2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx
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3.2 一般形式的柯西不等式 一、教學(xué)目標 1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式. 2.會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題. 二、課時安排 1課時 三、教學(xué)重點 1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式. 2.會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題. 四、教學(xué)難點 1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式. 2.會利用一般形式的柯西不等式解決簡單問題. 五、教學(xué)過程 (一)導(dǎo)入新課 已知實數(shù)x,y,z滿足x+2y+z=1,求t=x2+4y2+z2的最小值. 【解】 由柯西不等式得 (x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2. ∵x+2y+z=1, ∴3(x2+4y2+z2)≥1,即x2+4y2+z2≥. 當且僅當x=2y=z=,即x=,y=,z=時等號成立.故x2+4y2+z2的最小值為. (二)講授新課 教材整理1 三維形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,則(a+a+a)(b+b+b)≥ .當且僅當 或存在一個數(shù)k,使得ai=kbi(i=1,2,3)時,等號成立.我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式. 教材整理2 一般形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是實數(shù),則 (a+a+…+a)(b+b+…+b)≥ .當且僅當bi=0(i=1,2,…,n)或存在一個數(shù)k,使得ai= (i=1,2,…,n)時,等號成立. (三)重難點精講 題型一、利用柯西不等式求最值 例1 已知a,b,c∈(0,+∞),++=2,求a+2b+3c的最小值及取得最小值時a,b,c的值. 【精彩點撥】 由于++=2,可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來,利用柯西不等式求解. 【自主解答】 ∵a,b,c∈(0,+∞), ∴(a+2b+3c)=[++][()2+()2+()2] ≥ =(1+2+3)2=36. 又++=2, ∴a+2b+3c≥18, 當且僅當a=b=c=3時等號成立, 綜上,當a=b=c=3時, a+2b+3c取得最小值18. 規(guī)律總結(jié):利用柯西不等式求最值時,關(guān)鍵是對原目標函數(shù)進行配湊,以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時,要注意等號成立的條件. [再練一題] 1.已知x+4y+9z=1,求x2+y2+z2的最小值. 【解】 由柯西不等式,知 (x+4y+9z)2≤(12+42+92)(x2+y2+z2) =98(x2+y2+z2). 又x+4y+9z=1, ∴x2+y2+z2≥,(*) 當且僅當x==時,等號成立, ∴x=,y=,z=時,(*)取等號. 因此,x2+y2+z2的最小值為. 題型二、運用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍 例2已知正數(shù)x,y,z滿足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范圍. 【精彩點撥】 “恒成立”問題需求++的最大值,設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值. 【自主解答】 ∵x>0,y>0,z>0. 且x+y+z=xyz. ∴++=1. 又++ ≤ =≤ 當且僅當x=y(tǒng)=z,即x=y(tǒng)=z=時等號成立. ∴++的最大值為. 故++≤λ恒成立時, 應(yīng)有λ≥. 因此λ的取值范圍是. 規(guī)律總結(jié): 應(yīng)用柯西不等式,首先要對不等式形式、條件熟練掌握,然后根據(jù)題目的特點“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理. [再練一題] 2.已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,試求a的取值范圍. 【解】 由a+b+c+d=3,得b+c+d=3-a, 由a2+2b2+3c2+6d2=5,得2b2+3c2+6d2=5-a2, (2b2+3c2+6d2)≥(b+c+d)2, 即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2. 由條件可得,5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2, 所以實數(shù)a的取值范圍是[1,2]. 題型三、利用柯西不等式證明不等式 例3 已知a,b,c∈R+,求證:++≥9. 【精彩點撥】 對應(yīng)三維形式的柯西不等式,a1=,a2=,a3=,b1=,b2=,b3=,而a1b1=a2b2=a3b3=1,因而得證. 【自主解答】 ∵a,b,c∈R+, 由柯西不等式,知 =[++][++] ≥ =(1+1+1)2=9, ∴≥9. 規(guī)律總結(jié): 1.當ai,bi是正數(shù)時,柯西不等式變形為(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)≥(++…+)2. 2.本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù),創(chuàng)造使用柯西不等式的條件.在運用柯西不等式時,要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,正確配湊出公式兩側(cè)的數(shù)組. [再練一題] 3.已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1]. (1)求m的值; (2)若a,b,c∈R+,且++=m,求證:a+2b+3c≥9. 【解】 (1)因為f(x+2)=m-|x|,f(x+2)≥0等價于|x|≤m. 由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集為{x|-m≤x≤m}. 又f(x+2)≥0的解集為[-1,1],故m=1. (2)證明:由(1)知++=1.又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)≥=9. (四)歸納小結(jié) 一般形式的柯西不等式— (五)隨堂檢測 1.設(shè)a=(-2,1,2),|b|=6,則ab的最小值為( ) A.18 B.6 C.-18 D.12 【解析】 |ab|≤|a||b|, ∴|ab|≤18. ∴-18≤ab≤18,當a,b反向時,ab最小,最小值為-18. 【答案】 C 2.若a+a+…+a=1,b+b+…+b=4,則a1b1+a2b2+…+anbn的取值范圍是( ) A.(-∞,2) B.[-2,2] C.(-∞,2] D.[-1,1] 【解析】 ∵(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2, ∴(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤4, ∴|a1b1+a2b2+…+anbn|≤2, 即-2≤a1b1+a2b2+…+anbn≤2, 當且僅當ai=bi(i=1,2,…,n)時,右邊等號成立; 當且僅當ai=-bi(i=1,2,…,n)時,左邊等號成立,故選B. 【答案】 B 3.設(shè)a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,則 的最小值為________. 【解析】 根據(jù)柯西不等式(ma+nb)2≤(a2+b2)(m2+n2),得25≤5(m2+n2),m2+n2≥5,的最小值為. 【答案】 六、板書設(shè)計 3.2 一般形式的柯西不等式 教材整理1 三維形式的柯西不等式 教材整理2 一般形式的柯西不等式 例1: 例2: 例3: 學(xué)生板演練習(xí) 七、作業(yè)布置 同步練習(xí):3.2 一般形式的柯西不等式 八、教學(xué)反思- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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