2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 4 第3課時(shí) 放縮法、幾何法與反證法學(xué)案 北師大版選修4-5.docx
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第3課時(shí) 放縮法、幾何法與反證法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解用放縮法證明不等式的原理,會(huì)用放縮法證明一些不等式.2.了解幾何法證明不等式的特征,會(huì)構(gòu)造一些特征明顯的圖形證明一些特定的不等式.3.理解反證法的理論依據(jù),掌握反證法的基本步驟,會(huì)用反證法證明不等式. 知識(shí)點(diǎn)一 放縮法 思考 放縮法是證明不等式的一種特有的方法,那么放縮法的原理是什么? 答案?、俨坏仁降膫鬟f性;②等量加(減)不等量為不等量. 梳理 放縮法 (1)放縮法證明的定義 在證明不等式時(shí),有時(shí)可以通過縮小(或放大)分式的分母(或分子),或通過放大(或縮小)被減式(或減式)來證明不等式,這種證明不等式的方法稱為放縮法. (2)放縮法的理論依據(jù) ①不等式的傳遞性; ②等量加(減)不等量為不等量; ③同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較. 知識(shí)點(diǎn)二 幾何法 通過構(gòu)造幾何圖形,利用幾何圖形的性質(zhì)來證明不等式的方法稱為幾何法. 知識(shí)點(diǎn)三 反證法 思考 什么是反證法?用反證法證明時(shí),導(dǎo)出矛盾有哪幾種可能? 答案 (1)反證法就是在否定結(jié)論的前提下推出矛盾,從而說明結(jié)論是正確的. (2)矛盾可以是與已知條件矛盾,也可以是與已知的定義、定理矛盾. 梳理 反證法 (1)反證法證明的定義:反證法是常用的證明方法.它是通過證明命題結(jié)論的否定不能成立,來肯定命題結(jié)論一定成立. (2)反證法證明不等式的一般步驟:①作出否定結(jié)論的假設(shè);②進(jìn)行推理,導(dǎo)出矛盾;③否定假設(shè),肯定結(jié)論. 類型一 放縮法證明不等式 例1 已知實(shí)數(shù)x,y,z不全為零,求證:++>(x+y+z). 證明?。健荩健輝+. 同理可得≥y+, ≥z+. 由于x,y,z不全為零,故上述三式中至少有一式取不到等號(hào),所以三式相加,得 ++>++=(x+y+z). 反思與感悟 (1)利用放縮法證明不等式,要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式),謹(jǐn)慎地采取措施,進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s,任何不適宜的放縮都會(huì)導(dǎo)致推證的失?。? (2)一定要熟悉放縮法的具體措施及操作方法,利用放縮法證明不等式,就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng),或者在分式中放大或縮小分子、分母,或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換成較大或較小的數(shù),從而達(dá)到證明不等式的目的. 跟蹤訓(xùn)練1 求證:-<1++…+<2-(n∈N+且n≥2). 證明 ∵k(k+1)>k2>k(k-1)(k∈N+且k≥2), ∴<<, 即-<<-(k∈N+且k≥2). 分別令k=2,3,…,n,得 -<<1-,-<<-,…, -<<-,將這些不等式相加,得 -+-+…+-<++…+< 1-+-+…+-, 即-<++…<1-, ∴1+-<1+++…+<1+1-, 即-<1+++…+<2-(n∈N+且n≥2)成立. 類型二 反證法證明不等式 命題角度1 證明“否定性”結(jié)論 例2 設(shè)a>0,b>0,且a+b=+,證明: (1)a+b≥2;(2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 證明 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1可知,a+b≥2=2,即a+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立. (2)假設(shè)a2+a<2與b2+b<2同時(shí)成立,則由a2+a<2及a>0,得0<a<1;同理,0<b<1,從而ab<1,這與ab=1矛盾.故a2+a<2與b2+b<2不可能同時(shí)成立. 反思與感悟 當(dāng)待證不等式的結(jié)論為否定性命題時(shí),常用反證法來證明,對(duì)結(jié)論的否定要全面不能遺漏,最后的結(jié)論可以與已知的定義、定理、已知條件、假設(shè)矛盾. 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)0<a<2,0<b<2,0<c<2, 求證:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同時(shí)大于1. 證明 假設(shè)(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b同時(shí)都大于1, 即(2-a)c>1,(2-b)a>1,(2-c)b>1, 則(2-a)c(2-b)a(2-c)b>1, ∴(2-a)(2-b)(2-c)abc>1.① ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, ∴(2-a)a≤2=1, 同理(2-b)b≤1,(2-c)c≤1, ∴(2-a)a(2-b)b(2-c)c≤1, ∴(2-a)(2-b)(2-c)abc≤1,這與①式矛盾. ∴(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同時(shí)大于1. 命題角度2 證明“至少”“至多”型問題 例3 已知f(x)=x2+px+q,求證: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2; (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. 