2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 選修4-4.doc
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選修44 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1課時 坐 標(biāo) 系 理解極坐標(biāo)的概念,會正確進(jìn)行點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化,能運用極坐標(biāo)解決相關(guān)問題. ① 了解極坐標(biāo)系. ② 會正確將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. ③ 會根據(jù)所給條件建立直線、圓的極坐標(biāo)方程,并能運用極坐標(biāo)解題. 1. (選修44P11例5改編)在直角坐標(biāo)系中,點P的坐標(biāo)為(-,-),求點P的極坐標(biāo). 解:ρ==2,tan θ==,又點P在第三象限,得θ=π,即P(2,). 2. (選修44P17習(xí)題9改編)在極坐標(biāo)系中,已知A,B兩點的極坐標(biāo)分別為,,求△AOB(其中O為極點)的面積. 解:由題意A,B兩點的極坐標(biāo)分別為,,得△AOB的面積S△AOB=OAOBsin∠AOB=34sin=3. 3. 在極坐標(biāo)系中,求圓ρ=2cos θ的圓心到直線2ρsin=1的距離. 解:圓的普通方程為(x-1)2+y2=1,直線的普通方程為x+y-1=0, ∴ 圓心到直線的距離為d=. 4. (選修44P19例1改編)在極坐標(biāo)系中,求過圓ρ=-2sin θ的圓心,且與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程. 解:由題意,圓ρ=-2sin θ,可化為ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐標(biāo)方程為x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,圓心是(0,-1),所求直角坐標(biāo)方程為y=-1,所以其極坐標(biāo)方程為ρsin θ=-1. 5. 在極坐標(biāo)系中,求圓ρ=4上的點到直線ρ(cos θ+sin θ)=8的距離的最大值. 解:把ρ=4化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=16, 把ρ(cos θ+sin θ)=8化為直角坐標(biāo)方程為x+y-8=0, ∴ 圓心(0,0)到直線的距離為d==4, ∴ 直線和圓相切, ∴ 圓上的點到直線的最大距離是8. 1. 極坐標(biāo)系是由距離(極徑)與方向(極角)確定點的位置的一種方法,由于終邊相同的角有無數(shù)個且極徑可以為負(fù)數(shù),故在極坐標(biāo)系下,有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ)與點不一一對應(yīng).這點應(yīng)與直角坐標(biāo)系區(qū)別開來. 2. 在極坐標(biāo)系中,同一個點M的坐標(biāo)形式不盡相同,M(ρ,θ)可表示為(ρ,θ+2nπ)(n∈Z). 3. 在極坐標(biāo)系中,極徑ρ可以為負(fù)數(shù),故M(ρ,θ)可表示為(-ρ,θ+(2n+1)π)(n∈Z). 4. 特別地,若ρ=0,則極角θ可取任意角. 5. 建立曲線的極坐標(biāo)方程,其基本思路與在直角坐標(biāo)系中大致相同,即設(shè)曲線上任一點M(ρ,θ),建立等式,化簡即得. 6. 常見曲線的極坐標(biāo)方程 (1) 過極點,傾斜角為α的直線的極坐標(biāo)方程為θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R); (2) 過點(a,0)(a>0),與極軸垂直的直線的極坐標(biāo)方程為ρcos θ=a; (3) 過點,與極軸平行的直線的極坐標(biāo)方程為ρsin θ=a; (4) 圓心在極點,半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=r; (5) 圓心為(a,0),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2acos θ; (6) 圓心為,半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程為ρ=2asin θ. 7. 以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位,平面內(nèi)任一點P的直角坐標(biāo)(x,y)與極坐標(biāo)(ρ,θ)可以互換,公式是 和 , 1 求極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程) , 1) 在極坐標(biāo)系中,已知點A,圓C的方程為ρ=4sin θ(圓心為點C),求直線AC的極坐標(biāo)方程. 解:(解法1)以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的平面直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y, 即x2+(y-2)2=8,圓心C(0,2). 點A的直角坐標(biāo)為(,). 直線AC的斜率kAC==-1. 所以直線AC的直角坐標(biāo)方程為y=-x+2, 極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ+sin θ)=2, 即ρsin=2. (解法2)在直線AC上任取一點M(ρ,θ),不妨設(shè)點M在線段AC上. 由于圓心為C,S△OAC=S△OAM+S△OCM, 所以22sin =2ρsin+ρ2sin,即ρ(cos θ+sin θ)=2, 化簡,得直線AC的極坐標(biāo)方程為ρsin=2. 