《2018年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式學(xué)案 蘇教版選修5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式學(xué)案 蘇教版選修5.doc（17頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
3.2
第一課時 一元二次不等式的解法
預(yù)習(xí)課本P75～80，思考并完成以下問題
(1)什么樣的不等式是一元二次不等式？
(2)如何求解一元二次不等式？
(3)怎樣理解三個二次之間的關(guān)系？
1．一元二次不等式
我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．
2．一元二次不等式的解與解集
使一元二次不等式成立的x的值，叫做這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次不等式的解集．
3．一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表
判別式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)
有兩相等實(shí)根
x1＝x2＝－
沒有實(shí)數(shù)根
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集
或x>x2}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集
?
?
1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是________．
解析：變形為(3x＋1)2≤0，∴x＝－.
答案：
2．不等式2x＋35－x2>0的解集是________．
解析：原不等式等價于x2－2x－35<0，即(x＋5)(x－7)<0，即－5
2x的解集是________．
解析：由x2－2x－5>2x得x2－4x－5>0，
因?yàn)榉匠蘹2－4x－5＝0的兩根為－1,5.
故不等式x2－4x－5>0的解為x<－1或x>5.
答案：{x|x<－1或x>5}
4．在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，則滿足x⊙(x－2)<0的實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．
解析：根據(jù)定義，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2<0，解得－20；
(2)25x2－10x＋1>0；
(3)－2x2＋x＋1<0.
[解] (1)方程x2－x－6＝0的兩根為x1＝－2，x2＝3，結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－x－6的圖象知x2－x－6>0的解集為{x|x>3或x<－2}．
(2)方程25x2－10x＋1＝0有兩相等實(shí)根，x1＝x2＝.結(jié)合二次函數(shù)y＝25x2－10x＋1的圖象知25x2－10x＋1>0的解集為.
(3)法一：方程－2x2＋x＋1＝0的解為x1＝－，x2＝1，函數(shù)y＝－2x2＋x＋1的圖象是開口向下的拋物線，與x軸的交點(diǎn)為和(1,0)，如圖，觀察圖象知不等式的解集為.
法二：在不等式兩邊同乘－1，可得2x2－x－1>0，
方程2x2－x－1＝0的解為x1＝－，x2＝1；畫出函數(shù)y＝2x2－x－1的圖象如圖所示．
觀察圖象，可得原不等式的解集為.
一元二次不等式的2種方法
(1)圖象法：一般地，當(dāng)a>0時，解形如ax2＋bx＋c>0(或≥0)或ax2＋bx＋c<0(或≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
①確定對應(yīng)方程ax2＋bx＋c＝0的解；
②畫出對應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象；
③由圖象得出不等式的解集．
對于a<0的一元二次不等式，可以直接采取類似a>0時的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解．
(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p0，則x>q或x0;
(2)x(4－x)≤x(x＋3)－3.
解：(1)原不等式可化為2x2－3x－2<0，
∴(2x＋1)(x－2)<0.
故原不等式的解集是.
(2)原不等式可化為2x2－x－3≥0，
∴(2x－3)(x＋1)≥0，
故原不等式的解集是.
簡單分式不等式的解法
[典例] 解不等式：>1.
[解] 法一：原不等式化為－1>0，
即>0，所以x－4與x＋3同號．
故有或
解得x>4或x<－3，
所以原不等式的解集為{x|x<－3或x>4}．
法二：原不等式化為>0，
等價于(x－4)(x＋3)>0，
∴原不等式解集為{x|x<－3或x>4}．
簡單的分式不等式在求解時多化為>0，<0的形式，在變形的過程中，要注意等價性，同時要注意不等式是否含有等號，如≥0?或但不等價于f(x)g(x)≥0.
[活學(xué)活用]
不等式≥2的解集為____________．
解析：≥2化為－2≥0，
即≥0，即≤0.
它等價于?－1≤x<0.
