2014屆高考數(shù)學一輪檢測“考黃金”精講精析(人教版)：第5講函數(shù)與方程函數(shù)模型及其應用

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考點 5 函數(shù)與方程 函數(shù)模型及其應用 2013 年考題 1 2013 福建高考 函數(shù) 的圖象關于直線 對稱 據(jù)此 2 0 fxabc 2bxa 可推測 對任意的非零實數(shù) a b c m n p 關于 x 0 的方程 的解集不可能是 2 0mfxnf A B C D 1 1 4 1 234 1 46 解析 選 D 本題用特例法解決簡潔快速 對方程 中 分 2 0fxnfP mnp 別賦值求出 檢驗即得 fx 2 2013 福建高考 若函數(shù) 的零點與 的零點之差的絕對值不超 fx 42 xg 過 0 25 則 可以是 fx A B C D 41f 2 1 fx 1xfe 12fInx 解析 選 A 的零點為 x 的零點為 x 1 fx4 2 f 的零點為 x 0 的零點為 x 現(xiàn)在我們來估算 1 xfe 1fxIn 3 的零點 因為 g 0 1 g 1 所以 g x 的零點 x 0 又函數(shù)42 xg 221 的零點與 的零點之差的絕對值不超過 0 25 只有 f 42 xg 的零點適合 41x 3 2013 海南寧夏高考 用 min a b c 表示 a b c 三個數(shù)中的最小值 設 f x min x 2 10 x x 0 則 f x 的最大值為 2x A 4 B 5 C 6 D 7 解析 選 C 畫出 y 2x y x 2 y 10 x 的圖象 如右圖 觀察圖象 可知 當 0 x 2 時 f x 2x 當 2 x 3 時 f x x 2 當 x 4 時 f x 10 x f x 的最大值在 x 4 時取得為 6 故選 C 4 2013 湖南高考 設函數(shù) yf 在 內(nèi)有定義 對于給定的 正數(shù) K 定義函數(shù) KfxKf 取函數(shù) 2 xf 當 1 時 函數(shù) Kfx的單 調(diào)遞增區(qū)間為 A 0 B 0 C 1 D 解析 選 C 函數(shù) 12xxf 作圖易知 2 fxK 1 x 故在 1 上是單調(diào)遞增的 5 2013 江西高考 設函數(shù) 的定義域為 若所有點 2 0 fxabxc 構成一個正方形區(qū)域 則的值為 sftD A B C D 不能確定 2 4 8 解析 選 B 設 為 和軸的交點 則在 D 內(nèi)由題意得 12 x f 12max xf 24bacb a 4 6 2013 重慶高考 已知以 為周期的函數(shù) 其中4T 21 1 3xfx 若方程 恰有 5 個實數(shù)解 則的取值范圍為 0m 3 fx A B C D 158 1 7 48 34 7 3 解析 選 B 因為當 時 將函數(shù)化為方程 實質上為一個半 x 21 0 yxm 橢圓 其圖像如圖所示 同時在坐標系中作出當 得圖像 再根據(jù)周期性作出函數(shù) 3 其它部分的圖像 由圖易知直線 與第二個橢圓3 xy 相交 而與第三個半橢圓 2 4 1 0 yxm 無公共點時 方程恰有 5 個實數(shù)解 將 2 8 代入 得3 xy 2 4 1 0 ym 令 222 91735 x229 0 1850tmttxt 則 由 2 28 4 1 0 5 3ttt m 得 由 且 得 同樣因為 與第三個橢圓 無公共點 由 可計算得3 xy2 8 1 0 yxm 0 7m 綜上知 15 3 7 2013 山東高考 若函數(shù) f x a x a a 0 且 a1 有兩個零點 則實數(shù) a 的取值范圍是 x 解析 設函數(shù) 且 和函數(shù) 則函數(shù) f x a 1 0 xya 1 2yxa 01 且x x a a 0 且 a1 有兩個零點 就是函數(shù) 且 與函數(shù) 有兩個交點 x 2yx 由圖象可知當 時兩函數(shù)只有一個交點 不符合 當 時 因為函數(shù)0 的圖象過點 