（通用版）2019高考數(shù)學二輪復習 第二篇 第14練 空間點、線、面的位置關(guān)系精準提分練習 文.docx

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第14練　空間點、線、面的位置關(guān)系 [明晰考情]　1.命題角度：空間線面關(guān)系的判斷；空間中的平行、垂直關(guān)系.2.題目難度：中檔難度. 考點一　空間線面位置關(guān)系的判斷 方法技巧　(1)判定兩直線異面的方法 ①反證法； ②利用結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線. (2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進行判斷. (3)空間圖形中平行與垂直的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，要掌握以下的常用結(jié)論 ①平面圖形的平行關(guān)系：平行線分線段成比例、平行四邊形的對邊互相平行；②平面圖形中的垂直關(guān)系：等腰三角形的底邊上的中線和高重合、菱形的對角線互相垂直、圓的直徑所對圓周角為直角、勾股定理. 1.已知直線a與平面α，β，α∥β，a?α，點B∈β，則在β內(nèi)過點B的所有直線中(　　) A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線 C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.存在唯一一條與a平行的直線 答案　D 解析　在平面內(nèi)過一點，只能作一條直線與已知直線平行. 2.下列說法正確的是(　　) A.若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥α B.若直線a在平面α外，則a∥α C.若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥α D.若直線a∥b，b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線 答案　D 解析　A錯誤，直線l還可以在平面α內(nèi)；B錯誤，直線a在平面α外，包括平行和相交；C錯誤，a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi).故選D. 3.(2017全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(　　) 答案　A 解析　A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交， ∴直線AB與平面MNQ相交； B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ； C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ， 又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ； D項，作如圖④所示的輔助線， 則AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ， 又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ， ∴AB∥平面MNQ. 故選A. 4.如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO⊥平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為________. 答案　垂直 解析　連接BO，∵AO⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AO⊥B1C. 又側(cè)面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BO， 又AO∩BO＝O，AO，BO?平面ABO， ∴B1C⊥平面ABO. ∵AB?平面ABO，∴B1C⊥AB. 考點二　空間角的求解 方法技巧　(1)對于兩條異面直線所成的角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置. (2)直線和平面所成的角的求解關(guān)鍵是找出或作出過斜線上一點的平面的垂線，得到斜線在平面內(nèi)的射影. 5.(2018全國Ⅱ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的一側(cè)補上一個相同的長方體A′B′BA－A1′B1′B1A1.連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角.連接DB′，由題意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝. 在△DB′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝B′B＋DB－2B′B1DB1cos∠DB1B′， 即5＝4＋5－22cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝. 故選C. 6.已知在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，則EF與CD所成的角的大小為(　　) A.90 B.45 C.60 D.30 答案　D 解析　設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE， 則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中位線. 由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2， ∴∠FEG或其補角即為EF與CD所成的角. 又EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF. 因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2， ∴sin∠GEF＝＝， 又∠GEF為銳角， ∴∠GEF＝30. ∴EF與CD所成的角的大小為30. 7.已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中點，則直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　連接AE，BD，過點F作FH⊥BD交BD于H，連接EH，則FH⊥平面BDD1B1， ∴∠FEH是直線EF和平面BDD1B1所成的角. 設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2， ∵E，F(xiàn)分別是棱BB1，AD的中點， ∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FDH＝45， 可得FH＝DF＝. 在Rt△AEF中，AF＝1，AE＝＝， 可得EF＝＝. 在Rt△EFH中，sin∠FEH＝＝， ∴直線EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是. 8.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，點D在棱BB1上，若BD＝3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖，取AC的中點E，連接BE，可得＝(＋)＝＝42＝12＝52cosθ(θ為與的夾角)， 所以cosθ＝，sinθ＝， 又因為BE⊥平面AA1C1C， 所以所求角即為－θ， 所以tan＝ ＝＝. 