證明 (1)f(1)+f(3)-2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2. (2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于, 則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2, 而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,矛盾, ∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于. 反思與感悟 (1)在證明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼時(shí),若正面難以找到解題的突破口,可轉(zhuǎn)換視角,用反證法證明. (2)在用反證法證明的過程中,由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè),相當(dāng)于增加了題設(shè)條件,因此在證明過程中必須使用這個(gè)增加的條件,否則將無法推出矛盾. 跟蹤訓(xùn)練3 若a,b,c均為實(shí)數(shù),且a=x2-2y+,b=y(tǒng)2-2z+,c=z2-2x+,求證:a,b,c中至少有一個(gè)大于0. 證明 假設(shè)a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0, 則a+b+c≤0,而a+b+c=x2-2y++y2-2z++z2-2x+=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3, ∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0, ∴a+b+c>0,這與a+b+c≤0矛盾,因此假設(shè)不成立. ∴a,b,c中至少有一個(gè)大于0. 1.用放縮法證明不等式時(shí),下列各式正確的是( ) A.> B.< C.x2+x+3>x2+3 D.|a+1|≥|a|-1 答案 D 解析 對(duì)于A,x的正、負(fù)不定;對(duì)于B,m的正、負(fù)不定;對(duì)于C,x的正、負(fù)不定;對(duì)于D,由絕對(duì)值三角不等式知,D正確. 2.用反證法證明命題“a,b,c全為0”時(shí),其假設(shè)為( ) A.a(chǎn),b,c全不為0 B.a(chǎn),b,c至少有一個(gè)為0 C.a(chǎn),b,c至少有一個(gè)不為0 D.a(chǎn),b,c至多有一個(gè)不為0 答案 C 3.比較大?。?+++…+________. 答案 ≥ 解析 1++…+≥==. 4.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.求證:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于. 證明 假設(shè)a(3-b)>,b(3-c)>,c(3-a)>. 因?yàn)閍,b,c均為小于3的正數(shù), 所以>,>,>, 從而有++>.① 但是++≤++ ==.② 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),②中取等號(hào). 顯然②與①相矛盾,假設(shè)不成立,故命題得證. 1.常見的涉及反證法的文字語言及其相對(duì)應(yīng)的否定假設(shè) 常見 詞語 至少有一個(gè) 至多有 一個(gè) 唯一一個(gè) 不是 不可能 全 都是 否定 假設(shè) 一個(gè)也沒有 有兩個(gè)或兩個(gè)以上 沒有或有兩個(gè)或兩個(gè)以上 是 有或存在 不全 不都是 2.放縮法證明不等式常用的技巧 (1)增項(xiàng)或減項(xiàng). (2)在分式中增大或減小分子或分母. (3)應(yīng)用重要不等式放縮,如a2+b2≥2ab,≤,ab≤2,≥(a,b,c>0). (4)利用函數(shù)的單調(diào)性等. 一、選擇題 1.P=++(a,b,c均為正數(shù))與3的大小關(guān)系為( ) A.P≥3 B.P=3 C.P<3 D.P>3 答案 C 解析 P=++<++=3. 2.設(shè)x,y,z都是正實(shí)數(shù),a=x+,b=y(tǒng)+,c=z+,則a,b,c三個(gè)數(shù)( ) A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2 C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2 答案 C 解析 假設(shè)a,b,c都小于2, 則a+b+c<6, 又a+b+c=x++y++z+=++≥6,與a+b+c<6矛盾. 所以a,b,c至少有一個(gè)不小于2.故選C. 3.已知a>0,b>0,c>0,且a2+b2=c2,則an+bn與cn(n≥3,n∈N+)的大小關(guān)系為( ) A.a(chǎn)n+bn>cn B.a(chǎn)n+bn<cn C.a(chǎn)n+bn≥cn D.a(chǎn)n+bn=cn 答案 B 解析 ∵a2+b2=c2, ∴2+2=1, ∴0<<1,0<<1, ∴y=x,y=x均為減函數(shù). ∴當(dāng)n≥3時(shí),有n<2,n<2, ∴n+n<2+2=1, ∴an+bn<cn. 4.設(shè)x>0,y>0,A=,B=+,則A與B的大小關(guān)系為( ) A.A≥B B.A=B C.A>B D.A<B 答案 D 解析 ∵x>0,y>0, ∴A=+<+=B. 5.對(duì)“a,b,c是不全相等的正數(shù)”,給出下列判斷: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a>b與a<b及a≠c中至少有一個(gè)成立; ③a≠c,b≠c,a≠b不能同時(shí)成立. 其中判斷正確的個(gè)數(shù)為( ) A.0B.1C.2D.3 答案 C 解析 對(duì)于①,假設(shè)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,這時(shí)a=b=c,與已知矛盾,故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0,故①正確; 對(duì)于②,假設(shè)a>b與a<b及a≠c都不成立,這時(shí)a=b=c,與已知矛盾,故a>b與a<b及a≠c中至少有一個(gè)成立,故②正確; 對(duì)于③,顯然不正確. 6.