0 1 而直線 所過的點一定在點 0 1 的上方 所以一定有 1 xya yxa 兩個交點 所以實數(shù) a 的取值范圍是 1 答案 8 2013 山東高考 已知定義在 R 上的奇函數(shù) 滿足 且在區(qū)間 xf 4 fxfx 0 2 上是增函數(shù) 若方程 f x m m 0 在區(qū)間 上有四個不同的根 則 8 1234 1234 xx 解析 因為 是定義在 R 上的奇函數(shù) 且滿足 所以 f 4 fxfx 所以函數(shù)圖象關于直線 對稱且 由 知 fxx 2 04 fx 所以函數(shù)是以 8 為周期的周期函數(shù) 又因為 在區(qū)間 0 2 上是增函數(shù) 8 f xf 所以 在區(qū)間 2 0 上也是增函數(shù) 如圖所示 x 那么方程 f x m m 0 在區(qū)間 上有四個不同的根 不妨設 8 1234 x 由對稱性知 所以1234xx 12x 34 答案 8 9 2013 上海高考 已知對于任意實數(shù) 函數(shù) 滿足 若方程 xf xff 有 2013 個實數(shù)解 則這 2013 個實數(shù)解之和為 0 xf 解析 由奇函數(shù)的性質得 f 0 0 其余 2012 個實數(shù)解互為相反數(shù) 則這 2013 個實數(shù)解之 和為 0 答案 0 10 2013 山東高考 兩縣城 A 和 B 相距 20km 現(xiàn)計劃在兩縣城外以 AB 為直徑的半圓弧 上選擇一點 C 建造垃圾處理廠 其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關 對 城 A 和城 B 的總影響度為城 A 與城 B 的影響度之和 記 C 點到城 A 的距離為 x km 建在 C 處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度為 y 統(tǒng)計調(diào)查表明 垃圾處理廠對城 A 的影響 度與所選地點到城 A 的距離的平方成反比 比例系數(shù)為 4 對城 B 的影響度與所選地點到 城 B 的距離的平方成反比 比例系數(shù)為 k 當垃圾處理廠建在 的中點時 對城 A 和城 B 的總影響度為 0 065 1 將 y 表示成 x 的函數(shù) 11 討論 1 中函數(shù)的單調(diào)性 并判斷弧 上是否存在一點 使建在此處的垃圾處理 廠對城 A 和城 B 的總影響度最小 若存在 求出該點到城 A 的距離 若不存在 說明理由 解析 方法一 1 如圖 由題意知 AC BC 2240BCx 2 4 0 kyx 其中當 時 y 0 065 所以 k 902x 所以 y 表示成 x 的函數(shù)為 22 9 0 4yxx A B C x 2 令 得22 490yx 4232389 18 0 40 xxyx 0y 所以 即 當 時 即 418 16 4218 x 所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù) 當 時 即 所以函數(shù) y 2x 4218 0 xx y 為單調(diào)增函數(shù) 所以當 時 即當 C 點到城 A 的距離為 時 函數(shù)40 x 4 有最小值 22 49 0yx 方法二 1 同上 2 設 則 所以 22 4mxnx 40mn 9yn 當且僅當 49111 3 32 0406y n 即 時取 24160m 下面證明函數(shù) 在 0 160 上為減函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 940ym 設 0 m1 m2 160 則 12112249 0m 1212 49 04mm 1212 4 0 1212 0 12122 9 4 mm 因為 0 m1 m24 240 240 9 m1m2 9 160 160 所以 12122 9004m 所以 即 所以函數(shù) 1122124 0 m 12y 在 0 160 上為減函數(shù) 490ym 同理 