在極坐標(biāo)系中,求曲線ρ=2cos θ關(guān)于直線θ=(ρ∈R)對稱的曲線的極坐標(biāo)方程. 解:(解法1)以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系,則曲線ρ=2cos θ的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,且圓心C的坐標(biāo)為(1,0), 直線θ=的直角坐標(biāo)方程為y=x. 因為圓心C(1,0)關(guān)于y=x的對稱點為(0,1), 所以圓C關(guān)于y=x的對稱曲線為x2+(y-1)2=1, 所以曲線ρ=2cos θ關(guān)于直線θ=對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. (解法2)設(shè)曲線ρ=2cos θ上任意一點為(ρ′,θ′),其關(guān)于直線θ=的對稱點為(ρ,θ),則 將(ρ′,θ′)代入ρ=2cos θ,得ρ=2cos,即ρ=2sin θ, 所以曲線ρ=2cos θ關(guān)于直線θ=(ρ∈R)對稱的曲線的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. , 2 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化) , 2) (2017蘇州期中)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),r>0).以直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin+1=0. (1) 求圓C的圓心的極坐標(biāo); (2) 當(dāng)圓C與直線l有公共點時,求r的取值范圍. 解:(1) 由C:得(x-2)2+(y-2)2=r2, ∴ 曲線C是以(2,2)為圓心,r為半徑的圓,∴ 圓心的極坐標(biāo)為. (2) 由直線l:ρsin+1=0,得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y+1=0, 從而圓心(2,2)到直線l的距離d== . ∵ 圓C與直線l有公共點,∴ d≤r,即r≥ . 變式訓(xùn)練 (2017蘇州期初)自極點O任意作一條射線與直線ρcos θ=3相交于點M,在射線OM上取點P,使得OMOP=12,求動點P的軌跡的極坐標(biāo)方程,并把它化為直角坐標(biāo)方程. 解:設(shè)P(ρ,θ),M(ρ′,θ), ∵ OMOP=12,∴ ρρ′=12. ∵ ρ′cos θ=3,∴ cos θ=3. 則動點P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ. ∵ 極點在此曲線上, ∴ 方程兩邊可同時乘ρ,得ρ2=4ρcos θ. ∴ x2+y2-4x=0. , 3 曲線的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用) , 3) 在極坐標(biāo)系中,曲線C:ρ=2acos θ(a>0),直線l:ρcos=,C與l有且僅有一個公共點. (1) 求a; (2) O為極點,A,B為C上的兩點,且∠AOB=,求OA+OB的最大值. 解:(1) 曲線C是以(a,0)為圓心,以a為半徑的圓; 直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0. 由直線l與圓C相切可得=a,解得a=1. (2) 不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+, 則OA+OB=2cos θ+2cos =3cos θ-sin θ=2cos, 當(dāng)θ=-時,OA+OB取得最大值2. 變式訓(xùn)練 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為(x-)2+(y+1)2=9,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1) 求圓C的極坐標(biāo)方程; (2) 直線OP:θ=(ρ∈R)與圓C交于點M,N,求線段MN的長. 解:(1) (x-)2+(y+1)2=9可化為x2+y2-2x+2y-5=0, 故其極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0. (2) 將θ=代入ρ2-2ρcos θ+2ρsin θ-5=0,得ρ2-2ρ-5=0, ∴ ρ1+ρ2=2,ρ1ρ2=-5,|MN|=|ρ1-ρ2|==2. 1. (2017蘇北四市期中)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+)=3,以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,求曲線C的直角坐標(biāo)方程. 解:由ρsin=3,得ρsin θ+ρcos θ=3. 又ρcos θ=x,ρsin θ=y(tǒng), 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+y-6=0. 2. (2017蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=2,ρ2-2ρcos=2. (1) 把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2) 求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標(biāo)方程. 解:(1) 由ρ=2?ρ2=4,所以x2+y2=4. 因為ρ2-2ρcos=2, 所以ρ2-2ρ=2, 所以x2+y2-2x-2y-2=0. (2) 將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減,得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為x+y=1. 