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專題02 二次函數(shù)及指、對(duì)數(shù)函數(shù)的問題的探究
【自主熱身，歸納提煉】
1、已知4a＝2，logax＝2a，則正實(shí)數(shù)x的值為________．
【答案】：
【解析】：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝.由logx＝1，得x＝＝.
2、函數(shù)的定義域?yàn)? ．
【答案】：
【解析】：由題意，，即，即，解得.
3、 函數(shù)f(x)＝log2(－x2＋2)的值域?yàn)開_______．
【答案】|、
【解析】：由題意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0,2]，故所求函數(shù)的值域?yàn)?
4、 設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－3x＋a.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
【答案】
解法1 由f(x)＝0得a＝－x2＋3x＝－2＋.因?yàn)閤∈(1,3)，所以－2＋∈，所以a∈.
解法2 因?yàn)閒(x)＝x2－3x＋a＝2－＋a，所以要使函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有零點(diǎn)，則需f≤0且f(3)>0，解得0
0，得2x>a.顯然a>0，所以x>log2a.由題意，得log2a＝，即a＝.
解法2 (秒殺解法)當(dāng)x＝時(shí)，必有1－＝0，解得a＝.
10、 已知f(x)是定義在[－2,2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，f(x)＝2x－1，函數(shù)g(x)＝x2－2x＋m.如果?x1∈[－2,2]，?x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．
【答案】[－5，－2]
【解析】：因?yàn)閤∈(0,2]，函數(shù)f(x)＝2x－1，所以f(x)的值域?yàn)?0,3]．又因?yàn)閒(x)是[－2,2]上的奇函數(shù)，所以x＝0時(shí)，f(0)＝0，所以在[－2,2]上f(x)的值域?yàn)閇－3,3]．而在[－2,2]上g(x)的值域?yàn)閇m－1,8＋m]．如果對(duì)于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，則有[－3，3]?[m－1,8＋m]，所以即所以－5≤m≤－2.
11、已知函數(shù)f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】： (－1,5)
解法1 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f(x)<2，等價(jià)于|x3－ax|<2，即－20矛盾．
那么有a≤－1或a≥5，故原題【答案】為－11－2a，t2>1－2a，因?yàn)榉匠蘤(t)＝0的一個(gè)解為t＝－1，故按照1－2a與－1的大小關(guān)系，分三種情況討論得出a的取值范圍．
設(shè)g(x)＝t，因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(g(x))有四個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程f(t)＝0有且僅有兩個(gè)不相等的根t1，t2，且由g(x)＝x2＋1－2a＝t，得x2＝t－(1－2a)，故t1>1－2a，t2>1－2a.
當(dāng)t<0時(shí)，由ln(－t)＝0得t＝－1.
若1－2a＝－1，則a＝1，易得函數(shù)f(g(x))有五個(gè)不同的零點(diǎn)，舍去．
若1－2a<－1，則a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且僅有一個(gè)正根，符合題意．
若1－2a>－1，則a<1，所以方程f(t)＝0必有兩個(gè)正根，且t1>1－2a，t2>1－2a.
因?yàn)閠>0時(shí)，f(t)＝t2－2at－a＋1，
所以a>0，Δ＝4a2－4(－a＋1)>0，f(0)>0，
f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a＋1>0，
解得1，即{a|1}．
本題考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，處理f(g(x))＝0解的個(gè)數(shù)問題，往往通過換元令t＝g(x)，f(t)＝0，研究t的解的個(gè)數(shù)，再討論每一個(gè)解對(duì)應(yīng)的g(x)＝t的解x的個(gè)數(shù)，常用數(shù)形結(jié)合的方法來處理．
【變式2】、已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋a2－1，若關(guān)于x的不等式f(f(x))<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】： (－∞，－2]
注意到f(f(x))<0是關(guān)于x的四次不等式，所以直接求解是有困難的，因此，首先得降次，由于f(x)可分解為，從而應(yīng)用整體思想，可將問題轉(zhuǎn)化為a－1
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