證明函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 設 160 m1 m2 400 則 490ym121122 4y 1212124 0 9 40mm 因為 1600 m1 m2 400 所以 4 9 160 160120 所以 所以 即 12224 0 9mm 1212124 0 0 4 m 所以函數(shù) 在 160 400 上為增函數(shù) 12y 40y 所以當 m 160 即 時取 函數(shù) y 有最小值 所以弧 上存在一點 當1x 時使建在此處的垃圾處理廠對城 A 和城 B 的總影響度最小 40 x 11 2013 上海高考 有時可用函數(shù) 15ln 6 4 axfx 描述學習某學科知識的掌握程度 其中 x 表示某學科知識的學習次數(shù) xN 表示對該學科知識的掌握程度 正實數(shù) a 與學科知識有關 fx 證明 當 時 掌握程度的增加量 總是下降 7 1 fxf 根據(jù)經(jīng)驗 學科甲 乙 丙對應的 a 的取值區(qū)間分別為 512 7 123 當學習某學科知識 6 次時 掌握程度是 85 請確定相應的學科 解析 1 當 0 47 1 3 xfxfx 時 而當 函數(shù) 單調(diào)遞增 且 0 3 分x時 34y x 故 單調(diào)遞減 ff 當 掌握程度的增長量 總是下降 6 分7x 時 1 fxf B CD A O P 2 由題意可知 0 1 15ln 0 85 9 分 整理得6 a 0 56ae 解得 13 分 0 52 013 20 1 7 1ea 由此可知 該學科是乙學科 14 分 w w w 2012 年考題 1 2012 廣東高考 某單位用 2160 萬元購得一塊空地 計劃在該地塊上建造一棟至少 10 層 每層 2000 平方米的樓房 經(jīng)測算 如果將樓房建為 x x 10 層 則每平方米的平均建筑 費用為 560 48x 單位 元 為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少 該樓房應建為多 少層 注 平均綜合費用 平均建筑費用 平均購地費用 平均購地費用 購 地 總 費 用建 筑 總 面 積 解析 設樓房每平方米的平均綜合費為 f x 元 則 216010856048564fxx xZ 令 得 2 f fx 5 當 時 當 時 15x 0fx 1 0fx 因此 當 時 f x 取最小值 2f 答 為了樓房每平方米的平均綜合費最少 該樓房應建為 15 層 2 2012 江蘇高考 如圖 某地有三家工廠 分別位于矩形 ABCD 的兩個頂點 A B 及 CD 的中點 P 處 AB 20km BC 10km 為了處理這三家工廠的污水 現(xiàn)要在該矩形區(qū) 域上 含邊界 且與 A B 等距的一點 O 處 建造一個污水處理廠 并鋪設三條排污管道 AO BO PO 記鋪設管道的總長度為 ykm 1 按下列要求建立函數(shù)關系式 i 設 rad 將表示成 的函數(shù) O ii 設 km 將表示成的函數(shù) Px 2 請你選用 1 中的一個函數(shù)關系確定污水處理廠的位置 使鋪設的污水管道的總長度最短 解析 1 i 由條件知做 PQ 垂直平分 AB 交 AB 于點 Q 若 BAO rad 則 故 10cosAQO 又 OP Btan 所以 1010tancosyOABP 所求函數(shù)關系式為 2iny 4 ii 若 OP km 則 OQ 10 所以 OA OB 22100 xx 所求函數(shù)關系式為 20yxx 2 選擇函數(shù)模型 i 2 210cos1sin10sincscoiy A 令 0 得 sin 因為 所以 04 6 當 時 是 的減函數(shù) 當 時 是 的增函數(shù) 6 y 4 0y 所以當 時 這時點 P 位于線段 AB 的中垂線上 在矩形區(qū)域內(nèi)min103 且距離 AB 邊 km 處 3 2011 年考題 1 2011 湖南高考 函數(shù) 的圖象和函數(shù) 的圖象 241 3xf 2 logx 的交點個數(shù)是 