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考點測試36 基本不等式
高考概覽
考綱研讀
1．了解基本不等式的證明過程
2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題
一、基礎小題
1．“a>0且b>0”是“≥”成立的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
答案 A
解析 a>0且b>0?≥，但≥a>0且b>0，只能推出a≥0且b≥0．
2．已知0
2)在x＝a處取最小值，則a等于( )
A．1＋ B．1＋ C．3 D．4
答案 C
解析 ∵x＞2，∴x－2＞0，∴f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2＝4，當且僅當x－2＝，即(x－2)2＝1時等號成立，解得x＝1或3．又∵x＞2，∴x＝3，即a等于3時，函數(shù)f(x)在x＝3 處取得最小值，故選C．
4．函數(shù)f(x)＝x＋(x<0)的值域為( )
A．(－∞，0) B．(－∞，－2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝－≤－2 ＝－2，當且僅當－x＝，即x＝－1時，等號成立．
5．設00，∴y＝＝≤＝，當且僅當x＝2－x，即x＝1時取等號．
6．函數(shù)y＝(x>－1)的圖象的最低點的坐標是( )
A．(1，2) B．(1，－2) C．(1，1) D．(0，2)
答案 D
解析 y＝＝(x＋1)＋≥2，當x＝0時取最小值．
7．設00，即>a，D錯誤．故選B．
8．已知a>0，b>0，a，b的等比中項是1，且m＝b＋，n＝a＋，則m＋n的最小值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 B
解析 由題意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，當且僅當a＝b＝1時取等號．
9．若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 ∵1＝2x＋2y≥2＝2當且僅當2x＝2y＝，即x＝y(tǒng)＝－1時等號成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2．
10．下列函數(shù)中，最小值為4的是( )
A．y＝
B．y＝sinx＋(0＜x＜π)
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝log3x＋4logx3
答案 C
解析 對于A，因為≥，所以y＝＋的最小值不是4，所以不滿足題意；對于B，令sinx＝t∈(0，1]，則y＝t＋，y′＝1－＜0，因此函數(shù)y＝t＋在(0，1]上單調遞減，所以y≥5，所以不滿足題意；對于C，y≥2＝4，當且僅當ex＝4e－x，即x＝ln 2時取等號，故滿足題意；對于D，當x∈(0，1)時，log3x，logx3<0，所以不滿足題意．
11．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均存儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的存儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與存儲費用之和最小，每批應生產(chǎn)產(chǎn)品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
答案 B
解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用是元，存儲費用是元，
總的費用y＝＋≥2 ＝20，
當且僅當＝時取等號，得x＝80(件)．故選B．
12．設M＝，且a＋b＋c＝1，a，b，c∈(0，＋∞)，則M的取值范圍是________．
答案 [8，＋∞)
解析 M＝≥＝8，當且僅當a＝b＝c＝時取等號．
二、高考小題
13．(2017天津高考)已知函數(shù)f(x)＝
設a∈R，若關于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立，則a的取值范圍是( )
A．－，2 B．－，
C．[－2，2] D．－2，
答案 A
解析 ①當x≤1時，關于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價于－x2＋x－3≤＋a≤x2－x＋3在R上恒成立，即有－x2＋x－3≤a≤x2－x＋3在R上恒成立．由y＝－x2＋x－3圖象的對稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最大值－；由y＝x2－x＋3圖象的對稱軸為x＝＜1，可得在x＝處取得最小值，則－≤a≤．
②當x>1時，關于x的不等式f(x)≥＋a在R上恒成立等價于－x＋≤＋a≤x＋在R上恒成立，即有－x＋≤a≤＋在R上恒成立，由于x>1，所以－x＋≤－2＝－2，當且僅當x＝時取得最大值－2；因為x>1，所以x＋≥2＝2，當且僅當x＝2時取得最小值2，則－2≤a≤2．
由①②可得－≤a≤2．故選A．
14．(2018天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________．
答案
解析 由已知，得2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝，當且僅當2a＝2－3b時等號成立，由a＝－3b，a－3b＋6＝0，得a＝－3，b＝1，故當a＝－3，b＝1時，2a＋取得最小值．
15．(2015重慶高考)設a，b>0，a＋b＝5，則＋的最大值為________．
