2019-2020年高三數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí) 第5部分 數(shù)列與極限題型整理分析.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第三輪復(fù)習(xí) 第5部分 數(shù)列與極限題型整理分析 35、等差數(shù)列{}中,通項(xiàng),前項(xiàng)和(為公差,).證明某數(shù)列是等差(比)數(shù)列,通常利用等差(比)數(shù)列的定義加以證明,即證:是常數(shù)(=常數(shù),,也可以證明連續(xù)三項(xiàng)成等差(比)數(shù)列.即對(duì)于任意的自然數(shù)有:(). [舉例]數(shù)列滿足:. (1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求的通項(xiàng)公式. 分析:注意是到證明數(shù)列是等差數(shù)列,則要證明是常數(shù).而,所以.即數(shù)列是等差數(shù)列.又,則,所以. 36、等差數(shù)列前n項(xiàng)和、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和(即連續(xù)相等項(xiàng)的和)仍成等差數(shù)列;等比數(shù)列前n項(xiàng)和(和不為0)、次n項(xiàng)和、再后n項(xiàng)和仍成等比數(shù)列.類比還可以得出:等比數(shù)列的前n項(xiàng)的積、次n項(xiàng)的積、再后n項(xiàng)的積仍成等比數(shù)列. [舉例1]已知數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)的和,,則_; 分析:注意到是等差數(shù)列的連續(xù)4項(xiàng)的和,它們成等差數(shù)列.可以得到,所以. [舉例2]已知數(shù)列是等比數(shù)列,是其前項(xiàng)的積,,則_. 分析:由成等比,則,所以. 37、在等差數(shù)列中,若,則;在等比數(shù)列中,若,則等差(等比)數(shù)列中簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧多源于這條性質(zhì). [舉例]數(shù)列是等比數(shù)列,,且公比為整數(shù),則的值為_______. 分析:由得或,又此數(shù)列的公比為整數(shù),所以公比,則. 38、等差數(shù)列當(dāng)首項(xiàng)且公差,前n項(xiàng)和存在最大值.當(dāng)首項(xiàng)且公差,前n項(xiàng)和存在最小值.求等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值可以利用不等式組來確定的值;也可以利用等差數(shù)列的前項(xiàng)的和是的二次函數(shù)(常數(shù)項(xiàng)為0)轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題來求解. [舉例1]若是等差數(shù)列,首項(xiàng),則(1)使前項(xiàng)和最大的自然數(shù)是__;(2)使前項(xiàng)和的最大自然數(shù) ; 分析:由條件可以看出,可知最大,則使最大的自然數(shù)為xx;由知,,,所以,則使的最大自然數(shù)為4012. [舉例2]在等差數(shù)列中,滿足且是數(shù)列前項(xiàng)的和.若取得最大值,則_____. 分析:首項(xiàng)、公差(比)是解決等差(比)數(shù)列的最基本出發(fā)點(diǎn).等差(比)數(shù)列的運(yùn)算多可以通過首項(xiàng)與公差(比)來解決.由知,則.當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以. 39、數(shù)列是等比數(shù)列,其前項(xiàng)的和是關(guān)于的分段函數(shù),在求和過程中若公比不是具體數(shù)值時(shí),則要進(jìn)行討論. [舉例1]數(shù)列是等比數(shù)列,前項(xiàng)和為,且,求的取值范圍. 分析:注意到等比數(shù)列的公比是不為零的常數(shù),前項(xiàng)和存在的前提條件是,且,知,則,有,則 . [舉例2]數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng),公比,求的值. 分析:涉及到等比數(shù)列的前項(xiàng)和的問題不能直接的應(yīng)用公式,要考慮到公比的取值情況.當(dāng)時(shí),,此時(shí);當(dāng)時(shí),,則= . 40、等差數(shù)列、等比數(shù)列的“基本元”是首項(xiàng)、公差(比),當(dāng)覺得不知如何用性質(zhì)求解時(shí),可以把問題轉(zhuǎn)化成“基本元”解決.學(xué)會(huì)用任意兩項(xiàng)關(guān)系:若}是等差數(shù)列,則對(duì)于任意自然數(shù)有;若}是等比數(shù)列,則對(duì)于任意的自然數(shù),有.在這兩關(guān)系式中若取,這就是等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式. [舉例1]已知數(shù)列是等差數(shù)列,首項(xiàng),且.若此數(shù)列的前項(xiàng)和為,問是否存在最值?若存在,為何值?若不存在,說明理由. 分析:對(duì)于本題來說,等差數(shù)列的基本性質(zhì)用不上,可以化歸為首項(xiàng)與公差來解決.設(shè)此數(shù)列的公差為,則,即,由知,所以數(shù)列是遞減數(shù)列,故有最大值而無最小值.由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式知:,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以最大.綜上知,當(dāng)時(shí),最大,不存在最小值. [舉例2]已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,首項(xiàng),且.若此數(shù)列的前項(xiàng)積為,問是否存在最值?說明理由. 分析:與舉例1聯(lián)系起來,這是數(shù)列中的“類比”問題.其解決的思想方法是一樣的.對(duì)于單調(diào)正項(xiàng)數(shù)列,前項(xiàng)積最大(?。