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 選 B 由圖像易知交點共有 3 個 2 2011 安徽高考 定義在 R 上的函數(shù) f x 既是奇函數(shù) 又是周期函數(shù) T 是它的一個正周期 若 將方程 f x 0 在閉區(qū) 間 T T 上的根的個數(shù)記為 n 則 n 可能為 A 0 B 1 C 3 D 5 解析 選 D 定義在 R 上的函數(shù) 是奇函數(shù) 又是周期函數(shù) 是它的一個 xf 0 f 正周期 0fTf 22TTffff 02Tff 則可能為 5 O0 11 毫克 y 小時 t 3 2011 湖北高考 為了預防流感 某學校對教室用藥熏消毒法進行消 毒 已知藥物釋放過程中 室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 毫克 與時間 小 時 成正比 藥物釋放完畢后 與的函數(shù)關系式為 為常數(shù) 16tay 如圖所示 據(jù)圖中提供的信息 回答下列問題 I 從藥物釋放開始 每立方米空氣中的含藥量 毫克 與時間 小時 之間的函數(shù)關系式為 II 據(jù)測定 當空氣中每立方米的含藥量降低到 毫克以下時 0 25 學生方 可進教室 那么 藥物釋放開始 至少需要經(jīng)過 小時 后 學生才 能回到教室 解析 I 由題意和圖示可知 當 時 可設 為待定系數(shù) 由于0 1t ykt 點 在直線上 01 同理 當 時 可得k 0 1t 0 1 1 06aa II 由題意可得 即得 或 或 254y 40 1t 104 tt 10t 由題意知至少需要經(jīng)過 小時后 學生才能回到教室 0 6t 6 答案 I II 10 6ty 0 4 2011 上海高考 某工程由 四道工序組成 完成它們需用時間依次為ABCD 天 四道工序的先后順序及相互關系是 可以同時開工 完成后 可以開254x AB C 工 完成后 可以開工 若該工程總時數(shù)為 9 天 則完成工序 需要的天數(shù)最大是 BC 解析 因為完成后 才可以開工 C 完成后 才可以開工 完成 A C D 需用時間 依次為 天 且 可以同時開工 該工程總時數(shù)為 9 天 24x AB mamax93 答案 3 5 2011 上海高考 方程 的解是670 x 解析 舍去 2 331xx x 或 3log7x 答案 3log7x 6 2011 上海高考 方程 的解是 9 1 x 解析 1239x x 答案 7 2011 廣東高考 已知 a 是實數(shù) 函數(shù) 如果函數(shù) axaxf 32 在區(qū)間 上有零點 求 a 的取值范圍 xfy 1 解析 1 若 顯然在 上沒有零點 所以 0a 23fx 1 0 2 若 令 解得 248340aa 372a 當 時 恰有一個零點在 上 7 yfx 1 當 即 時 在 上也恰 0511 af 5a yfx 1 有一個零點 當 在 上有兩個零點時 則yfx 或 208410af 208410af 解得 或5a 352 綜上所求實數(shù)的取值范圍是 35 12a 或 8 2011 北京高考 如圖 有一塊半橢圓形鋼板 其半軸長為 短半軸長為 計2r 劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀 下底 是半橢圓的短軸 上底 的端點在橢ABCD 4r CAB2 圓上 記 梯形面積為 2CDx S I 求面積 以為自變量的函數(shù)式 并寫出其定義域 S II 求面積 的最大值 解析 I 依題意 以 的中點 為原點建立直角坐標系 如圖 ABOOxy 則點 的橫坐標為 點 的縱坐標滿足方程 CC 21 0 4xyr 解得 2 0 yrxr 其定義域為 21 S A2 xrx A 0 xr II 記 則 4 0fxr 2 8 f 令 得 0f 12 因為當 時 當 時 所以 是 的最 rx 0fx 2rx 0fx 12fr fx 大值 因此 當 時 也取得最大值 最大值為 12xr S 213fr 即梯形面積 的最大值為 23r CDABOxy