2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.7 曲線與方程課件 理.ppt

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9 7曲線與方程 高考理數(shù) 考點(diǎn)曲線與方程1 曲線的方程 與 方程的曲線 在直角坐標(biāo)系中 如果某曲線 看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡 上的點(diǎn)與一個二元方程f x y 0的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系 1 曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解 2 以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 那么 這個方程叫做 曲線的方程 這條曲線叫做 方程的曲線 事實上 曲線可以看作一個點(diǎn)集C 以二元方程的解作為坐標(biāo)的點(diǎn)也組成一個點(diǎn)集F 上述定義中 C F 知識清單 2 求動點(diǎn)的軌跡方程的步驟 1 建系 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 2 設(shè)點(diǎn) 設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P x y 3 列式 列出動點(diǎn)P的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式 4 代換 依條件的特點(diǎn) 選用距離公式 斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于x y的方程式 并化簡 5 證明 證明所求方程即為符合條件的動點(diǎn)的軌跡方程 知識拓展 1 求軌跡方程時 要注意檢驗曲線上的點(diǎn)與方程的解是否為一一對應(yīng)的關(guān)系 若不是 則應(yīng)對方程加上一定的限制條件 檢驗可以從以下兩個方面進(jìn)行 一是方程的化簡是否為同解變形 二是是否符合題目的實際意 義 2 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求 求軌跡時 應(yīng)先求軌跡方程 然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀 位置 大小等 3 在求軌跡問題時常用的數(shù)學(xué)思想 1 函數(shù)與方程的思想 求平面曲線的軌跡方程是將幾何條件 性質(zhì) 表示為動點(diǎn)坐標(biāo)x y的方程及函數(shù)關(guān)系 2 數(shù)形結(jié)合的思想 由曲線的幾何性質(zhì)求曲線方程是 數(shù) 與 形 的有機(jī)結(jié)合 3 等價轉(zhuǎn)化的思想 通過坐標(biāo)系使 數(shù) 與 形 相互結(jié)合 在解決問題時又需要相互轉(zhuǎn)化 1 直接法 如果動點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系 或這些幾何條件簡單明了且易于表達(dá) 我們只需把這種關(guān)系 翻譯 成含x y的等式 就得到軌跡方程 由于這種求軌跡方程的過程不需要其他步驟 也不需要特殊的技巧 所以稱之為直接法 2 待定系數(shù)法 若曲線的形狀和方程的形式確定 則只需解方程 組 即可 稱之為待定系數(shù)法 3 定義法 根據(jù)解析幾何中一些常用定義 例如 圓 橢圓 雙曲線 拋物線的定義 從定義出發(fā)直接寫出軌跡方程 或從定義出發(fā)建立關(guān)系式 從而求出軌跡方程 求軌跡方程的方法 方法技巧 定義法求軌跡方程的一般步驟 1 判斷動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是否滿足某種曲線的定義 2 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程 求方程中的基本量 3 求軌跡方程 4 代入法 相關(guān)點(diǎn)法 有些問題中 動點(diǎn)滿足的條件不便用等式列出 但動點(diǎn)是隨著另一動點(diǎn) 稱之為相關(guān)點(diǎn) 的運(yùn)動而運(yùn)動的 如果相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的條件是明顯的 或是可分析的 那么我們可以用動點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo) 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程即可求得動點(diǎn)的軌跡方程 這種求軌跡方程的方法叫做代入法 又叫相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)代換法 相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的一般步驟 1 分析題目 與動點(diǎn)M x y 相關(guān)的點(diǎn)P x0 y0 在已知曲線上運(yùn)動 2 尋求關(guān)系式x0 f x y y0 g x y 3 將x0 y0代入已知曲線方程 4 整理關(guān)于x y的關(guān)系式得M的軌跡方程 5 參數(shù)法 有時動點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出 也無明顯的相關(guān)點(diǎn) 但卻較易發(fā)現(xiàn) 或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn) 這個動點(diǎn)的運(yùn)動常常受到另一個變量 角度 斜率 比值 截距或時間等 的制約 即動點(diǎn)坐標(biāo) x y 中的x y分別隨另一變量的變化而變化 我們可稱這個變量為參數(shù) 建立軌跡的參數(shù)方程 這種方法叫參數(shù)法 如果需要得到軌跡的普通方程 只要消去參數(shù)即可 在選擇參數(shù)時 選用的參變量可以具有某種物理或幾何性質(zhì) 如時間 速度 距離 角度 有向線段的數(shù)量 直線的斜率 點(diǎn)的橫 縱坐標(biāo)等 也可以沒有具體的意義 選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點(diǎn)坐標(biāo)取值范圍的影響 6 交軌法 求兩條動曲線 含直線 的交點(diǎn)的軌跡方程時 可引入?yún)?shù)t 用t分別表示兩條動曲線的方程 聯(lián)立它們消去t便得交點(diǎn)的軌跡方程 此方法稱為交軌法 例1 2017廣東七校聯(lián)考 10 已知圓的方程為x2 y2 4 若拋物線過定點(diǎn)A 0 1 B 0 1 且以該圓的切線為準(zhǔn)線 則拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程是 C A 1 y 0 B 1 y 0 C 1 x 0 D 1 x 0 解析過點(diǎn)A B O O為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別向拋物線的準(zhǔn)線作垂線 垂足分別為A1 B1 O1 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F x y 則 FA AA1 FB BB1 FA FB AA1 BB1 O為AB的中點(diǎn) AA1 BB1 2 OO1 4 FA FB 4 2 AB 故點(diǎn)F的軌跡是以A B為焦點(diǎn)的橢圓 可知其方程為 1 又點(diǎn)F不能在y軸上 故所求軌跡方程為 1 x 0 故選C 例2如圖 P是圓x2 y2 4上的動點(diǎn) P點(diǎn)在x軸上的射影是D 點(diǎn)M滿足 1 求動點(diǎn)M的軌跡C的方程 并說明軌跡是什么圖形 2 過點(diǎn)N 3 0 的直線l與動點(diǎn)M的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)A B 求以O(shè)A OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點(diǎn)E的軌跡方程 解題導(dǎo)引