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專題對點練7 導數與不等式及參數范圍
1.已知函數f(x)=12x2+(1-a)x-aln x.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)設a<0,若對?x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范圍.
2.設函數f(x)=(1-x2)ex.
(1)求f(x)的單調區(qū)間;
(2)當x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
3.(2018北京,文19)設函數f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.
(1)若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線斜率為0,求a;
(2)若f(x)在x=1處取得極小值,求a的取值范圍.
4.已知函數f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)討論f(x)的單調性;
(2)當a<0時,證明f(x)≤-34a-2.
專題對點練7答案
1.解 (1)f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=x+1-a-ax=x2+(1-a)x-ax=(x+1)(x-a)x,
若a≤0,則f(x)>0,此時f(x)在(0,+∞)內單調遞增;
若a>0,則由f(x)=0得x=a,當0
a時,f(x)>0,
此時f(x)在(0,a)內單調遞減,在(a,+∞)內單調遞增.
(2)不妨設x1≤x2,而a<0,由(1)知,f(x)在(0,+∞)內單調遞增,∴f(x1)≤f(x2),
|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|?4x1-f(x1)≥4x2-f(x2),
令g(x)=4x-f(x),則g(x)在(0,+∞)內單調遞減,
∵g(x)=4-f(x)=4-x+1-a-ax=ax-x+3+a,
∴g(x)=ax-x+3+a≤0對?x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x2-3xx+1對?x∈(0,+∞)恒成立,
∴a≤x2-3xx+1min.
又x2-3xx+1=x+1+4x+1-5
≥2(x+1)4x+1-5=-1,
當且僅當x+1=4x+1,即x=1時,等號成立.
∴a≤-1,
故a的取值范圍為(-∞,-1].
2.解 (1)f(x)=(1-2x-x2)ex.
令f(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.
當x∈(-∞,-1-2)時,f(x)<0;
當x∈(-1-2,-1+2)時,f(x)>0;
當x∈(-1+2,+∞)時,f(x)<0.
所以f(x)在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)內單調遞減,在(-1-2,-1+2)內單調遞增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
當a≥1時,設函數h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)內單調遞減,
而h(0)=1,故h(x)≤1,
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.
當00(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)內單調遞增,
而g(0)=0,
故ex≥x+1.
當0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,則x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,
故f(x0)>ax0+1.
當a≤0時,取x0=5-12,則x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.
綜上,a的取值范圍是[1,+∞).
3.解 (1)因為f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,
所以f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex.
所以f(2)=(2a-1)e2.
由題設知f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.
(2)(方法一)由(1)得f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.
若a>1,則當x∈1a,1時,f(x)<0;
當x∈(1,+∞)時,f(x)>0.
所以f(x)在x=1處取得極小值.
若a≤1,則當x∈(0,1)時,ax-1≤x-1<0,所以f(x)>0.
所以1不是f(x)的極小值點.
綜上可知,a的取值范圍是(1,+∞).
(方法二)由(1)得f(x)=(ax-1)(x-1)ex.
當a=0時,令f(x)=0,得x=1.
f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,+∞)
f(x)
+
0
-
f(x)
↗
極大值
↘
∴f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.
當a>0時,令f(x)=0,
得x1=1a,x2=1.
①當x1=x2,即a=1時,
f(x)=(x-1)2ex≥0,
∴f(x)在R上單調遞增,
∴f(x)無極值,不合題意.
②當x1>x2,即01時,f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x
-∞,1a
1a
1a,1
1
(1,+∞)
f(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
∴f(x)在x=1處取得極小值,即a>1滿足題意.
當a<0時,令f(x)=0,得x1=1a,x2=1.
f(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x
-∞,1a
1a
1a,1
1
(1,+∞)
f(x)
-
0
+
0
-
f(x)
↘
極小值
↗
極大值
↘
∴f(x)在x=1處取得極大值,不合題意.
綜上所述,a的取值范圍為(1,+∞).
4.(1)解 f(x)的定義域為(0,+∞),f(x)=1x+2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x.
若a≥0,則當x∈(0,+∞)時,f(x)>0,故f(x)在(0,+∞)單調遞增.
若a<0,則當x∈0,-12a時,f(x)>0;
當x∈-12a,+∞時,f(x)<0.
故f(x)在0,-12a單調遞增,在-12a,+∞單調遞減.
(2)證明 由(1)知,當a<0時,f(x)在x=-12a取得最大值,最大值為f-12a=ln-12a-1-14a.
所以f(x)≤-34a-2等價于ln-12a-1-14a≤-34a-2,
即ln-12a+12a+1≤0.
設g(x)=ln x-x+1,則g(x)=1x-1.
當x∈(0,1)時,g(x)>0;
當x∈(1,+∞)時,g(x)<0.
所以g(x)在(0,1)單調遞增,在(1,+∞)單調遞減.
故當x=1時,g(x)取得最大值,最大值為g(1)=0.
所以當x>0時,g(x)≤0.
從而當a<0時,ln-12a+12a+1≤0,
即f(x)≤-34a-2.
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