化為極坐標(biāo)方程為ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=. 3. (2017蘇北三市模擬)在極坐標(biāo)系中,已知點A,點B在直線l:ρcos θ+ρsin θ=0(0≤θ<2π)上.當(dāng)線段AB最短時,求點B的極坐標(biāo). 解:以極點為原點,極軸為x軸正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系, 則點A的直角坐標(biāo)為(0,2),直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=0. AB最短時,點B為直線x-y+2=0與直線l的交點, 由解得 所以點B的直角坐標(biāo)為(-1,1).所以點B的極坐標(biāo)為. 4. (2017常州期末)在平面直角坐標(biāo)系中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知圓ρ=4sin(θ+)(ρ≥0)被射線θ=θ0(θ0為常數(shù),且θ0∈)所截得的弦長為2,求θ0的值. 解:圓ρ=4sin的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-)2=4,射線θ=θ0的直角坐標(biāo)方程可以設(shè)為y=kx(x≥0,k>0), 圓心(1,)到直線y=kx的距離d=. 根據(jù)題意,得2=2,解得k=, 即tan θ0=.又θ0∈,所以θ0=. 1. (2017南通、揚州、泰州模擬)在極坐標(biāo)系中,圓C的圓心在極軸上,且過極點和點,求圓C的極坐標(biāo)方程. 解:(解法1)因為圓C的圓心在極軸上且過極點, 所以可設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=acos θ. 又點在圓C上,所以3=acos ,解得a=6. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos θ. (解法2)點的直角坐標(biāo)為(3,3). 因為圓C過點(0,0),(3,3), 所以圓心在直線x+y-3=0上. 又圓心C在極軸上, 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-3)2+y2=9. 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=6cos θ. 2. 已知在極坐標(biāo)系下,圓C:ρ=2cos與直線l:ρsin=,點M為圓C上的動點.求點M到直線l距離的最大值. 解:圓C:ρ=2cos,即 x2+y2+2y=0,x2+(y+1)2=1,表示圓心為(0,-1),半徑等于1的圓. 直線l:ρsin=,即ρcos θ+ρsin θ-2=0,即 x+y-2=0, 圓心到直線l的距離為=, 故圓上的動點M到直線l的距離的最大值等于+1. 3. 在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ. (1) 求出圓C的直角坐標(biāo)方程; (2) 已知圓C與x軸相交于A,B兩點,若直線l:y=2x+2m上存在點P使得∠APB=90,求實數(shù)m的最大值. 解:(1) 由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,即x2+y2-4x=0, 即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+y2=4. (2) l的方程為y=2x+2m,而AB為圓C的直徑, 故直線l上存在點P使得∠APB=90的充要條件是直線l與圓C有公共點, 故≤2,于是實數(shù)m的最大值為-2. 4. 在極坐標(biāo)系中,已知直線2ρcos θ+ρsin θ+a=0(a>0)被圓ρ=4sin θ截得的弦長為2,求a的值. 解:以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為2x+y+a=0, 圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4. 因為直線被圓截得的弦長為2,所以圓心(0,2)到直線的距離為=, 即=,因為a>0,所以a=-2. 1. 極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化 (1) 將極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)或直角坐標(biāo)方程,直接利用公式x=ρcos θ,y=ρsin θ即可.常用方法有代入法、平方法,還經(jīng)常用到同乘(或除以)ρ等技巧. (2) 將直角坐標(biāo)或直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)或極坐標(biāo)方程,要靈活運用x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ=,tan θ=(x≠0),同時要掌握必要的技巧,通常情況下,由tan θ確定角θ時,應(yīng)根據(jù)點P所在象限取最小正角.在這里要注意:當(dāng)x≠0時,θ角才能由tan θ=按上述方法確定.當(dāng)x=0時,tan θ沒有意義,這時又分三種情況:當(dāng)x=0,y=0時,θ可取任何值;當(dāng)x=0,y>0時,可取θ=;當(dāng)x=0,y<0時,可取θ=. 2. 求簡單曲線的極坐標(biāo)方程的方法 (1) 設(shè)點M(ρ,θ)為曲線上任意一點,由已知條件,構(gòu)造出三角形,利用正弦定理求解OM與θ的關(guān)系; (2) 先求出曲線的直角坐標(biāo)方程,再利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的變換公式,把直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.