2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時作業(yè)27 平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用舉例 理.doc
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課時作業(yè)27 平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用舉例 [基礎(chǔ)達標] 一、選擇題 1.已知向量a=(1,n),b=(-1,n),若2a-b與b垂直,則|a|=( ) A.1 B. C.2 D.4 解析:因為2a-b與b垂直,所以(2a-b)b=0,所以-3+n2=0,解得n2=3,所以|a|=2. 答案:C 2.[2019云南省第一次統(tǒng)一檢測]在?ABCD中,||=8,||=6,N為DC的中點,=2,則=( ) A.48 B.36 C.24 D.12 解析:=(+)(+)==2-2=82-62=24,故選C. 答案:C 3.[2019石家莊檢測]若兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|=2|b|,則向量a+b與a的夾角為( ) A. B. C. D. 解析:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,∴ab=0.又|a+b|=2|b|,∴|a+b|2=4|b|2,|a|2=3|b|2,∴|a|=|b|,cos〈a+b,a〉=====,故a+b與a的夾角為. 答案:A 4.[2019陜西西安地區(qū)八校聯(lián)考]已知點A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影是( ) A.-3 B.- C.3 D. 解析:依題意得,=(-2,-1),=(5,5),=(-2,-1)(5,5)=-15,||=,因此向量在方向上的投影是==-3,選A. 答案:A 5.[2019惠州市調(diào)研考試]若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點,且滿足(-)(+-2)=0,則△ABC的形狀為( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 解析:(-)(+-2)=0,即(+)=0,∵-=,∴(-)(+)=0,即||=||,∴△ABC是等腰三角形. 答案:A 6.[2019云南省高三11校跨區(qū)調(diào)研考試]平面向量a與b的夾角為45,a=(1,1),|b|=2,則|3a+b|等于( ) A.13+6 B.2 C. D. 解析:依題意得a2=2,ab=2cos45=2,|3a+b|====,選D. 答案:D 7.[2019石家莊高中模擬考試]已知B是以線段AC為直徑的圓上的一點(異于點A,C),其中|AB|=2,則=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:連接BC,∵AC為直徑,∴∠ABC=90,∴AB⊥BC,在上的投影||cos〈,〉=||=2,∴=||||cos〈,〉=4.故選D. 答案:D 8.[2019武漢市高中調(diào)研測試]已知平面向量a,b,e滿足|e|=1,ae=1,be=-2,|a+b|=2,則ab的最大值為( ) A.-1 B.-2 C.- D.- 解析:不妨設(shè)e=(1,0),則a=(1,m),b=(-2,n)(m,n∈R),則a+b=(-1,m+n),所以|a+b|==2,所以(m+n)2=3,即3=m2+n2+2mn≥2mn+2mn=4mn,當(dāng)且僅當(dāng)m=n時等號成立,所以mn≤,所以ab=-2+mn≤-,綜上可得ab的最大值為-.故選D. 答案:D 9.[2019呼倫貝爾模擬]O是平面上一定點,A,B,C是該平面上不共線的三個點,一動點P滿足:=+λ(+),λ∈(0,+∞),則直線AP一定通過△ABC的( ) A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 解析: 如圖,取BC中點D.因為=+λ(+),-=λ(+),即=2λ, 所以A,P,D三點共線, 所以AP一定通過△ABC的重心. 答案:C 10.[2018天津卷]如圖,在平面四邊形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120,AB=AD=1.若點E為邊CD上的動點,則的最小值為( ) A. B. C. D.3 解析:本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用. 解法一 如圖,以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標系,則A(1,0),B,C(0,),令E(0,t),t∈[0,],∴=(-1,t)=t2-t+,∵t∈[0,], ∴當(dāng)t==時,取得最小值,()min=-+=.故選A. 解法二 令=λ(0≤λ≤1),由已知可得DC=, ∵=+λ, ∴=+=++λ, ∴=(+λ)(++λ) =+||2+λ+λ2||2 =3λ2-λ+. 當(dāng)λ==時,取得最小值.故選A. 答案:A 二、填空題 11.[2019廣東五校高三第一次考試]已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a上的投影為3,則向量a與b的夾角為________. 解析:因為ab=3+m,|a|==2,|b|=,由|b|cos〈a,b〉=3可得|b|=3,故=3,解得m=,故|b|==2,故cos〈a,b〉==,故〈a,b〉=,即向量a與b的夾角為. 答案: 12.已知e1,e2 是平面單位向量,且e1e2=.若平面向量b滿足be1=be2=1,則|b|=________. 解析:∵e1e2=, ∴|e1||e2|cos〈e1,e2〉=,∴〈e1,e2〉=60. 