《向量及其運(yùn)算》PPT課件.ppt

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三 向量的混合積 第二節(jié) 一 兩向量的數(shù)量積 二 兩向量的向量積 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 數(shù)量積向量積 混合積 第七章 一 向量的數(shù)量積 沿與力夾角為 的直線移動 1 定義 設(shè)向量 的夾角為 稱 數(shù)量積 點(diǎn)積 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 故 2 性質(zhì) 為兩個(gè)非零向量 則有 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 運(yùn)算律 1 交換律 2 結(jié)合律 3 分配律 事實(shí)上 當(dāng) 時(shí) 顯然成立 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 證明三角形余弦定理 證 則 如圖 設(shè) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 設(shè) 則 當(dāng) 為非零向量時(shí) 由于 兩向量的夾角公式 得 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例2 已知三點(diǎn) AMB 解 則 求 故 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 向量的向量積 引例 設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn) 有一個(gè)與杠桿夾角為 符合右手規(guī)則 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 1 定義 定義 向量 方向 叉積 記作 且符合右手規(guī)則 模 向量積 引例中的力矩 思考 右圖三角形面積 S 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 性質(zhì) 為非零向量 則 3 運(yùn)算律 2 分配律 3 結(jié)合律 證明略 證明 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 4 向量積的坐標(biāo)表示式 設(shè) 則 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 向量積的行列式計(jì)算法 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例3 已知三點(diǎn) 角形ABC的面積 解 如圖所示 求三 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 設(shè) 1 向量運(yùn)算 加減 數(shù)乘 點(diǎn)積 叉積 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 向量的混合積 1 定義 已知三向量 稱數(shù)量 混合積 幾何意義 為棱作平行六面體 底面積 高 故平行六面體體積為 則其 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 混合積的坐標(biāo)表示 設(shè) 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 性質(zhì) 1 三個(gè)非零向量 共面的充要條件是 2 輪換對稱性 可用三階行列式推出 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 已知一四面體的頂點(diǎn) 4 求該四面體體積 解 已知四面體的體積等于以向量 為棱的平行六面體體積的 故 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 例7 證明四點(diǎn) 共面 解 因 故A B C D四點(diǎn)共面 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 混合積 2 向量關(guān)系 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 設(shè) 計(jì)算 并求 夾角 的正弦與余弦 答案 2 用向量方法證明正弦定理 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 證 由三角形面積公式 所以 因 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 作業(yè)P28816 1 2 3 18 19 第三節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束 備用題 1 已知向量 的夾角 且 解 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 在頂點(diǎn)為 三角形中 求AC邊上的高BD 解 三角形ABC的面積為 2 而 故有 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 為 求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P 流體密度 例3 設(shè)均勻流速為 的流體流過一個(gè)面積為A的平 面域 與該平面域的單位垂直向量 解 單位時(shí)間內(nèi)流過的體積 的夾角為 且 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束 一點(diǎn)M的線速度 例5 設(shè)剛體以等角速度 繞l軸旋轉(zhuǎn) 導(dǎo)出剛體上 的表示式 解 在軸l上引進(jìn)一個(gè)角速度向量 使 其 在l上任取一點(diǎn)O 作 它與 則 點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離 且 符合右手法則 的夾角為 方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則 向徑 機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束