[備課札記] 第2課時 參 數(shù) 方 程(對應(yīng)學(xué)生用書(理)202~205頁) 理解參數(shù)方程的概念,了解某些常用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義或物理意義. ① 會正確將參數(shù)方程化為普通方程.② 會根據(jù)給出的參數(shù),依據(jù)條件建立參數(shù)方程. 1. (選修44P45例1改編)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),求此直線的傾斜角以及在y軸上的截距. 解:∵ ∴ y-2=(x-1). ∴ 此直線的斜率為,∴ 它的傾斜角為60. 令x=0,得它在y軸上的截距為2-. 2. (選修44P45例2改編)已知點P(3,m)在以點F為焦點的拋物線(t為參數(shù))上,求PF的值. 解:將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y2=4x,則焦點F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,又P(3,m)在拋物線上,由拋物線的定義知PF=3-(-1)=4. 3. (選修44P57習(xí)題3(4))選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),將普通方程4x2+y2-16x+12=0化為參數(shù)方程. 解:由4x2+y2-16x+12=0,得4(x-2)2+y2=4,選擇參數(shù)θ,令y=2sin θ,則x=2+cos θ,故所求曲線的參數(shù)方程是(答案不惟一) 4. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=.若直線l與曲線C交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:曲線C的普通方程為(x-)2+y2=4,表示以(,0)為圓心,2為半徑的圓.直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x. 所以圓心到直線的距離為, 所以線段AB的長為2=. 5. 已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ-)=3,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),設(shè)P點是曲線C上的任意一點,求P到直線l的距離的最大值. 解:由ρsin=3,可得ρ(sin θ-cos θ)=3, ∴ y-x=6,即x-y+6=0. 由得x2+y2=4,圓的半徑為r=2, ∴ 圓心到直線l的距離d==3. ∴ P到直線l的距離的最大值為d+r=5. 1. 參數(shù)方程是用第三個變量(即參數(shù))分別表示曲線上任一點M的坐標(biāo)x,y的另一種曲線方程的形式,它體現(xiàn)了x,y的一種間接關(guān)系. 2. 參數(shù)方程是根據(jù)其固有的意義(物理、幾何)得到的,要注意參數(shù)的取值范圍. 3. 一些常見曲線的參數(shù)方程 (1) 過點P0(x0,y0),且傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為(l為參數(shù)). l是有向線段P0P的數(shù)量. (2) 圓方程(x-a)2+(y-b)2=r2的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)). (3) 橢圓方程+=1(a>b>0)的參數(shù)方程是(θ為參數(shù)). (4) 雙曲線方程-=1(a>0,b>0)的參數(shù)方程是 (t為參數(shù)). (5) 拋物線方程y2=2px(p>0)的參數(shù)方程是(t為參數(shù)). 4. 在參數(shù)方程與普通方程的互化中要注意變量的取值范圍. 1 參數(shù)方程與普通方程的互化 1(2017南京、鹽城期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l:(t為參數(shù)).現(xiàn)以坐標(biāo)原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點,求弦AB的長. 解:直線l:(t為參數(shù))化成普通方程為4x-3y=0, 圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2cos θ化成直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1, 則圓C的圓心到直線l的距離d==, 所以AB=2=. 變式訓(xùn)練 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線(t為參數(shù))與曲線(θ為參數(shù))相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:將直線的參數(shù)方程化為普通方程,得y=2x+1?、? 將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,得 y=1-2x2(-1≤x≤1) ②. 由①②,得或 所以A(-1,-1),B(0,1)或A(0,1),B(-1,-1), 從而AB==. 已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ-2cos θ.若直線l與曲線C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:由ρ=2sin θ-2cos θ,可得ρ2=2ρsin θ-2ρcos θ,所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2y-2x,標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-1)2=2. 