2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二篇 專題通關(guān)攻略 專題8 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 2.8.2 函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用課件.ppt

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第2課時(shí)函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用 熱點(diǎn)考向一函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題高頻考向 類型一判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及零點(diǎn)個(gè)數(shù) 典例1 1 函數(shù)f x log2x的零點(diǎn)所在區(qū)間是 A 0 1 B 1 2 C 3 4 D 4 2 2018 茂名一模 定義在R上函數(shù)y f x 2 的圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱 且函數(shù)f x 1 是偶函數(shù) 若當(dāng)x 0 1 時(shí) f x sinx 則函數(shù)g x f x e x 在區(qū)間 2018 2018 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 A 2017B 2018C 4034D 4036 大題小做 解析 1 選C 因?yàn)檫B續(xù)減函數(shù)f x log2x 所以f 3 2 log23 0 f 4 log24 0 所以函數(shù)f x log2x的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 3 4 2 選D 函數(shù)g x f x e x 在區(qū)間 2018 2018 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 函數(shù)f x 的圖象與y e x 的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù) 由y f x 2 的圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱 得f x 是偶函數(shù) 即f x f x 又因?yàn)楹瘮?shù)f x 1 是偶函數(shù) 所以f x 1 f x 1 故f x 2 f x f x 因此 f x 是周期為2的偶函數(shù) 因?yàn)楫?dāng)x 0 1 時(shí) f x sinx 作出y f x 與y 圖象如圖 可知每個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn) 所以函數(shù)g x f x e x 在區(qū)間 2018 2018 上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2018 2 4036 易錯(cuò)警示 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個(gè)充分條件 而不是必要條件 判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性 對(duì)稱性或結(jié)合函數(shù)圖象 探究追問(wèn) 第 2 題改為 定義在R上的奇函數(shù)f x 滿足條件f 1 x f 1 x 當(dāng)x 0 1 時(shí) f x x 若函數(shù)g x f x ae x 在區(qū)間 2018 2018 上有4032個(gè)零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是 A 0 1 B e e3 C e e2 D 1 e3 解析 選B 由f 1 x f 1 x 得f x f 2 x 由f x 為奇函數(shù) 得f x f x 由 得 f x f 2 x 所以f x f 2 x 所以f 2 x f 4 x 所以f x f x 4 所以f x 周期為4 因?yàn)楫?dāng)x 0 1 時(shí) f x x 根據(jù)m x f x 與n x ae x 都是偶函數(shù) 且圖象 x 0 如圖 函數(shù)g x f x ae x 在區(qū)間 2018 2018 上有4032個(gè)零點(diǎn) 即m x f x 與n x ae x 在 0 4 有且僅有兩個(gè)交點(diǎn) 所以即e a e3 名師點(diǎn)睛 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 1 解方程法 若對(duì)應(yīng)方程f x 0可解 則通過(guò)解方程 方程有幾個(gè)解函數(shù)就有幾個(gè)零點(diǎn) 2 零點(diǎn)存在性定理 利用定理不僅要判斷函數(shù)在區(qū)間 a b 上是連續(xù)不斷的曲線 而且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性 周期性 對(duì)稱性 才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn) 3 數(shù)形結(jié)合法 轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象 兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù) 