考點三　空間線、面關(guān)系的綜合問題 方法技巧　解決與翻折有關(guān)的問題的兩個關(guān)鍵 (1)要明確翻折前后的變化量和不變量.一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化. (2)在解決問題時，要比較翻折前后的圖形，既要分析翻折后的圖形，也要分析翻折前的圖形. 9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB＝4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為(　　) A.6＋4 B.6＋2 C.3＋4 D.3＋2 答案　A 解析　∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，DD1的中點， ∴EF∥AD1∥BC1. ∵EF?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1， ∴EF∥平面BCC1B1. 由正方體的棱長為4，可得截面是以BE＝C1F＝2為腰，EF＝2為上底，BC1＝2EF＝4為下底的等腰梯形，故周長為6＋4. 10.如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點G，已知△A′DE是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形(點A′不與點F重合)，則下列命題中正確的是(　　) ①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上； ②BC∥平面A′DE； ③三棱錐A′－FED的體積有最大值. A.①B.①②C.①②③D.②③ 答案　C 解析?、僦杏梢阎傻闷矫鍭′FG⊥平面ABC， 所以點A′在平面ABC上的射影在線段AF上. ②BC∥DE，根據(jù)線面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE. ③當平面A′DE⊥平面ABC時，三棱錐A′－FED的體積達到最大，故選C. 11.如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB， 則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC； ③直線BC∥平面PAE； ④∠PDA＝45. 正確的為________(把所有正確的序號都填上). 答案?、佗? 解析　由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A， 得AE⊥平面PAB，∵PB?平面PAB， ∴PB⊥AE，∴①正確； 由正六邊形的性質(zhì)計算可得PA＝AD， 故△PAD是等腰直角三角形， ∴∠PDA＝45，∴④正確. 12.等腰直角三角形BCD的腰長為2，將平面BCD沿斜邊BD翻折到平面BAD的位置，翻折后如圖所示，O為BD的中點，若AC＝2，則三棱錐A－BCD的體積為________. 答案　 解析　由題意知，AB＝AD＝CB＝CD＝2，從而根據(jù)等腰直角三角形BCD和等腰直角三角形ABD可求得AO＝CO＝，又AC＝2，所以在△AOC中，AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因為AO是等腰直角三角形ABD斜邊上的中線，所以AO⊥BD.因為CO∩BD＝O，CO，BD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，則其體積為22＝. 1.α，β是兩個不重合的平面，在下列條件下，可判定α∥β的是(　　) A.α，β都平行于直線l，m B.α內(nèi)有三個不共線的點到β的距離相等 C.l，m是α內(nèi)的兩條直線且l∥β，m∥β D.l，m是兩條異面直線且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 答案　D 解析　對于A，l，m應相交；對于B，應考慮三個點在β的同側(cè)或異側(cè)兩種情況；對于C，l，m應相交，故選D. 2.已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是(　　) A.若m∥α，n∥α，則m∥n B.若m⊥α，n?α，則m⊥n C.若m⊥α，m⊥n，則n∥α D.若m∥α，m⊥n，則n⊥α 答案　B 解析　對于A，m，n還可能異面、相交，故A不正確； 對于C，n還可能在平面α內(nèi)，故C不正確； 對于D，n可能平行于平面α，還可能在平面α內(nèi)，故D不正確； 對于B，由線面垂直的定義可知正確. 3.(2018長沙模擬)如圖所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90，A，D分別是BF，CE上的點，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如圖1).將四邊形ADEF沿AD折起，連接AC，CF，BE，BF，CE(如圖2)，在折起的過程中，下列說法錯誤的是(　　) A.AC∥平面BEF B.B，C，E，F(xiàn)四點不可能共面 C.若EF⊥CF，則平面ADEF⊥平面ABCD D.平面BCE與平面BEF可能垂直 答案　D 解析　A選項，連接BD，交AC于點O，取BE的中點M，連接OM，F(xiàn)M，則四邊形AOMF是平行四邊形，所以AO∥FM，因為FM?平面BEF，AC?平面BEF，所以AC∥平面BEF；B選項，若B，C，E，F(xiàn)四點共面，因為BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C選項，連接FD，在平面ADEF內(nèi)，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，F(xiàn)D∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF與AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D選項，延長AF至G，使AF＝FG，連接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，過F作FN⊥BG于N，則FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，則過F作直線與平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾. 解題秘籍　線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型(如長方體、正四面體等)或?qū)嵗?，以定理的結(jié)論為依據(jù)進行推理，而不能主觀猜想. 1.已知直線a∥平面α，則“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的(　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若直線a⊥平面β，直線a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直線a∥平面α，那么直線a⊥平面β不一定成立.如正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直線AD∥平面BCC1B1，但直線AD?平面ABCD；直線AD1∥平面BCC1B1，但直線AD1與平面ABCD不垂直.