直線l的方程化成普通方程為x-y+1=0. 圓心到直線l的距離為d==, 所求弦長AB=2=. , 2 求曲線參數(shù)方程) , 2) 如圖,以過原點的直線的傾斜角θ為參數(shù),求圓x2+y2-x=0的參數(shù)方程. 解:設(shè)P(x,y),則隨著θ取值變化,P可以表示圓上任意一點,由所給的曲線方程x2+y2-x=0,即+y2=,表示以為圓心,為半徑的圓,可得弦OP=1cos θ, 所以從而 故已知圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 已知直線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(θ為參數(shù)). (1) 當(dāng)α=時,求C1與C2的交點坐標(biāo); (2) 過坐標(biāo)原點O作C1的垂線,垂足為A,P為OA的中點,當(dāng)α變化時,求點P軌跡的參數(shù)方程,并指出它是什么曲線. 解:(1) 當(dāng)α=時,C1的普通方程為y=(x-1),C2的普通方程為x2+y2=1,聯(lián)立構(gòu)成方程組解得C1與C2的交點坐標(biāo)分別為(1,0),. (2) 依題意,C1的普通方程為xsin α-ycos α-sin α=0,則A點的坐標(biāo)為(sin2α,-sin αcos α), 故當(dāng)α變化時,P點軌跡的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)), 所以點P軌跡的普通方程為+y2=. 故點P的軌跡是圓心為,半徑為的圓. , 3 參數(shù)方程的應(yīng)用) , 3)?。?017南通、泰州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線(l為參數(shù))與曲線(t為參數(shù))相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:(解法1)將曲線(t為參數(shù))化成普通方程為y2=8x, 將直線(l為參數(shù))代入y2=8x,整理得l2-8l+24=0, 解得l1=2,l2=6.則|l1-l2|=4,所以線段AB的長為4. (解法2)將曲線(t為參數(shù))化成普通方程為y2=8x, 將直線(l為參數(shù))化成普通方程為x-y+=0, 由得或所以AB的長為=4. 已知直線l:(t為參數(shù))恒經(jīng)過橢圓C:(φ為參數(shù))的右焦點F. (1) 求m的值; (2) 設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點,求FAFB的最大值與最小值. 解:(1) 橢圓的參數(shù)方程化為普通方程,得+=1. 因為a=5,b=3,所以c=4,所以點F的坐標(biāo)為(4,0). 因為直線l經(jīng)過點(m,0),所以m=4. (2) 將直線l的參數(shù)方程代入橢圓C的普通方程,并整理得 (9cos2α+25sin2α)t2+72tcos α-81=0. 設(shè)點A,B在直線參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,則 FAFB=|t1t2|==. 當(dāng)sin α=0時,F(xiàn)AFB取最大值9; 當(dāng)sin α=1時,F(xiàn)AFB取最小值. , 4 極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合應(yīng)用) , 4)?。?017蘇錫常鎮(zhèn)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度,建立極坐標(biāo)系.已知曲線C1的參數(shù)方程為(α∈[0,2π],α為參數(shù)),曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin=a(a∈R),若曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點,求實數(shù)a的值. 解:曲線C1的方程為(x-)2+(y-3)2=4,圓心坐標(biāo)為(,3),半徑為2. ∵ 曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin=a(a∈R), ∴ 曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x+y-2a=0. ∵ 曲線C1與曲線C2有且僅有一個公共點, ∴ =2,解得a=1或a=5. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C:(α為參數(shù)).以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(cos θ+sin θ)+4=0.求曲線C上的點到直線l的最大距離. 解:將l轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x+y+4=0. 在C上任取一點A(cos α,sin α),α∈[0,2π),則點A到直線l的距離為d===sin+2. 當(dāng)α=時,d取得最大值,最大值為2+,此時A點為(,1). 1. 在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsin=a,曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0≤t≤π).當(dāng)C1與C2有公共點時,求實數(shù)a的取值范圍. 解:曲線C1的直角坐標(biāo)方程為x+y=a.