即是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) 類型二根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的取值范圍 典例2 已知函數(shù)f x 若函數(shù)g x f x k x 1 在 1 恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 A 1 3 B 1 3 C 2 3 D 3 解析 選A 函數(shù)g x f x k x 1 在 1 恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 等價(jià)于y f x 與y k x 1 的圖象在 1 恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 畫出函數(shù)f x 的圖象 如圖 y k x 1 的圖象是過(guò)定點(diǎn) 1 0 斜率為k的直線 當(dāng)直線y k x 1 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 1 2 時(shí) 直線與y f x 的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn) 此時(shí) k 1 當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0 3 時(shí)直線與y f x 的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn) 直線在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與y f x 的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn) 斜率在 1 3 內(nèi)變化 所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是 1 3 名師點(diǎn)睛 已知函數(shù)有零點(diǎn) 方程有根 求參數(shù)取值范圍的常用方法 1 直接法 直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式 組 再通過(guò)解不等式 組 確定參數(shù)的取值范圍 2 分離參數(shù)法 先將參數(shù)分離 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問(wèn)題加以解決 3 數(shù)形結(jié)合法 先對(duì)解析式變形 在同一平面直角坐標(biāo)系中 畫出函數(shù)的圖象 然后數(shù)形結(jié)合求解 考向精練 1 定義在R上的奇函數(shù)f x 當(dāng)x 0時(shí) f x 則關(guān)于x的函數(shù)F x f x a 0 a 1 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 A 2B 3C 4D 5 解析 選D 因?yàn)閒 x 為奇函數(shù) 所以x 0時(shí) f x f x 畫出y f x 和y a 0 a 1 的圖象 如圖共有5個(gè)交點(diǎn) 所以F x 有5個(gè)零點(diǎn) 2 已知在區(qū)間 0 2 上的函數(shù)f x 且g x f x mx在區(qū)間 0 2 內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 解析 選A 由函數(shù)g x f x mx在 0 2 內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 得y f x y mx在 0 2 內(nèi)的圖象有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn) 當(dāng)y mx與y 3在x 0 1 相切時(shí) mx2 3x 1 0 9 4m 0 m 結(jié)合圖象可得當(dāng) m 2或0 m 時(shí) 函數(shù)g x f x mx在 0 2 內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn) 3 若函數(shù)f x 2x 4 a存在兩個(gè)零點(diǎn) 且一個(gè)為正數(shù) 另一個(gè)為負(fù)數(shù) 則a的取值范圍為 A 0 4 B 0 C 3 4 D 3 解析 選C 如圖 若f x 2x 4 a存在兩個(gè)零點(diǎn) 且一個(gè)為正數(shù) 另一個(gè)為負(fù)數(shù) 則a 3 4 故選C 熱點(diǎn)考向二函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題考向剖析 高考考查的重點(diǎn)是掌握函數(shù)的概念與性質(zhì) 理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系 結(jié)合函數(shù)圖象和性質(zhì)判斷方程根的個(gè)數(shù)等 以選擇題 填空題為主 典例3 1 已知函數(shù)f x g x f x 則方程f x g x 的解的個(gè)數(shù)為 A 4B 3C 2D 1 2 2018 綿陽(yáng)一模 函數(shù)f x 滿足f x 2 f x 且當(dāng) 1 x 1時(shí) f x x 若函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)g x logax a 0 且a 1 的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn) 則a的取值集合為 A 4 5 B 4 