瑒t應(yīng)滿足. 設(shè)此數(shù)列公比為,則,則..由知:時(shí),時(shí),.所以當(dāng)時(shí),最大,沒有最小值. [特別注意]等差數(shù)列與正項(xiàng)等比數(shù)列之間存在的類比關(guān)系實(shí)際上是運(yùn)算上的變化,這種變化可以由等差數(shù)列與等比數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)來揭示.我們知道:若數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列,記,則數(shù)列是等差數(shù)列.反之若數(shù)列是等差數(shù)列,記,則數(shù)列是等比數(shù)列. 41、已知數(shù)列的前項(xiàng)和,求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),要注意分段.當(dāng)滿足時(shí),才能用一個(gè)公式表示. [舉例]已知數(shù)列的前項(xiàng)和.若是等差數(shù)列,求的通項(xiàng)公式. 分析:證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或是等比數(shù)列,要從等差、等比數(shù)列的定義出發(fā).等差、等比數(shù)列的性質(zhì)不能作為證明的理由. 由知,時(shí),,當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí),,而.若數(shù)列是等差數(shù)列,則,所以.則. 42、形如:+的遞推數(shù)列,求通項(xiàng)用疊加(消項(xiàng))法;形如:的遞推數(shù)列,求通項(xiàng)用連乘(約項(xiàng))法. [舉例]數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 分析:解決這種遞推數(shù)列的思想方法實(shí)質(zhì)上是等差、等比數(shù)列求通項(xiàng)公式的思想方法.等差數(shù)列的基本遞推關(guān)系:,等比數(shù)列的遞推關(guān)系:. 由題知:相加得:,又,所以,而滿足此式,則. 43、一次線性遞推關(guān)系:數(shù)列滿足:是常數(shù))是最重要的遞推關(guān)系式,可以看出當(dāng)時(shí),此數(shù)列是等差數(shù)列,當(dāng)(時(shí),此數(shù)列是等比數(shù)列.解決此遞推的方法是通過代換(令化成等比數(shù)列求解. [舉例]已知數(shù)列滿足:,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 分析:由得:知數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,所以,知. 44、在解以數(shù)列為模型的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí),要選擇好研究對(duì)象,即選擇好以“哪一個(gè)量”作為數(shù)列的“項(xiàng)”,并確定好以哪一時(shí)刻的量為第一項(xiàng);對(duì)較簡(jiǎn)單的問題可直接尋找“項(xiàng)”與“項(xiàng)數(shù)”的關(guān)系,對(duì)較復(fù)雜的問題可先研究前后項(xiàng)之間的關(guān)系(即數(shù)列的遞推公式),然后再求通項(xiàng). [舉例]某企業(yè)去年底有資金積累萬元,根據(jù)預(yù)測(cè),從今年開始以后每年的資金積累會(huì)在原有的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)20%,但每年底要留出萬元作為獎(jiǎng)勵(lì)金獎(jiǎng)給職工.企業(yè)計(jì)劃用5年時(shí)間使資金積累翻一番,求的最大值. 分析:與年數(shù)相關(guān)的應(yīng)用題在解答過程中要注意項(xiàng)數(shù)與年數(shù)之間的關(guān)系,在設(shè)數(shù)列時(shí)就要指明.特別注意年底、年初的不同. 設(shè)從今年開始每年底該企業(yè)的資金積累為萬元,則(萬元),,則.所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以,.由題知,則,求得:.即的最大值大約為8%. 45、常見的極限要記牢:,注意存在與是不相同的;,特別注意此式的結(jié)構(gòu)形式;若是關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù),要會(huì)求. [舉例1]求下列各式的值:(1);(2). 分析:對(duì)于指數(shù)型的分式型極限,一般是分子、分母同除以冪底數(shù)絕對(duì)值較大的冪,這樣可以求出極限. (1)當(dāng)時(shí),原式;當(dāng)時(shí),原式. (2)與相關(guān)的極限問題要注意其結(jié)構(gòu)形式,注意到括號(hào)內(nèi)是號(hào)相連,且分子為1,冪的指數(shù)與括號(hào)內(nèi)的分母相同.當(dāng)形式不同時(shí),要向此轉(zhuǎn)化. . [舉例2]若,則____;____. 分析:對(duì)于分子分母是關(guān)于的整式的分式型極限,若分子的最高的冪指數(shù)大于分母的最高的冪指數(shù),則此式極限不存在;當(dāng)分子的最高的冪指數(shù)與分母的最高的冪指數(shù)相同時(shí),極限是分子、分母的最高次冪的系數(shù)比;當(dāng)分子的最高的冪指數(shù)小于分母的最高的冪指數(shù)時(shí),極限是零. 注意到此式極限為1是存在的,由上分析知,所以. 46、理解極限是“無限運(yùn)動(dòng)的歸宿”. [舉例]已知△ABC的頂點(diǎn)分別是,記△ABC的外接圓面積為,則_____. 分析:本題若要先求出三角形ABC的面積后再求極限則是“漫長(zhǎng)”的工作,注意到當(dāng)時(shí)A、B、C點(diǎn)的變化,不難看出△ABC被“壓扁”成一條長(zhǎng)為4的線段,而此線段就是此三角形外接圓的直徑.從而有.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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