綜上，“直線a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件. 2.如圖，在三棱錐P－ABC中，不能得出AP⊥BC的條件是(　　) A.AP⊥PB，AP⊥PC B.AP⊥PB，BC⊥PB C.平面PBC⊥平面APC，BC⊥PC D.AP⊥平面PBC 答案　B 解析　A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A可以得出AP⊥BC； C中，因為平面BPC⊥平面APC，且平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，BC?平面PBC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC， 所以PA⊥BC， 故C可以得出AP⊥BC； D中，由A知D可以得出AP⊥BC； B中條件不能得出AP⊥BC，故選B. 3.已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出四個命題： ①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β； ②若m⊥α，m⊥β，則α∥β； ③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β； ④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β. 其中正確的命題是(　　) A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案　B 解析　兩個平面斜交時也會出現(xiàn)一個平面內(nèi)的直線垂直于兩個平面的交線的情況，①不正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行，②正確；當兩個平面與兩條互相垂直的直線分別垂直時，它們所成的二面角為直二面角，故③正確；當兩個平面相交時，分別與兩個平面平行的直線也平行，故④不正確. 4.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 答案　A 解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B， 得AC⊥平面ABC1. 因為AC?平面ABC， 所以平面ABC1⊥平面ABC. 所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上. 5.在如圖所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點，直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是(　　) A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.在平面內(nèi) 答案　A 解析　取AD1的中點O，連接OE，OF，則OF平行且等于BE， ∴四邊形BFOE是平行四邊形， ∴BF∥EO. ∵BF?平面AD1E， OE?平面AD1E， ∴BF∥平面AD1E. 6.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結(jié)論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是(　　) A.①B.②C.③D.④ 答案　B 解析　作出過M，N，P，Q四點的截面交C1D1于點S，交AB于點R，如圖中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論②不正確. 7.空間四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD，M，N分別是對角線AC與BD的中點，則MN與(　　) A.AC，BD之一垂直 B.AC，BD都垂直 C.AC，BD都不垂直 D.AC，BD不一定垂直 答案　B 解析　連接AN，CN， ∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CDB，則AN＝CN. 在等腰△ANC中，由M為AC的中點知MN⊥AC. 同理可證MN⊥BD.故選B. 8.如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論： ①直線BE與直線CF異面；　②直線BE與直線AF異面； ③直線EF∥平面PBC；?、芷矫鍮CE⊥平面PAD. 其中正確的有(　　) A.1個B.2個C.3個D.4個 答案　B 解析　將展開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯；因為B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因為EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不一定垂直，④錯.故選B. 9.如圖，已知在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是棱PA，PB，PC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________. 答案　平行 解析　在△PAB中，因為D，E分別是PA，PB的中點， 所以DE∥AB. 又DE?平面ABC，AB?平面ABC， 所以DE∥平面ABC. 同理可證EF∥平面ABC. 又DE∩EF＝E，DE，EF?平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 10.(2018全國Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________. 答案　8π 解析　在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝SA2＝8， 解得SA＝4. 設(shè)圓錐的底面圓心為O，底面半徑為r，高為h， 在Rt△SAO中，∠SAO＝30， 所以r＝2，h＝2， 所以圓錐的體積V＝πr2h＝π(2)22＝8π. 11.(2016全國Ⅱ)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β； ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等. 其中正確的命題有________.(填寫所有正確命題的序號) 答案　②③④ 解析?、佼攎⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故錯誤， ②∵n∥α，∴過直線n作平面γ與平面α交于直線c， 則n∥c.∵m⊥α， ∴m⊥c，∴m⊥n，故正確. ③∵α∥β，m?α，由兩個平面平行的性質(zhì)可得m∥β，故正確. ④∵m∥n，α∥β，∴由線面角的定義和等角定理可得m與α所成的角和n與β所成的角相等，故正確. 經(jīng)判斷知②③④均正確. 12.空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90，∠BCD＝90，且AB＝AD，則AC與平面BCD所成的角是________. 答案　45 解析　如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO. 因為AB＝AD，所以AO⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，所以AO⊥平面BCD. 因此，∠ACO即為AC與平面BCD所成的角. 由于∠BAD＝90＝∠BCD， 所以AO＝OC＝BD， 又AO⊥OC， 所以∠ACO＝45.