6 C 5 D 6 解析 1 選A 函數(shù)f x 的圖象如圖所示 由g x f x 可得g x 和f x 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 作出y g x 的圖象 可得y f x 和y g x 的圖象有4個(gè)交點(diǎn) 則方程f x g x 的解的個(gè)數(shù)為4 故選A 2 選C 因?yàn)閒 x 2 f x 所以f x 的周期為2 在x 1 1 時(shí) f x x 畫出函數(shù)f x 與g x logax的圖象如圖所示 若函數(shù)y f x 的圖象與函數(shù)g x logax a 0 且a 1 的圖象有且僅有4個(gè)交點(diǎn) 則函數(shù)g x logax的圖象過(guò) 5 1 點(diǎn) 即a 5 名師點(diǎn)睛 利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定 應(yīng)用方程根 解 的個(gè)數(shù)的方法 1 轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 數(shù)形結(jié)合 構(gòu)建不等式 方程 求解 2 分離參數(shù) 轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題求解 拓展提升 2018 信陽(yáng)二模 已知函數(shù)f x x R 滿足f x 8 f 4 x 函數(shù)g x 若函數(shù)f x 與g x 的圖象共有168個(gè)交點(diǎn) 記作Pi xi yi i 1 2 168 則 x1 y1 x2 y2 x168 y168 的值為 A 2018B 2017C 2016D 1008 解析 選D 函數(shù)f x x R 滿足f x 8 f 4 x 可得 f x f 4 x 8 即函數(shù)f x 關(guān)于點(diǎn) 2 4 對(duì)稱 函數(shù)g x 可知圖象關(guān)于 2 4 對(duì)稱 所以函數(shù)f x 與g x 的圖象共有168個(gè)交點(diǎn)即在 2 4 兩邊各有84個(gè)交點(diǎn) 而每個(gè)對(duì)稱點(diǎn)都有 橫坐標(biāo)之和為4 縱坐標(biāo)之和為8 因?yàn)橛?68個(gè)交點(diǎn) 即有84組 故得 x1 y1 x2 y2 x168 y168 4 8 84 1008 1 2017 江蘇高考 設(shè)f x 是定義在R上且周期為1的函數(shù) 在區(qū)間 0 1 上 f x 其中集合D 則方程f x lgx 0的解的個(gè)數(shù)是 解析 由于f x 0 1 則需考慮1 x 10的情況 在此范圍內(nèi) x Q且x Z時(shí) 設(shè)x p q N p 2 且p q互質(zhì) 若lgx Q 則由lgx 0 1 可設(shè)lgx m n N m 2 且m n互質(zhì) 因此 則10n 此時(shí)左邊為整數(shù) 右邊不是整數(shù) 矛盾 因?yàn)閘gx Q 因此lgx不可能與每個(gè)周期內(nèi)x D對(duì)應(yīng)的部分相等 只需考慮lgx與每個(gè)周期x D的部分的交點(diǎn) 畫出函數(shù)圖象 圖中交點(diǎn)除 1 0 外 其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù) 屬于每個(gè)周期x D的部分 且x 1處 lgx 1 則在x 1附近僅有一個(gè)交點(diǎn) 因此方程解的個(gè)數(shù)為8個(gè) 答案 8 2 2018 茂名二模 已知f x 是定義域?yàn)?0 的單調(diào)函數(shù) 若對(duì)任意的x 0 都有f f x x 4 且方程 f x 3 a在區(qū)間 0 3 上有兩解 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào) A 0 a 1B a 1C 0 a 1D a 1 解析 選A 因?yàn)閒 x 是定義域?yàn)?0 的單調(diào)函數(shù) 對(duì)任意的x 0 都有f f x x 4 所以必存在唯一的正實(shí)數(shù)m 滿足f x x m f m 4 所以f m m a 由 得 4 m m 即m m 4 所以m 解得m 3 故f x x m 3 所以f x 3 x 由方程 f x 3 a在區(qū)間 0 3 上有兩解 即有 a在區(qū)間 0 3 上有兩解 作出y 的圖象 如圖所示 結(jié)合題意 0 a 1 熱點(diǎn)考向三利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題考向剖析 函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以二次函數(shù) 分段函數(shù)模型為載體 主要考查函數(shù)的最值問(wèn)題 典例4 松江有軌電車項(xiàng)目正在如火如荼地進(jìn)行中 通車后將給市民出行帶來(lái)便利 已知某條線路通車后 電車的發(fā)車時(shí)間間隔t 單位 分鐘 滿足2 t 20 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算 電車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān) 當(dāng)10 t 20時(shí)電車為滿載狀態(tài) 載客量為400人 當(dāng) 2 t 10時(shí) 載客量會(huì)減少 減少的人數(shù)與 10 t 的平方成正比 且發(fā)車時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為272人 記電車載客量為p t 1 求p t 