∴原不等式解集為{x|－1≤x<0}．
答案：{x|－1≤x<0}
三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用
[典例] 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集為，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
[解] 因?yàn)閤2＋px＋q＜0的解集為
，
所以x1＝－與x2＝是方程x2＋px＋q＝0的兩個實(shí)數(shù)根，
由根與系數(shù)的關(guān)系得解得
所以不等式qx2＋px＋1＞0即為－x2＋x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x ＜3.
即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為{x|－2＜x＜3}．
1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．
[活學(xué)活用]
1．已知x的不等式<0的解集是(－∞，－1)∪，則a＝____________.
解析：<0等價于(ax－1)(x＋1)<0.
即ax2＋(a－1)x－1<0.
∴－1，－是方程ax2＋(a－1)x－1＝0的根．
∴解得a＝－2.
答案：－2
2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|20的解集．
解：由題意知即
代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．即6x2＋5x＋1<0，解得－x的解集是________．
解析：由x2>x，得x(x－1)>0，所以解集為(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)
2．不等式(x＋2)≤0的解集為________．
解析：或x2－9＝0，即或x＝3，即x≤－3或x＝3.
答案：(－∞，－3]∪{3}
3．不等式組的解集為____________．
解析：∵x2－1<0的解集為{x|－13.
答案：[－3,1)∪(3，＋∞)
7．若關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a>0在10即可．
即242－84－4－a>0，解得a<－4.
答案：(－∞，－4)
8．不等式<1的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為________．
解析：<1化為－1<0，即<0.
等價于[(a－1)x＋1](x－1)<0.
∴(a－1)x2－(a－2)x－1<0.
∴1,2是方程(a－1)x2－(a－2)x－1＝0的兩個根．
∴解得a＝.
答案：
9．求函數(shù)y＝lg(x2－2x－3)＋的定義域．
解：依題意可得
解得
∴不等式組的解是－20恒成立．
(1)當(dāng)a＝0時，不等式為2>0，顯然恒成立；
(2)當(dāng)a≠0時，有即
所以00}，則A∩B＝________.
解析：A＝{x|x2－5x＋4≤0}＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x<2或x>3}，所以A∩B＝{x|1≤x<2或30的解集為(－2,1)，則不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0的解集為________．
解析：由題意，∵不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－2,1)，∴a<0，－2＋1＝－，(－2)1＝，
∴b＝a，c＝－2a，
∴不等式ax2＋(a＋b)x＋c－a<0為ax2＋2ax－3a<0，
即x2＋2x－3>0，
(x＋3)(x－1)>0，
∴x<－3或x>1.
答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞)
4．關(guān)于x的不等式ax－b>0的解集是，則關(guān)于x的不等式>0的解集是________．
解析：不等式ax－b>0的解集是?a>0，且a－2b＝0，則不等式>0等價于>0?(x－1)(x－5)<0?10的解集為，則2x2＋bx＋a<0的解集為________．
解析：由題意知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的兩實(shí)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，
解得
∴2x2＋bx＋a<0可化為2x2－2x－12<0.
即x2－x－6<0.
∴(x－3)(x＋2)<0，解得－2m＋2}．
∵A??RB，∴m－2>3或m＋2<－1，
∴m>5或m<－3.
故m的取值范圍為(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
8．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(1，t)，記函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求證：函數(shù)y＝f(x)必有兩個不同的零點(diǎn)；
(2)若函數(shù)y＝f(x)的兩個零點(diǎn)分別為m，n，求|m－n|的取值范圍．
解：(1)證明：由題意知a＋b＋c＝0，且－>1，
∴a<0且>1，∴ac>0，∴對于函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac>0，
∴函數(shù)y＝f(x)必有兩個不同的零點(diǎn)．
(2)|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝＝＝2＋8＋4，
由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(1，t)可知，方程ax2＋bx＋c＝0的兩個解分別為1和t(t>1)，由根與系數(shù)的關(guān)系知＝t，∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t∈(1，＋∞)．
∴|m－n|>，
∴|m－n|的取值范圍為(，＋∞)．
第二課時 一元二次不等式的解法及其應(yīng)用(習(xí)題課)
解含參數(shù)的一元二次不等式
[典例] 已知a＞0，解關(guān)于x的不等式(x－2)(ax－2)>0.
