2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 平面向量的線性運(yùn)算 2.2.1 向量加法運(yùn)算及其幾何意義學(xué)案 新人教A版必修4.doc

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2.2.1　向量加法運(yùn)算及其幾何意義 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及其運(yùn)算律．(難點(diǎn))2.掌握向量加法運(yùn)算法則，能熟練地進(jìn)行加法運(yùn)算．(重點(diǎn))3.數(shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．向量加法的定義 定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法． 對(duì)于零向量與任一向量a，規(guī)定0＝a＋0＝a. 2．向量求和的法則 三角 形法則 已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，則向量A叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝＋＝ 平行 四邊 形法則 已知兩個(gè)不共線向量a，b，作＝a，＝b，以，為鄰邊作?ABCD，則對(duì)角線上的向量A＝a＋b. 3．向量加法的運(yùn)算律 (1)交換律：a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．思考辨析 (1)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.(　　) (2)＋＝0.(　　) (3)求任意兩個(gè)非零向量的和都可以用平行四邊形法則．(　　) [解析]　(1)正確．(2)正確．(3)錯(cuò)誤．平行四邊形法則只適用于求兩個(gè)不共線的向量的和． [答案]　(1)√　(2)√　(3) 2.＋＋等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. C　[＋＋＝＋＋＝.] 3．如圖221，在平行四邊形ABCD中，＋＝________. 圖221 　[由平行四邊形法則可知＋＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 向量加法運(yùn)算法則的應(yīng)用 [探究問(wèn)題] 1．求作兩個(gè)向量和的法則有哪些？這些法則的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四邊形法則，對(duì)應(yīng)的物理模型是力的合成等． (2)三角形法則，對(duì)應(yīng)的物理模型是位移合成等． 2．設(shè)A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面內(nèi)的點(diǎn)，則一般情況下，＋＋＋…＋的運(yùn)算結(jié)果是什么？ 提示：將三角形法則進(jìn)行推廣可知＋＋＋…＋＝. 　(1)如圖222，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，F(xiàn)為線段DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填上一個(gè)向量)： 圖222 ①＋＝________；②＋＝________；③＋＋＝________. (2)①如圖223甲所示，求作向量和a＋b. ②如圖223乙所示，求作向量和a＋b＋c. 甲　　　　 　　乙 圖223 [思路探究]　(1)先由平行四邊形的性質(zhì)得到有關(guān)的相等向量，并進(jìn)行代換，然后用三角形法則化簡(jiǎn)． (2)用三角形法則或平行四邊形法則畫圖． (1)①?、凇、邸(1)如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運(yùn)算法則可知： ①＋＝＋＝. ②＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝. (2)①首先作向量＝a，然后作向量＝b，則向量＝a＋b.如圖所示． ②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，再作向量＝b，則得向量＝a＋b，然后作向量＝c，則向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求． 法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作向量＝a，＝b，＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則＝＋＝a＋b.再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則＝＋＝a＋b＋c即為所求．] 母題探究：1.在例1(1)條件下，求＋. [解]　因?yàn)锽C∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形， 所以＋＝. 2．在例1(1)圖形中求作向量＋＋. [解]　過(guò)A作AG∥DF交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G， 則＋＝作＝，連結(jié)， 則＝＋＋，如圖所示． [規(guī)律方法]　1.向量求和的注意點(diǎn)： (1)三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用． (2)兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量． (3)平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用． 2．利用三角形法則時(shí)，要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點(diǎn)指向終點(diǎn)”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點(diǎn)”，其和向量為共起點(diǎn)的“對(duì)角線”向量． 提醒：(1)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半． 向量加法運(yùn)算律的應(yīng)用 　(1)設(shè)a＝(＋)＋(＋)，b是一個(gè)非零向量，則下列結(jié)論正確的有________．(將正確答案的序號(hào)填在橫線上) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)如圖224，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各式： 圖224 ①＋＋； ②＋＋＋. [思路探究]　根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運(yùn)用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加． [解]　(1)由條件得：(＋)＋(＋)＝0＝a，故選①③. (2)①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝； ②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. [規(guī)律方法]　向量加法運(yùn)算律的意義和應(yīng)用原則： (1)意義： 向量加法的運(yùn)算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實(shí)現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運(yùn)算的目的.,實(shí)際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行. (2)應(yīng)用原則： 利用代數(shù)方法通過(guò)向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過(guò)向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序. [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)等于1，則|＋＋＋|＝________. 2　[|＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.] 向量加法的實(shí)際應(yīng)用 　如圖225，用兩根繩子把重10 N的物體W吊在水平桿子AB上，∠ACW＝150，∠BCW＝120，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì)) 圖225 [思路探究]　 →→ [解]　如圖所示，設(shè)，分別表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，則＋＝. 易得∠ECG＝180－150＝30， ∠FCG＝180－120＝60. ∴||＝||cos 30＝10＝5， ||＝||cos 60＝10＝5. ∴A處所受的力為5 N，B處所受的力為5 N. [規(guī)律方法]　利用向量的加法解決實(shí)際應(yīng)用題的三個(gè)步驟 [跟蹤訓(xùn)練] 2．如圖226所示，一架飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km到達(dá)B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55的方向飛行800 km送往C地醫(yī)院，求這架飛機(jī)飛行的路程及兩次位移的和. 圖226 [解]　設(shè)，分別表示飛機(jī)從A地按北偏東35的方向飛行800 km，從B地按南偏東55的方向飛行800 km，則飛機(jī)飛行的路程指的是||＋||； 兩次飛行的位移的和指的是＋＝. 依題意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)， 又α＝35，β＝55，∠ABC＝35＋55＝90， 所以||＝＝ ＝800(km)． 其中∠BAC＝45，所以方向?yàn)楸逼珫|35＋45＝80. 從而飛機(jī)飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為800 km，方向?yàn)楸逼珫|80. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．化簡(jiǎn)＋＋等于(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. C　[＋＋＝.] 2．對(duì)于任意一個(gè)四邊形ABCD，下列式子不能化簡(jiǎn)為的是(　　) A.＋＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ C　[在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝.] 3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60，||＝1，則|＋|＝________. 1　[在菱形ABCD中，連接BD(圖略)， ∵∠DAB＝60，∴△BAD為等邊三角形， 又∵||＝1，∴||＝1， |＋|＝||＝1.] 4．若a表示“向東走8 km”，b表示“向北走8 km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________． 8 km　東北方向　[如圖所示，作＝a，＝b， 則a＋b＝＋＝. 所以|a＋b|＝|| ＝＝8(km)， 因?yàn)椤螦OB＝45， 所以a＋b的方向是東北方向．] 5．如圖227所示，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量： 圖227 (1)＋； (2)＋. [解]　(1)由題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得＋＝. (2)由題圖可知，＝＝＝， ∴＋＝＋＝.