的表達(dá)式 并求當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為6分鐘時(shí) 電車的載客量 2 若該線路每分鐘的凈收益為Q 60 元 問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí) 該線路每分鐘的凈收益最大 審題導(dǎo)引 1 要求p t 先列出 比例系數(shù) 相關(guān)的解析式 再利用待定系數(shù)法求解 2 要求每分鐘凈收益的最大值 先寫出 的解析式 再利用基本不等式求解 p t 與k Q 解析 1 由題意知 p t k為常數(shù) 因?yàn)閜 2 400 k 10 2 2 272 所以k 2 所以p t 所以p 6 400 2 10 6 2 368 2 由Q 60 可得 當(dāng)2 t 10時(shí) Q 180 180 2 60 當(dāng)且僅當(dāng)t 5時(shí)等號(hào)成立 當(dāng)10 t 20時(shí) Q 60 60 90 30 當(dāng)t 10時(shí)等號(hào)成立 所以當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí) 該線路每分鐘的凈收益最大 最大為60元 名師點(diǎn)睛 解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟 1 審題 弄清題意 分清條件和結(jié)論 理順數(shù)量關(guān)系 初步選擇函數(shù)模型 2 建模 將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言 將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言 利用數(shù)學(xué)知識(shí) 建立相應(yīng)的函數(shù)模型 3 解模 求解函數(shù)模型 得出數(shù)學(xué)結(jié)論 4 還原 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題 以上過(guò)程用框圖表示如下 考向精練 2018 綿陽(yáng)一模 某單位為鼓勵(lì)職工節(jié)約用水 作出如下規(guī)定 每位職工每月用水不超過(guò)10立方米的 按每立方米3元收費(fèi) 用水超過(guò)10立方米的 超過(guò)的部分按每立方米5元收費(fèi) 某職工某月繳水費(fèi)55元 則該職工這個(gè) 月實(shí)際用水為 立方米 A 13B 14C 15D 16 解析 選C 設(shè)該職工這個(gè)月實(shí)際用水為x立方米 因?yàn)槊课宦毠っ吭掠盟怀^(guò)10立方米的 按每立方米3元水費(fèi)收費(fèi) 所以用水不超過(guò)10立方米月繳水費(fèi)不超過(guò)30元 因?yàn)樵撀毠み@個(gè)月繳水費(fèi)55元 所以該職工這個(gè)月實(shí)際用水超過(guò)10立方米 超過(guò)部分的水費(fèi) x 10 5 所以由題意可列出一元一次方程 30 x 10 5 55 解得 x 15 加練備選 1 2018 楊浦區(qū)一模 如圖所示 用總長(zhǎng)為定值l的籬笆圍成長(zhǎng)方形的場(chǎng)地 以墻為一邊 并用平行于一邊的籬笆隔開(kāi) 1 設(shè)場(chǎng)地面積為y 垂直于墻的邊長(zhǎng)為x 試用解析式將y表示成x的函數(shù) 并確定這個(gè)函數(shù)的定義域 2 怎樣圍才能使得場(chǎng)地的面積最大 最大面積是多少 解析 1 場(chǎng)地面積為y 垂直于墻的邊長(zhǎng)為x 則y x l 3x 由x 0 且l 3x 0 可得函數(shù)的定義域?yàn)?2 y x l 3x 3x l 3x 當(dāng)x 時(shí) 這塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地的面積最大 這時(shí)的長(zhǎng)為l 3x l 最大面積為 2 2018 閔行區(qū)一模 某公司舉辦捐步公益活動(dòng) 參與者通過(guò)捐贈(zèng)每天的運(yùn)動(dòng)步數(shù)獲得公司提供的牛奶 再將牛奶捐贈(zèng)給留守兒童 此活動(dòng)不但為公益事業(yè)作出了較大的貢獻(xiàn) 公司還獲得了相應(yīng)的廣告效益 據(jù)測(cè)算 首日參與活動(dòng)人數(shù)為10000人 以后每天人數(shù)比前一天都增 加15 30天后捐步人數(shù)穩(wěn)定在第30天的水平 假設(shè)此項(xiàng)活動(dòng)的啟動(dòng)資金為30萬(wàn)元 每位捐步者每天可以使公司收益0 05元 以下人數(shù)精確到1人 收益精確到1元 1 求活動(dòng)開(kāi)始后第5天的捐步人數(shù) 及前5天公司的捐步總收益 2 活動(dòng)開(kāi)始第幾天以后公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余 解析 1 設(shè)第x天的捐步人數(shù)為f x 則f x 所以第5天的捐步人數(shù)為f 5 10000 1 15 4 17490 由題意可知前5天的捐步人數(shù)成等比數(shù)列 其中首項(xiàng)為10000 公比為1 15 所以前5天的捐步總收益為 0 05 3371 2 設(shè)活動(dòng)第m天后公司捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余 若1 m 30 則 0 05 300000 解得m log1 1591 32 3 舍 若m 30 則0 05 300000 解得x 32 87 所以活動(dòng)開(kāi)始后第33天公司的捐步總收益可以收回啟動(dòng)資金并有盈余