2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.2 演繹推理優(yōu)化練習(xí) 新人教A版選修2-2.doc

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2.1.2 演繹推理 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．“π是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以π是無(wú)理數(shù)”，以上推理的大前提是(　　) A．實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù) B．無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù) C．無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù) D．有理數(shù)都是有限循環(huán)小數(shù) 解析：由三段論的知識(shí)可知，其大前提是：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)都是無(wú)理數(shù)． 答案：C 2．推理：“①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　) A．①　　　　　　　　　　 B．② C．③ D．①② 解析：由①②③的關(guān)系知，小前提應(yīng)為“三角形不是平行四邊形”．故應(yīng)選B. 答案：B 3．有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b在平面α外，直線a在平面α內(nèi)，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤 解析：直線平行平面α，則該直線與平面內(nèi)的直線平行或異面，故大前提錯(cuò)誤． 答案：A 4．某西方國(guó)家流傳這樣的一個(gè)政治笑話：“鵝吃白菜，參議員先生也吃白菜，所以參議員先生是鵝”．結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤 解析：推理形式不符合三段論推理的形式．三段論的形式是：M是P，S是M，則S是P，而上面的推理形式則是：M是P，S是P，則S是M.故選C. 答案：C 5．《論語(yǔ)學(xué)路》篇中說(shuō)：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂(lè)不興；禮樂(lè)不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無(wú)所措手足；所以，名不正，則民無(wú)所措手足．”上述推理用的是(　　) A．類比推理 B．歸納推理 C．演繹推理 D．一次三段論 解析：這是一個(gè)復(fù)合三段論，從“名不正”推出“民無(wú)所措手足”，連續(xù)運(yùn)用五次三段論，屬演繹推理形式． 答案：C 6．已知推理：“因?yàn)椤鰽BC的三邊長(zhǎng)依次為3、4、5，所以△ABC是直角三角形”，若將其恢復(fù)成完整的三段論，則大前提是________． 解析：題中推理的依據(jù)是勾股定理的逆定理． 答案：一條邊的平方等于其他兩邊平方和的三角形是直角三角形． 7．以下推理中，錯(cuò)誤的序號(hào)為_(kāi)_______． ①∵ab＝ac，∴b＝c； ②∵a≥b，b>c，∴a>c； ③∵75不能被2整除，∴75是奇數(shù)； ④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α. 解析：當(dāng)a＝0時(shí)，ab＝ac，但b＝c未必成立． 答案：① 8．求函數(shù)y＝的定義域時(shí)，第一步推理中大前提是有意義時(shí)，a≥0，小前提是有意義，結(jié)論是________． 解析：由三段論方法知應(yīng)為log2x－2≥0. 答案：log2x－2≥0 9．判斷下列幾個(gè)推理是否正確？為什么？ (1)“因?yàn)檫^(guò)不共線的三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面(大前提)，而A，B，C為空間三點(diǎn)(小前提)，所以過(guò)A，B，C三點(diǎn)只能確定一個(gè)平面(結(jié)論)．” (2)“因?yàn)榻饘巽~、鐵、鋁能夠?qū)щ?大前提)，而金是金屬(小前提)，所以金能導(dǎo)電(結(jié)論)．” 解析：(1)不正確．小前提錯(cuò)誤．因?yàn)槿羧c(diǎn)共線，則可確定無(wú)數(shù)平面，只有不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面． (2)不正確．推理形式錯(cuò)誤．因?yàn)檠堇[推理是從一般到特殊的推理，銅、鐵、鋁僅是金屬的代表，是特殊事例，從特殊到特殊的推理不是演繹推理． 10.如圖所示，從A地出發(fā)到河邊飲完馬再到B地去，在河邊哪個(gè)地方飲馬可使路途最短？ 解析：如圖，先作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，交MN于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求．用演繹法證明如下： 如圖所示，在MN上任取一點(diǎn)P′(異于點(diǎn)P)，連接AP′、A′P′、BP′，則AP′＝P′A′，AP＝PA′，從而AP′＋P′B＝A′P′＋P′B＞A′P＋PB＝AP＋PB.由此可知：A到B經(jīng)P點(diǎn)距離最短． [B組　能力提升] 1．命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但大前提使用錯(cuò)誤 D．