若C1與C2有公共點,則a=x+y=sin t+cos t-2在t∈[0,π]上有解,又sin t+cos t-2=sin-2,因為t∈[0,π],所以t+∈,sin∈, 所以a的取值范圍為[-3,-2]. 2. (2017蘇北四市期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.直線l:sin=m(m∈R),圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).當(dāng)圓心C到直線l的距離為時,求m的值. 解:直線l的直角坐標(biāo)方程為x-y+m=0, 圓C的普通方程為(x-1)2+(y+2)2=9, 圓心C到直線l的距離為=, 解得m=-1或m=-5. 3. (2016江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:橢圓C的普通方程為x2+=1,將直線l的參數(shù)方程代入x2+=1, 得+=1,即7t2+16t=0, 解得t1=0,t2=-. 所以AB=|t1-t2|=. 4. (2017揚州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以直角坐標(biāo)系原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=,試求直線l與曲線C的交點的直角坐標(biāo). 解:將直線l的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程為y=x, 將曲線C的參數(shù)方程化成普通方程為y=2-x2(-1≤x≤1). 由得x2+x-2=0,解得x=1或x=-2. 又-1≤x≤1,所以x=1,所以直線l與曲線C的交點的直角坐標(biāo)為(1,1). 1. 在極坐標(biāo)系中,直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),求直線l與曲線C的交點P的直角坐標(biāo). 解:因為直線l的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R),所以直線l的普通方程為y=x. ① 又曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)), 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y=x2(x∈[-2,2]), ② 聯(lián)立①②解方程組得或(舍去). 故P點的直角坐標(biāo)為(0,0). 2. (2017蘇州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-4cos θ=0,已知直線l與曲線C相交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:因為曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-4cos θ=0,所以ρ2sin2θ=4ρcos θ,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x. 將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y2=4x, 得=4,即t2+8t=0, 解得t1=0,t2=-8. 所以AB=|t1-t2|=8. 3. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C:(s為參數(shù)),直線l:(t為參數(shù)).設(shè)曲線C與直線l交于A,B兩點,求線段AB的長度. 解:由消去s得曲線C的普通方程為y=x2; 由消去t得直線l的普通方程為y=3x-2. 聯(lián)立直線l的方程與曲線C的方程,即 解得交點的坐標(biāo)分別為(1,1),(2,4). 所以線段AB的長度為=. 4. (2017南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:(t為參數(shù))與曲線C:(k為參數(shù))交于A,B兩點,求線段AB的長. 解:(解法1)直線l的參數(shù)方程化為普通方程得4x-3y=4, 將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y2=4x. 聯(lián)立方程組解得或 所以A(4,4),B或A,B(4,4). 所以AB==. (解法2)將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程得y2=4x. 將直線l的參數(shù)方程代入拋物線C的方程得=4,即4t2-15t-25=0, 所以 t1+t2=,t1t2=-. 所以AB=|t1-t2| = ==. 1. 在直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))中t的幾何意義是表示在直線上過定點P0(x0,y0)與直線上的任一點P(x,y)構(gòu)成的有向線段P0P的長度,且在直線上任意兩點P1,P2的距離為P1P2=|t1-t2|=. 2. 參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù):一要熟練掌握常用技巧(如整體代換);二要注意變量取值范圍的一致性,這一點最易忽視. [備課札記]- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一部分 基礎(chǔ)與考點過關(guān) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程學(xué)案 選修4-4 2019 高考 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 第一 部分 基礎(chǔ) 考點 過關(guān) 坐標(biāo)系 參數(shù) 方程 選修
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