設(shè)a,b,c是正數(shù),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“PQR>0”是“P,Q,R同時(shí)大于零”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件 答案 C 解析 必要性顯然成立.充分性:若PQR>0,則P,Q,R同時(shí)大于零或其中有兩個(gè)負(fù)的,不妨設(shè)P<0,Q<0,R>0,因?yàn)镻<0,Q<0, 即a+b<c,b+c<a.所以a+b+b+c<c+a. 所以b<0,與b>0矛盾,故充分性成立. 二、填空題 7.若A=++…+,則A與1的大小關(guān)系為________. 答案 A<1 解析 A=++…+<==1. 8.用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟:①則∠A+∠B+∠C=90+90+∠C>180,這與三角形的內(nèi)角和為180矛盾,故結(jié)論錯(cuò)誤; ②所以一個(gè)三角形不可能有兩個(gè)直角; ③假設(shè)△ABC有兩個(gè)直角,不妨設(shè)∠A=∠B=90. 上述步驟的正確順序是________. 答案?、邰佗? 解析 由反證法的證明步驟可知,正確順序應(yīng)該是③①②. 9.已知a∈R+,則,,從大到小的順序?yàn)開_______. 答案?。荆? 解析 因?yàn)椋荆?, +<+=2, 所以2<+<2, 所以>> . 10.某同學(xué)準(zhǔn)備用反證法證明如下問題: 函數(shù)f(x)在[0,1]上有意義,且f(0)=f(1),如果對(duì)于不同的x1,x2∈[0,1],滿足|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,求證:|f(x1)-f(x2)|<,那么它的反設(shè)應(yīng)該是________. 答案 存在x1,x2∈[0,1]且x1≠x2,滿足|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,使|f(x1)-f(x2)|≥ 三、解答題 11.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a+b=c+d=1,且ac+bd>1,求證:a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). 證明 假設(shè)a,b,c,d都是非負(fù)數(shù). 由a+b=c+d=1知,a,b,c,d∈[0,1]. 從而ac≤≤,bd≤≤, ∴ac+bd≤=1, 即ac+bd≤1,與已知ac+bd>1矛盾, ∴a,b,c,d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù). 12.設(shè)n是正整數(shù),求證:≤++…+<1. 證明 由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n), 得≤<, 當(dāng)k=1時(shí),≤<, 當(dāng)k=2時(shí),≤<, …, 當(dāng)k=n時(shí),≤<, ∴=≤++…+<=1. ∴原不等式成立. 13.設(shè)a,b∈R,0≤x≤1,0≤y≤1,求證:對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b必存在滿足條件的x,y,使|xy-ax-by|≥成立. 證明 假設(shè)對(duì)一切0≤x≤1,0≤y≤1,結(jié)論不成立, 則有|xy-ax-by|<.令x=0,y=1,得|b|<; 令x=1,y=0,得|a|<;令x=y(tǒng)=1,得|1-a-b|<. 又|1-a-b|≥1-|a|-|b|>1--=,這與上式矛盾. 故假設(shè)不成立,原命題結(jié)論正確. 四、探究與拓展 14.完成反證法證題的全過程. 題目:設(shè)a1,a2,…,a7是由數(shù)字1,2,…,7任意排成的一個(gè)數(shù)列,求證:乘積p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)為偶數(shù). 證明:假設(shè)p為奇數(shù),則________均為奇數(shù).① 因?yàn)?個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù),故有 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)為________.② 而(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) =(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=________.③ ②與③矛盾,故p為偶數(shù). 答案?、賏1-1,a2-2,…,a7-7?、谄鏀?shù) ③0 解析 由假設(shè)p為奇數(shù)可知,(a1-1),(a2-2),…,(a7-7)均為奇數(shù),故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0為奇數(shù),這與0為偶數(shù)相矛盾. 15.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1. (1)證明:是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式; (2)證明:++…+<. 證明 (1)由an+1=3an+1,得an+1+=3. 又a1+=, 所以是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列. 所以an+=,因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為an=. (2)由(1)知,=, 因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí),3n-1≥23n-1, 所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<. 所以++…+<.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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