使用了“三段論”，但小前提使用錯(cuò)誤 解析：應(yīng)用了“三段論”推理，小前提與大前提不對(duì)應(yīng)，小前提使用錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤． 答案：D 2．設(shè)⊕是R內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是(　　) A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集 C．有理數(shù)集 D．無(wú)理數(shù)集 解析：A錯(cuò)，因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法不封閉；B錯(cuò)，因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì)，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)，因?yàn)闊o(wú)理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉． 答案：C 3．甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)， 甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市； 乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市． 丙說(shuō)：我們?nèi)齻€(gè)去過(guò)同一城市． 由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)_______． 解析：由甲、丙的回答易知甲去過(guò)A城市和C城市，乙去過(guò)A城市或B城市，結(jié)合丙的回答可得乙去過(guò)A城市． 答案：A 4．已知函數(shù)f(x)滿足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，則f(2 010)＝________. 解析：令y＝1得4f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，即f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)① 令x取x＋1則f(x＋1)＝f(x＋2)＋f(x)② 由①②得f(x)＝f(x＋2)＋f(x)＋f(x－1)，即f(x－1)＝－f(x＋2)， ∴f(x)＝－f(x＋3)，∴f(x＋3)＝－f(x＋6)， ∴f(x)＝f(x＋6)，即f(x)周期為6， ∴f(2 010)＝f(6335＋0)＝f(0)， 對(duì)4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)，令x＝1，y＝0，得4f(1)f(0)＝2f(1)， ∴f(0)＝，即f(2 010)＝. 答案： 5．計(jì)算機(jī)裝置有一個(gè)數(shù)據(jù)輸入口A和一個(gè)運(yùn)算結(jié)果的輸出口B，某同學(xué)編入下列運(yùn)算程序，將數(shù)據(jù)輸入且滿足以下性質(zhì)： ①?gòu)腁輸入1時(shí)，從B得到. ②從A輸入整數(shù)n(n≥2)時(shí)，在B得到的結(jié)果f(n)是將前一結(jié)果f(n－1)先乘奇數(shù)2n－3，再除以奇數(shù)2n＋1. (1)求出f(2)，f(3)，f(4)； (2)由(1)推測(cè)出f(n)的表達(dá)式，并給出證明． 解析：(1)由題設(shè)條件知，f(1)＝，f(n)＝f(n－1)， ∴當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＝； 當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝＝； 當(dāng)n＝4時(shí)，f(4)＝＝. (2)猜想f(n)＝. ∵＝， ∴f(n)＝…f(1) ＝…＝. 6.(2014高考江西卷)如圖，已知拋物線C：x2＝4y，過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn))． (1)證明：動(dòng)點(diǎn)D在定直線上； (2)作C的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y＝2相交于點(diǎn)N1，與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2. 證明：|MN2|2－|MN1|2為定值，并求此定值． 證明：(1)依題意可設(shè)AB方程為y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有x1x2＝－8， 直線AO的方程為y＝x；BD的方程為x＝x2. 解得交點(diǎn)D的坐標(biāo)為 注意到x1x2＝－8及x＝4y1，則有y＝＝＝－2， 因此D點(diǎn)在定直線y＝－2(x≠0)上． (2)依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，設(shè)切線l的方程為y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)， 即x2－4ax－4b＝0， 由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化簡(jiǎn)整理得b＝－a2. 故切線l的方程可寫為y＝ax－a2. 分別令y＝2、y＝－2得N1、N2的坐標(biāo)為 N1(＋a,2)，N2(－＋a，－2)， 則|MN2|2－|MN1|2＝(－a)2＋42－(＋a)2＝8，即|MN2|2－|MN1|2為定值8.