[解] 當(dāng)a>0時，原不等式可化為
(x－2)>0.
(1)當(dāng)01時，兩根的大小順序?yàn)?>，原不等式的解集為.
綜上所述，
當(dāng)01時，原不等式解集為.
解含參數(shù)的不等式時，若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式再對參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式則可對判別式分類討論；若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情形，然后考慮二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；其次，對相應(yīng)的方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫出解集．另外，注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)進(jìn)行分類討論．
[活學(xué)活用]
解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≥0)．
解：原不等式可變形為ax2＋(a－2)x－2≥0，
(1)當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為{x|x≤－1}；
(2)當(dāng)a＞0時，原不等式可變形為(ax－2)(x＋1)≥0，
方程(ax－2)(x＋1)＝0的解為x1＝，x2＝－1.
所以不等式的解集為.
綜上，a＝0時，原不等式的解集為{x|x≤－1}；
a>0時，原不等式的解集為.
一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用
[典例] 某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1 000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(0＜x＜1)，則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x.設(shè)年利潤＝(出廠價－投入成本)年銷售量．
(1)寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
(2)為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
[解] (1)依題意，得
y＝[1.2(1＋0.75x)－(1＋x)]1 000(1＋0.6x)
＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)，
所以本年度預(yù)計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式為y＝1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)．
(2)依題意，得
1 000(－0.06x2＋0.02x＋0.2)＞(1.2－1)1 000，
化簡，得3x2－x＜0，解得0＜x＜.
所以為使本年度的年利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例x的范圍是.
解不等式應(yīng)用題的4個步驟
(1)認(rèn)真審題，抓住問題中的關(guān)鍵詞，找準(zhǔn)不等關(guān)系；
(2)引入數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系，使其數(shù)學(xué)化；
(3)求解不等式；
(4)還原實(shí)際問題．
[活學(xué)活用]
某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入，應(yīng)怎樣制訂這批臺燈的銷售價格？
解：設(shè)這批臺燈的銷售價定為x元，則[30－(x－15)2]x>400，即x2－30x＋200<0，因方程x2－30x＋200＝0的兩根為x1＝10，x2＝20，所以x2－30x＋200<0的解為100，(x－2)m>－x2＋4x－4，因?yàn)閤∈[－1,1]，所以x－2<0，所以m<＝－(x－2)，所以m<1.即m的取值范圍為(－∞，1)．
3．[變條件、變設(shè)問]對任意m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范圍．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4，令g(m)＝(x－2)m＋x2－ 4x＋4.
由題意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以解得x<1或x>3.
故當(dāng)x<1或x>3時，對任意的m∈[－1,1]，函數(shù)f(x)的值恒大于零．
解決不等式恒成立問題的2種思路
(1)轉(zhuǎn)化成含有參數(shù)的不等式，借助對應(yīng)函數(shù)圖象，找到滿足題目要求的條件，構(gòu)造含參數(shù)的不等式(組)，求得參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)，通過求函數(shù)的最值，進(jìn)而確定參數(shù)的范圍．
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．若a<0，則關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是____________．
解析：x2－4ax－5a2>0化為(x－5a)(x＋a)>0，
∵a<0，∴5a<－a.
∴x>－a或x<5a.
答案：{x|x<5a或x>－a}
2．已知a<0，則關(guān)于x的不等式>1 的解集是________．
解析：不等式>1可化為>0，
不等式等價于(a－1)(x－2)>0.
∵a<0，
∴不等式等價于(x－2)<0.
∵<2.
∴原不等式的解集為.