答案 3
解析 令t＝＋，
則t2＝(＋)2
＝a＋1＋b＋3＋2
≤9＋a＋1＋b＋3＝18，
當且僅當a＋1＝b＋3時，
即a＝，b＝時，等號成立，
所以t的最大值為3．
16．(2017江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________．
答案 30
解析 設總費用為y萬元，則y＝6＋4x＝4x＋≥240，當且僅當x＝，即x＝30時，等號成立．
17．(2017天津高考)若a，b∈R，ab>0，則的最小值為________．
答案 4
解析 ∵a4＋4b4≥2a22b2＝4a2b2(當且僅當a2＝2b2時“＝”成立)，∴≥＝4ab＋，由于ab＞0，∴4ab＋≥2＝4當且僅當4ab＝時“＝”成立，故當且僅當時，的最小值為4．
三、模擬小題
18．(2018廊坊一模)已知m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋的最小值為( )
A．4 B．2 C． D．16
答案 C
解析 ∵m>0，n>0，2m＋n＝1，則＋＝(2m＋n)＋＝＋＋≥＋2＝，當且僅當n＝，m＝時取等號．故選C．
19．(2018山東日照模擬)若實數(shù)x，y滿足xy>0，則＋的最大值為( )
A．2－ B．2＋
C．4＋2 D．4－2
答案 D
解析?。剑?＋－＝1＋＝1＋＝1＋，因為xy>0，所以>0，>0．由基本不等式可知＋≥2，當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立，所以1＋≤1＋＝4－2．
20．(2018四川資陽診斷)已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab，則a＋2b的最小值為( )
A．5＋2 B．8
C．5 D．9
答案 D
解析 ∵a>0，b>0，且2a＋b＝ab，∴a＝>0，解得b>2，即b－2>0，則a＋2b＝＋2b＝1＋＋2(b－2)＋4≥5＋2＝9，當且僅當b＝3，a＝3時等號成立，其最小值為9．
21．(2018江西九校聯(lián)考)若正實數(shù)x，y滿足(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，則x＋的最大值為( )
A．－1＋ B．1
C．1＋ D．
答案 A
解析 由(2xy－1)2＝(5y＋2)(y－2)，可得(2xy－1)2＝9y2－(2y＋2)2，即(2xy－1)2＋(2y＋2)2＝9y2，得2x－2＋2＋2＝9，又2x－2＋2＋2≥＝，當且僅當2x－＝2＋時等號成立，所以2x＋＋22≤18，得2x＋≤3－2，所以x＋≤，所以x＋的最大值為－1＋．故選A．
22．(2018南昌摸底)已知函數(shù)y＝x＋(x>2)的最小值為6，則正數(shù)m的值為________．
答案 4
解析 由x>2，知x－2>0，又m>0，則y＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝2＋2，取等號的條件為x－2＝．從而依題意可知2＋2＝6，解得m＝4．
23．(2018邯鄲模擬)設x>0，y>0，且x－2＝，則當x＋取最小值時，x2＋＝________．
答案 12
解析 ∵x>0，y>0，∴當x＋取最小值時，x＋2取得最小值，∵x＋2＝x2＋＋，又x－2＝，∴x2＋＝＋，∴x＋2＝＋≥2＝16，∴x＋≥4，當且僅當＝，即x＝2y時取等號，∴當x＋取最小值時，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12．
一、高考大題
本考點在近三年高考中未涉及此題型．
二、模擬大題
1．(2018河北唐山模擬)已知x，y∈(0，＋∞)，x2＋y2＝x＋y．
(1)求＋的最小值；
(2)是否存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5？并說明理由．
解 (1)因為＋＝＝≥＝2，當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，所以＋的最小值為2．
(2)不存在．理由如下：
因為x2＋y2≥2xy，所以(x＋y)2≤2(x2＋y2)＝2(x＋y)．又x，y∈(0，＋∞)，所以x＋y≤2．從而有(x＋1)(y＋1)≤2≤4，因此不存在x，y滿足(x＋1)(y＋1)＝5．
2．(2018河南駐馬店檢測)某地需要修建一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶，該段輸油管道兩端的輸油站已建好，余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站)．經(jīng)預算，修建一個增壓站的費用為400萬元，鋪設距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費用為x2＋x萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
(1)試將y表示成x的函數(shù)；
(2)需要修建多少個增壓站才能使y最小，其最小值為多少？
解 (1)設需要修建k個增壓站，
則(k＋1)x＝240，即k＝－1．
所以y＝400k＋(k＋1)(x2＋x)
＝400＋
＝＋240x－160．
因為x表示相鄰兩增壓站之間的距離，則00，即30n－n2－81>0，∴n2－30n＋81<0，
解得3
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2020高考數(shù)學刷題首選卷
第五章
不等式、推理與證明、算法初步與復數(shù)
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