2018高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算習題 理 蘇教版選修2-2.doc

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第1-2節(jié) 導數(shù)的概念及運算 （答題時間：60分鐘） 1. 已知f（x）＝x2＋2xf′（1），則f′（0）等于（ ） A. 0 B. －4 C. －2 D. 2 2. 設f0（x）＝cosx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn＋1（x）＝fn′（x），n∈N，則f2 010（x）＝（ ） A. sinx B. －sinx C. cosx D. －cosx 3. 設函數(shù)f（x）＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，則導數(shù)f′（1）的取值范圍是 （ ） A. [－2,2] B. [，] C. [，2] D. [，2] 4. 曲線y＝在點（1，－1）處的切線方程為（ ） A. y＝x－2 B. y＝－3x＋2 C. y＝2x－3 D. y＝－2x＋1 5. 已知點P在曲線F：y＝x3－x上，且曲線F在點P處的切線與直線x＋2y＝0垂直，則點P的坐標為（ ） A. （1,1） B. （－1,0） C. （－1,0）或（1,0） D. （1,0）或（1,1） 6. 曲線y＝xex＋2x＋1在點（0,1）處的切線方程為________________。 7. 下圖中，有一個是函數(shù)f（x）＝x3＋ax2＋（a2－1）x＋1（a∈R，a≠0）的導函數(shù)f′（x）的圖象，則f（－1）＝______________。 8. 已知二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c的導數(shù)為f′（x），f′（0）＞0，對于任意實數(shù)x，有f（x）≥0，則的最小值為______________。 9. 某日中午時整，甲船自處以的速度向正東行駛，乙船自的正北處以的速度向正南行駛，則當日時分時兩船之距離對時間的變化率是_______________。 10. 已知函數(shù)f（x）＝x3＋x－16。 （1）求曲線y＝f（x）在點（2，－6）處的切線方程； （2）直線l為曲線y＝f（x）的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標； （3）如果曲線y＝f（x）的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程。 11. 設函數(shù)f（x）＝ax－，曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為7x－4y－12＝0。 （1）求f（x）的解析式； （2）證明：曲線y＝f（x）上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值。 12. 已知拋物線：和：，如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線。若和有且僅有一條公切線，求的值，并寫出此公切線的方程。  1. B 解析：∵f′（x）＝2x＋2f′（1）， ∴f′（1）＝2＋2f′（1），即f′（1）＝－2， ∴f（x）＝x2－4x， ∴f′（x）＝2x－4，∴f′（0）＝－4。 2. D 解析：∵f1（x）＝（cosx）′＝－sinx，f2（x）＝（－sinx）′＝－cosx，f3（x）＝（－cosx）′＝sinx，f4（x）＝（sinx）′＝cosx，…，由此可知fn（x）的值周期性重復出現(xiàn)，周期為4，故f2 010（x）＝f2（x）＝－cosx。 3. D 解析：∵f′（x）＝sinθx2＋cosθx， ∴f′（1）＝sinθ＋cosθ＝2sin（θ＋）。 ∵θ∈[0，]，∴θ＋∈[，]。 ∴sin（θ＋）∈[，1]，∴f′（1）∈[，2]。 4. D 解析：y′＝（）′＝，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝－2。 l：y＋1＝－2（x－1），即y＝－2x＋1。 5. C 解析：設切點坐標為P（x0，y0）， 則切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝x0＝3x－1＝2， ∴x0＝1，y0＝0。 6. y＝3x＋1 解析：y′＝ex＋xex＋2，y′|x＝0＝3， ∴切線方程為y－1＝3（x－0），∴y＝3x＋1。 7. 解析：∵f′（x）＝x2＋2ax＋（a2－1）， ∴導函數(shù)f′（x）的圖象開口向上。 又∵a≠0，∴其圖象必為第（3）個圖。 由圖象特征知f′（0）＝0，且－a＞0，∴a＝－1。 故f（－1）＝－－1＋1＝－。 8. 2 解析：∵f′（0）＝b＞0，f（x）≥0恒成立得∴0＜b2≤4ac且a＞0，c＞0， ∴＝＝1＋≥1＋≥1＋＝2。 9. 解析：設小時后兩船距離為， 則有。 。 。 10. 解：（1）可判定點（2，－6）在曲線y＝f（x）上。 ∵f′（x）＝（x3＋x－16）′＝3x2＋1， ∴在點（2，－6）處的切線的斜率為k＝f′（2）＝13。 ∴切線的方程為y＝13（x－2）＋（－6）， 即y＝13x－32。 （2）法一：設切點為（x0，y0）， 則直線l的斜率為f′（x0）＝3x＋1， ∴直線l的方程為y＝（3x＋1）（x－x0）＋x＋x0－16， 又∵直線l過點（0,0）， ∴0＝（3x＋1）（－x0）＋x＋x0－16， 整理得，x＝－8，∴x0＝－2， ∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26， k＝3（－2）2＋1＝13。 ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為（－2，－26）。 法二：設直線l的方程為y＝kx，切點為（x0，y0）， 則k＝＝， 又∵k＝f′（x0）＝3x＋1，∴＝3x＋1， 解之得x0＝－2， ∴y0＝（－2）3＋（－2）－16＝－26， k＝3（－2）2＋1＝13。 ∴直線l的方程為y＝13x，切點坐標為（－2，－26）。 （3）∵切線與直線y＝－＋3垂直， ∴切線的斜率k＝4。 設切點的坐標為（x0，y0），則f′（x0）＝3x＋1＝4， ∴x0＝1， ∴或 切線方程為y＝4（x－1）－14或y＝4（x＋1）－18。 11. 解：（1）方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3。 當x＝2時，y＝。又f′（x）＝a＋， 于是解得故f（x）＝x－。 （2）證明：設P（x0，y0）為曲線上任一點， 由y′＝1＋知曲線在點P（x0，y0）處的切線方程為 y－y0＝（1＋）（x－x0）， 即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）。 令x＝0得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為（0，－）。 令y＝x得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為（2x0,2x0）。 所以點P（x0，y0）處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為 S＝|－||2x0|＝6。 故曲線y＝f（x）上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形的面積為定值，此定值為6。 12. 解：設拋物線上的切點為， 則在點處切線的斜率為， 所以拋物線在點處的切線方程是：。 即…………………① 同理，設曲線上的切點為， 則曲線在點處的切線方程是………………② 如果直線是過和的公切線，則①式和②式都是的方程，則 消去得方程。 若判別式時，即時，得，此時點和重合。 即當時，和有且僅有一條公切線，由①得公切線方程為。