河南省七年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 整式的乘除 1.5 平方差公式（1）教案 （新版）新人教版.doc

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第一章：整式的乘除 課 題 1.5 平方差公式(1) 課時安排 共（ ）課時 課程標(biāo)準(zhǔn) 課程標(biāo)準(zhǔn)28頁 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程. 2.會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進(jìn)行簡單的運算. 教學(xué)重點 平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用. 教學(xué)難點 用平方差公式的結(jié)構(gòu)特征判斷題目能否使用公式. 教學(xué)方法 探究與講練相結(jié)合. 教學(xué)準(zhǔn)備 課件制作 課前作業(yè) 預(yù)習(xí)并嘗試完成隨堂練習(xí) 教學(xué)過程 教學(xué)環(huán)節(jié) 課堂合作交流 二次備課 （修改人： ） 環(huán) 節(jié) 一 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)情景，引入新課 ［師］你能用簡便方法計算下列各題嗎？ (1)20011999；(2)992－1 ［生］可以.在(1)中20011999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－11=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800. ［師］很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運算，從而使運算很簡便.我們不妨觀察第(1)題，2001和1999，一個比2000大1，于是可寫成2000與1的和，一個比2000小1，于是可寫成2000與1的差，所以20011999就是2000與1這兩個數(shù)的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀察利用多項式與多項式相乘的法則算出來的結(jié)果為：20002－12，恰為這兩個數(shù)2000與1的平方差.即 (2000+1)(2000－1)=20002－12. 那么其他滿足這個特點的運算是否也有類似的結(jié)果呢？ 我們不妨看下面的做一做. 課中作業(yè) 環(huán) 節(jié) 二 Ⅱ.使學(xué)生在計算的過程中，通過觀察、歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用自己的語言和符號表示其規(guī)律 ［師］出示投影片(1.5.1 A) 做一做：計算下列各題： (1)(x+2)(x－2); (2)(1+3a)(1－3a); (3)(x+5y)(x－5y); (4)(y+3z)(y－3z). 觀察以上算式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運算出結(jié)果，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？再舉兩例驗證你的發(fā)現(xiàn)？ ［生］上面四個算式都是多項式與多項式的乘法. ［生］上面四個算式每個因式都是兩項. ［生］除上面兩個同學(xué)說的以外，更重要的是：它們都是兩個數(shù)的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個數(shù)的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個數(shù)的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個數(shù)的和與差的積. ［師］我們觀察出了算式的結(jié)構(gòu)特點.像這樣的多項式與多項式相乘，它們的結(jié)果如何呢？只要你肯動筆、動腦，相信你一定會探尋到答案. ［生］解：(1)(x+2)(x－2) =x2－2x+2x－4=x2－4； (2)(1+3a)(1－3a) =1－3a+3a－9a2=1－9a2； (3)(x+5y)(x－5y) =x2－5xy+5xy－25y2 =x2－25y2； (4)(y+3z)(y－3z) =y2－3yz+3zy－9z2 =y2－9z2 (如有必要的話可以讓學(xué)生利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉(zhuǎn)化成單項式與多項式相乘，進(jìn)一步體會乘法分配律的重要作用以及轉(zhuǎn)化的思想) ［生］從剛才這位同學(xué)的運算，我發(fā)現(xiàn)： 即兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差.這和我們前面的一個簡便運算得出同樣的結(jié)果. 即 ［師］你還能舉兩個例子驗證你的發(fā)現(xiàn)嗎？ ［生］可以.例如： (1)10199=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999； (2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2. 即 上面兩個例子，同樣可以驗證：兩個數(shù)的和與差的積，等于它們的平方差. ［師］為什么會有這樣的特點呢？ ［生］因為利用多項式與多項式相乘的運算法則展開后，中間兩項是同類項且系數(shù)互為相反數(shù)，所以相加后為零.只剩下這個數(shù)的平方差. ［師］很好！你能用一般形式表示上述規(guī)律，并對規(guī)律進(jìn)行證明嗎？ ［生］可以.上述規(guī)律用符號表示為： (a+b)(a－b)=a2－b2 ① 其中a,b可以表示任意的數(shù)，也可以表示代表數(shù)的單項式、多項式. 利用多項式與多項式相乘的運算法則可以對規(guī)律進(jìn)行證明，即 (a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2 ［師］同學(xué)們確實不簡單用符號表示和證明我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律簡捷明快. 你能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個名字嗎？能形象直觀地反映出此規(guī)律的. ［生］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式. ［師］大家同意嗎？ ［生］同意. ［師］好了！這節(jié)課我們主要就是學(xué)習(xí)討論這個公式的.你能用語言描述這個公式嗎？ ［生］可以.這個公式表示兩數(shù)和與差的積，等于它們的平方差. ［師］平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式.用它直接運算會很簡單，但要注意必須符合公式的結(jié)構(gòu)特點才能利用它進(jìn)行運算. 