答案：
3．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析：當(dāng)a＝0時，有1<0，故A＝?成立；當(dāng)a≠0時，要使A＝?，須滿足∴0a2＋1，即a2－2a－3<0.∴－10在R上恒成立， 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：x2－ax＋2a>0恒成立?Δ<0，即a2－42a<0，解得01時，不等式的解集為[1，a]，此時只要a≤3即可，10對一切x∈R恒成立，從而原不等式等價于2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3?2x2＋(6－2m)x＋(3－m)>0對一切實(shí)數(shù)x恒成立?Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＝4(m－1)(m－3)<0，解得10恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：令f(x)＝x2－ax＋2＝2＋2－，
(1)當(dāng)a≤0時f(x)在(0，＋∞)為單調(diào)遞增的．
f(0)＝2>0，故a≤0時，x2－ax＋2>0恒成立．
(2)當(dāng)a>0時f(x)＝x2－ax＋2的對稱軸為x＝.
∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時，
f(x)min＝2－.
若x2－ax＋2>0在x∈(0，＋∞)恒成立，
只要2－>0即可，∴00在(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，2)．
10．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}．
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
解：(1)∵不等式ax2－3x＋6>4的解集為{x|x<1或x>b}，
∴x＝1與x＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實(shí)數(shù)根，且b>1.由根與系數(shù)的關(guān)系，
得解得
(2)原不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，可化為x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①當(dāng)c>2時，不等式(x－2)(x－c)<0的解集為{x|22時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集為{x|20恒成立，則x的取值范圍為____________．
解析：設(shè)f(a)＝x2＋(a－6)x＋9－3a
＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
由已知條件得
即∴
∴x<0或x>5.即x的取值范圍為(－∞，0)∪(5，＋∞)．
答案：(－∞，0)∪(5，＋∞)
3．關(guān)于x的不等式ax2＋2x＋a>0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：當(dāng)a＝0時，易知條件不成立；
當(dāng)a≠0時，要使不等式ax2＋2x＋a>0的解集為R，
必須滿足解得a>1.
答案：(1，＋∞)
4．關(guān)于x的不等式x2＋ax＋－c<0的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c＝________.
解析：由x2＋ax＋－c<0，得20恒成立，
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，∴－0，不等式的解集是，顯然不適合題意；
(2)m<0，
(ⅰ)當(dāng)m＝－1時，不等式化為－(x－1)2<0，對于x≠1均成立；
(ⅱ)當(dāng)－170n－3n－(n－1)n，
整理，得n2＋11n－290>0，得n>12.4，
因?yàn)閚∈N，故取n＝13.
答：經(jīng)過13個月改革后的累計純收入高于不改革時的累計純收入．
8．已知不等式mx2－2x－m＋1<0，
(1)若對任意實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍．
(2)若對一切m∈[－2,2]不等式恒成立，求x的取值范圍．
解：(1)不等式mx2－2x－m＋1<0恒成立，
即函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1的圖象全部在x軸下方．
當(dāng)m＝0時，不等式變?yōu)?－2x<0，對任意實(shí)數(shù)x不恒成立，故m＝0不滿足；
當(dāng)m≠0時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x－m＋1為二次函數(shù)，需滿足圖象開口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0無解，
即則m無解．
綜上可知不存在這樣的m，使不等式恒成立．
(2)設(shè)g(m)＝(x2－1)m＋(1－2x)，
當(dāng)x2－1＝0時，即x＝1，檢驗(yàn)得x＝1時符合題意，
當(dāng)x2≠1時，則其為一個以m為自變量的一次函數(shù)，其圖象是直線，
由題意知該直線當(dāng)－2≤m≤2時在x軸下方，
∴即
解①，得x<或x>，
解②，得
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2018年高中數(shù)學(xué)
第三章
不等式
3.2
一元二次不等式學(xué)案
蘇教版選修5
2018
年高
數(shù)學(xué)
第三
一元
二次
蘇教版
選修
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