又∵be1=be2=1>0, ∴〈b,e1〉=〈b,e2〉=30. 由be1=1,得|b||e1|cos30=1, ∴|b|==. 答案: 13.已知平面向量a,b,c不共線,且兩兩所成的角相等,若|a|=|b|=2,|c|=1,則|a+b+c|=________. 解析:∵平面向量a,b,c不共線,且兩兩所成的角相等,∴它們兩兩所成的角為120. ∵|a+b+c|2=(a+b+c)2=a+b2+c2+2ab+2bc+2ac=|a|2+|b|2+|c|2+2|a||b|cos120+2|b||c|cos120+2|a||c|cos120=22+22+12+222+221+221=1,∴|a+b+c|=1. 答案:1 14.[2018上海卷]在平面直角坐標系中,已知點A(-1,0)、B(2,0),E、F是y軸上的兩個動點,且||=2,則的最小值為________. 解析:本題主要考查數(shù)量積的運算以及二次函數(shù)的最值問題.設(shè)E(0,m),F(xiàn)(0,n), 又A(-1,0),B(2,0), ∴=(1,m),=(-2,n). ∴=-2+mn, 又知||=2,∴|m-n|=2. ①當(dāng)m=n+2時,=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. ∴當(dāng)n=-1,即E的坐標為(0,1),F(xiàn)的坐標為(0,-1)時,取得最小值-3. ②當(dāng)m=n-2時,=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. ∴當(dāng)n=1,即E的坐標為(0,-1),F(xiàn)為坐標為(0,1)時,取得最小值-3. 綜上可知,的最小值為-3. 答案:-3 [能力挑戰(zhàn)] 15.[2018浙江卷]已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是( ) A.-1 B.+1 C.2 D.2- 解析:本小題考查平面向量的數(shù)量積、坐標運算、向量模的最值和點到直線的距離. 設(shè)=a,=b,=e,以O(shè)為原點,的方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,則E(1,0).不妨設(shè)A點在第一象限,∵a與e的夾角為,∴點A在從原點出發(fā),傾斜角為,且在第一象限內(nèi)的射線上.設(shè)B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運動.而=a-b,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=x(x≥0)的距離減去圓的半徑,所以|a-b|min=-1.選A. 一題多解 將b2-4eb+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,∴(b-e)⊥(b-3e). 設(shè)=e,=a,=b,=3e,=2e,則⊥, ∴點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖. ∵|a-b|=||,∴|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離減去圓的半徑. ∵||=2,∠AOM=, ∴|a-b|min=2sin-1=-1. 答案:A 16.定義平面向量的一種運算a⊙b=|a+b||a-b|sin〈a,b〉,其中〈a,b〉是a與b的夾角,給出下列命題: ①若〈a,b〉=90,則a⊙b=a2+b2; ②若|a|=|b|,則(a+b)⊙(a-b)=4ab; ③若|a|=|b|,則a⊙b≤2|a|2; ④若a=(1,2),b=(-2,2),則(a+b)⊙b=. 其中真命題的序號是________. 解析:①中,因為〈a,b〉=90,則a⊙b=|a+b||a-b|=a2+b2,所以①成立; ②中,因為|a|=|b|,所以〈(a+b),(a-b)〉=90,所以(a+b)⊙(a-b)=|2a||2b|=4|a||b|,所以②不成立; ③中,因為|a|=|b|,所以a⊙b=|a+b||a-b|sin〈a,b〉≤|a+b||a-b|≤=2|a|2,所以③成立; ④中,因為a=(1,2),b=(-2,2),所以a+b=(-1,4),sin〈(a+b),b〉=,所以(a+b)⊙b=3=,所以④不成立. 答案:①③ 17.如圖,設(shè)α∈(0,π),且α≠.當(dāng)∠xOy=α?xí)r,定義平面坐標系xOy為α-仿射坐標系,在α-仿射坐標系中,任意一點P的斜坐標這樣定義:e1,e2分別為x軸,y軸正方向上的單位向量,若=xe1+ye2,則記為=(x,y),那么在以下的結(jié)論中,正確的是________.(填序號) ①設(shè)a=(m,n),b=(s,t),若a=b,則m=s,n=t; ②設(shè)a=(m,n),則|a|=; ③設(shè)a=(m,n),b=(s,t),若a∥b,則mt-ns=0; ④設(shè)a=(m,n),b=(s,t),若a⊥b,則ms+nt=0; ⑤設(shè)a=(1,2),b=(2,1),若a與b的夾角為,則α=. 解析:顯然①正確; |a|=|me1+ne2|=, 因為α≠,所以②錯誤; 由a∥b,得b=λa(λ∈R),所以s=λm,t=λn, 所以mt-ns=0,故③正確; 因為ab=(me1+ne2)(se1+te2)=ms+nt+(mt+ns)cosα≠ms+nt,所以④錯誤; 根據(jù)夾角公式ab=|a||b|cos〈a,b〉, 又|a|=|b|=,ab=4+5e1e2, 所以4+5e1e2=(5+4e1e2)cos, 故e1e2=-, 即cosα=-,所以α=,⑤正確. 答案:①③⑤- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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