2018-2019學年高中數學 第1章 導數及其應用 1.5 定積分 1.5.1-1.5.2 曲邊梯形的面積 定積分講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc

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1．5.1 & 1.5.2　曲邊梯形的面積　定積分 [對應學生用書P24] 曲邊梯形的面積 如圖，陰影部分是由直線x＝1，x＝2，y＝0和函數f(x)＝x2所圍成的圖形， 問題1：利用你已學知識能求出陰影部分的面積嗎？ 提示：不能． 問題2：若把區(qū)間[1,2]分成許多小區(qū)間，進而把陰影部分拆分為一些小曲邊梯形，你能近似地求出這些小曲邊梯形的面積嗎？ 提示：可以．把每一個小曲邊梯形看作一個小矩形求解． 問題3：我們知道，拆分后的所有小曲邊梯形的面積和是該陰影部分的面積，如何才能更精確地求出陰影部分的面積呢？ 提示：分割的曲邊梯形數目越多，所求面積越精確． 1．曲邊梯形的面積 將已知區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，當分點非常多(n很大)時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化(或變化非常小)，從而可以取小區(qū)間內任意一點xi對應的函數值f(xi)作為小矩形一邊的長．于是，可用f(xi)Δx來近似表示小曲邊梯形的面積，這樣，和式f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xn)Δx表示了曲邊梯形面積的近似值． 2．求曲邊梯形的面積的步驟 求曲邊梯形面積的過程可以用流程圖表示為： →→→ 定積分 設函數f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為Δx，在每個小區(qū)間上取一點，依次為x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx. 如果當Δx→0(亦即n→＋∞)時，Sn→S(常數)，那么稱常數S為函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分．記為S＝f(x)dx. 其中，f(x)稱為被積函數，[a，b]稱為積分區(qū)間，a稱為積分下限，b稱為積分上限． 定積分的幾何意義 問題1：試利用定積分的定義計算xdx的值． 提示：將區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間，則第i個小區(qū)間為，第i個小區(qū)間的面積為 ΔSi＝f＝， 所以Sn＝Si＝＝(1＋2＋3＋…＋n) ＝＝＋， 當n→＋∞時，Sn→，所以xdx＝. 問題2：直線x＝0，x＝1，y＝0和函數f(x)＝x圍成的圖形的面積是多少？ 提示：如圖，S＝11＝. 問題3：以上兩個問題的結果一樣嗎？ 提示：一樣． 問題4：以上問題說明了什么道理？ 提示：定積分f(x)dx(f(x)≥0)的值等于直線x＝a，x＝b，(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的面積． 一般地，定積分 f(x)dx的幾何意義是，在區(qū)間[a，b]上曲線與x軸所圍圖形面積的代數和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積．) 1．“分割”的目的在于更精確地實施“以直代曲”，例子中以“矩形”代替“曲邊梯形”，分割越細，這種“代替”就越精確．當n越大時，所有“小矩形的面積和就越逼近曲邊梯形的面積”． 2．定積分f(x)dx是一個常數，即定積分是一個數值，它僅僅取決于被積函數和積分區(qū)間，而與積分變量用什么字母表示無關，如x2dx＝t2dt. 利用定積分的定義求曲邊梯形的面積 [例1]　求由直線x＝1，x＝2和y＝0及曲線y＝x3圍成的圖形的面積． [思路點撥]　依據求曲邊梯形面積的步驟求解． [精解詳析]　(1)分割 如圖，把曲邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯形，用分點，，…，把區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間：，，…，，…，，每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝， 過各分點作x軸的垂線，把曲 邊梯形ABCD分割成n個小曲邊梯 形，它們的面積分別記作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn. (2)以直代曲 取各小區(qū)間的左端點ξi，用ξ為一邊長，以小區(qū)間長Δx＝為其鄰邊長的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形的面積，可以近似地表示為 ΔSi≈ξΔx＝3(i＝1,2,3，…，n)． (3)作和 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和就是曲邊梯形ABCD的面積S的近似值，即S＝Si≈3.① (4)逼近 當分割無限變細，即Δx→0時，和式①的值→S. 因為3＝(n＋i－1)3 ＝(n－1)3＋3(n－1)2i＋3(n－1)i2＋i3] ＝[n(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)(n＋1)(2n＋1)＋n2(n＋1)2]， 當n→∞時， S＝3＝1＋＋1＋＝. [一點通]　 (1)規(guī)則四邊形：利用四邊形的面積公式． (2)曲邊梯形 ①思想：以直代曲； ②步驟：分割→以直代曲→作和→逼近； ③關鍵：以直代曲； ④結果：分割越細，面積越精確． 1．已知汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝－t2＋2t(單位：km/h)，求它在1≤t≤2這段時間行駛的路程是多少？ 解：將時間區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間， 則第i個小區(qū)間為， 在第i個時間段的路程近似為ΔSi＝vΔt＝，i＝1,2，…，n. 所以Sn＝Si＝＝－[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋ [(n＋1)＋(n＋2)＋…＋2n] ＝－＋ ＝－＋＋3＋， n→＋∞時，－＋＋3＋→S. 則當n→∞時，－＋ ＋3＋→. 由此可知，S＝. 所以這段時間行駛的路程為 km. 利用定積分的幾何意義求定積分 [例2]　利用定積分的幾何意義，求： (1) dx； (2) (2x＋1)dx. [思路點撥]　f(x)dx的幾何意義：介于x＝a，x＝b之間，x軸上、下相應曲邊平面圖形面積的代數和． [精解詳析]　(1)在平面上y＝表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓(如圖(1)所示)． 其面積為S＝π32＝π. 由定積分的幾何意義知dx＝π. (2)在平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線． (2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3圍成的直角梯形OABC的面積(如圖(2)所示)． 其面積為S＝(1＋7)3＝12. 根據定積分的幾何意義知(2x＋1)dx＝12. [一點通]　(1)利用幾何意義求定積分，關鍵是準確確定被積函數的圖象以及積分區(qū)間，正確利用相關的幾何知識求面積，不規(guī)則圖形常用分割法求面積，注意分割點的確定． (2)兩種典型的曲邊梯形面積的計算方法： ①由三條直線x＝a、x＝b(a0)，求實數a的值． 解：由定積分的幾何意義知： xdx＝aa＝1(a>0)， 則有a＝. 7．計算定積分(3x－6)dx. 解：如圖，計算可得A的面積為，B的面積為6，從而(3x－6)dx＝－6＝. 8．利用定積分的幾何意義求： dx. 解：∵被積函數為y＝，其表示的曲線為以原點為圓心，1為半徑的四分之一圓，由定積分的幾何意義，可知所求的定積分即為四分之一圓的面積， 所以dx＝12＝.