課中作業(yè) (1)(m+2)(m－2); (2)(1+3a)(1－3a); 環(huán) 節(jié) 三 Ⅲ.體會平方差公式的應(yīng)用，感受平方差公式給多項式乘法運算帶來的方便，進(jìn)一步熟悉平方差公式. 出示投影片(1.5.1 B) ［例1］(1)下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是( ) A.(x+1)(1+x) B.(a+b)(b－a) C.(－a+b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2) E.(－a－b)(a－b) F.(c2－d2)(d2+c2) (2)利用平方差公式計算： (5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y); (－m+n)(－m－n). ［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因為B.(a+b)(b－a)利用加法交換律可得(a+b)(b－a)=(b+a)(b－a),表示b與a這兩個數(shù)的和與差的積，符合平方差公式的特點；E.(－a－b)(a－b),同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b與a這兩個數(shù)和與差的積，也符合平方差公式的特點；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個數(shù)和與差的積，同樣符合平方差公式的特點. ［師］為什么A、C、D不能用平方差公式呢？ ［生］A、C、D表示的不是兩個數(shù)的和與差的積的形式. ［師］下面我們就來做第(2)題，首先分析它們分別是哪兩個數(shù)和與差的積的形式. ［生］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個數(shù)的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個數(shù)的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個數(shù)的和與差的形式. ［師］很好！下面我們就來用平方差公式計算上面各式. ［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2; (x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2; (－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2. ［師］這位同學(xué)的思路非常清楚.下面我們再來看一個例題. 出示投影片(記作1.5.1 C) ［例2］利用平方差公式計算： (1)(－x－y)(－x+y); (2)(ab+8)(ab－8); (3)(m+n)(m－n)+3n2. ［師］同學(xué)們可先交流、討論，然后各小組派一代表到黑板上演示.然后再派一位同學(xué)講評. ［生］解：(1)(－x－y)(－x+y)——(－x)與y的和與差的積 =(－x)2－y2——利用平方差公式得(－x)與y的平方差 =x2－y2——運算至最后結(jié)果 (2)(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積 =(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差 =a2b2－64——運算至最后結(jié)果 (3)(m+n)(m－n)+3n2——據(jù)運算順序先計算m與n的和與差的積 =(m2－n2)+3n2——利用平方差公式 =m2－n2+3n2——去括號 =m2+2n2——合并同類項至最簡結(jié)果 ［生］剛才這位同學(xué)的運算有條有理，有根有據(jù)，我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點： (1)公式中的字母a、b可以表示數(shù)，也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式. (2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式. (3)有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式，但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實質(zhì)上能應(yīng)用公式. ［生］還需注意最后的結(jié)果必須最簡. ［師］同學(xué)們總結(jié)的很好！下面我們再來練習(xí)一組題. 投影片(1.5.1 D) 1.計算： (1)(a+2)(a－2); (2)(3a+2b)(3a－2b); (3)(－x+1)(－x－1); (4)(－4k+3)(－4k－3). 2.把下圖左框里的整式分別乘(a+b),所得的積寫在右框相應(yīng)的位置上. 解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4; (2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2; (3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1; (4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9. 2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2; (a－b)(a+b)=a2－b2; (－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2; (－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b) =－a2－ab－ab－b2 =－a2－2ab－b2 (教師在讓學(xué)生做練習(xí)，可巡視練習(xí)的情況，對確實有困難的學(xué)生要給以指導(dǎo)) 課中作業(yè) (－x+1)(－x－1)= (－4k+3)(－4k－3) 課后作業(yè)設(shè)計： 課本習(xí)題1.9，第1,2題. （修改人： ） 板書設(shè)計： 1.5.1 平方差公式(一) 做一做 解：(1)(x+2)(x－2)=x2－2x+2x－4=x2－4; (2)(1+3a)(1－3a)=1－3a+3a－9a2=1－9a2; (3)(x+5y)(x－5y)=x2－5xy+5xy－25y2=x2－25y2; (4)(y+3z)(y－3z)=y2－3yz+3zy－9z2=y2－9z2. 歸納、猜想規(guī)律 (a+b)(a－b)=a2－b2 兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方差. 用符號運算證明 (a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2. 應(yīng)用、升華 例1.(抓住平方差公式的特征，準(zhǔn)確地利用平方差公式計算) 例2.(對公式中a、b含義的理解，既可以是具體的數(shù)也可以是整數(shù)) 隨堂練習(xí)(熟悉平方差公式). 教學(xué)反思：