 5 32 2n 1 3n 1 3Sn 1 31 3 32 2n 3 3n 1 2n 1 3n 將兩式相減得 2Sn 1 2 31 32 3n 1 2n 1 3n 2 2n 2 3n 所以Sn n 1 3n 1 思維升華 方法與技巧 失誤與防范 1 特別注意q 1時(shí) Sn na1這一特殊情況 2 由an 1 qan q 0 并不能立即斷言 an 為等比數(shù)列 還要驗(yàn)證a1 0 3 在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí) 必須注意對(duì)q 1與q 1分類討論 防止因忽略q 1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