《高等代數(shù)與解析幾何》考試大綱.

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1、 《高等代數(shù)與解析幾何》考試大綱 學(xué)時(shí)數(shù)： 192 學(xué)分?jǐn)?shù)： 6+6=12 適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué) 一、課程說明 高等代數(shù)與解析幾何是高校數(shù)學(xué)系課程中聯(lián)系十分密切的兩門的基礎(chǔ)課．作為高等代數(shù)的主要內(nèi) 容，線性代數(shù)是由二維、 三維幾何空間中的向量代數(shù)進(jìn)一步抽象推廣得來的， 高等代數(shù)的多數(shù)概念和方 法都有著很強(qiáng)的幾何背景． 而解析幾何的研究對(duì)象則是用代數(shù)的方法研究空間的幾何問題． 因此，高等 代數(shù)與解析幾何有著緊密的聯(lián)系， 它們的關(guān)系可歸納為 “代數(shù)為幾何提供研究方法， 幾何為代數(shù)提供直

2、 觀背景．”本課程的主要任務(wù)是使學(xué)生獲得代數(shù)的基本思想方法和行列式、矩陣、向量代數(shù)、線性方程 組、多項(xiàng)式理論、二次型、向量空間、線性變換、歐氏空間、二次型、常見曲面等方面的系統(tǒng)知識(shí)．它 一方面為后繼課程（如近世代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基礎(chǔ)理 論和知識(shí)；另一方面還對(duì)提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基” （基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、 基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力等重要作用． 二、與其它課程的關(guān)系 本課程作為一門基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)近世代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、微分方程、泛涵分析等課程的 基礎(chǔ)

3、． 三、考核內(nèi)容及要求 第一章 預(yù)備知識(shí) （一）本章考核內(nèi)容 1、數(shù)環(huán)和數(shù)域 2、整數(shù)和整除性 3、數(shù)學(xué)歸納法 4、映射 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：數(shù)環(huán)和數(shù)域、數(shù)學(xué)歸納法、映射． 1 2 、理解：理解數(shù)環(huán)與數(shù)域的定義；突出三個(gè)常用的數(shù)域，即有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域，理解整數(shù)的整除性；理解第二歸納法原理；理解映射的定義、滿射、單射和雙射． 第二章 行列式 （一）本章考核內(nèi)容 1、二階與三階行列式 2、排列

4、 3、 n 階行列式的定義 4、行列式的性質(zhì) 5、行列式依行依列展開 6、克萊姆法則 7、拉普拉斯定理 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：排列、逆序、逆序數(shù)奇偶排列的定義， n 階行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣 的初等變換等概念，元素的余子式、代數(shù)余子式等概念． 2、理解：排列的奇偶性與對(duì)換的關(guān)系， n 階行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變 換等概念， 元素的余子式、代數(shù)余子式等概念，行列式的一個(gè) k 級(jí)子式的余子式等概念，行列式的乘法規(guī)則． 3 、簡單應(yīng)用：用定義計(jì)算一些特殊行列式，利用行列式性質(zhì)計(jì)算一

5、些簡單行列式，行列式按一行（列）展開的公式．掌握“化三角形法” 、“遞推降階法” 、“數(shù)學(xué)歸納法”等計(jì)算行列式的技巧． 4、綜合應(yīng)用：克萊姆 (Cramer) 法則． 第三章 向量代數(shù) （一）本章考核內(nèi)容 1、向量及線性運(yùn)算 2、仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系 3、向量的數(shù)量積 4、向量的向量積 5、混合積與復(fù)合積 6、平面的方程 7、直線的方程 2 8、點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系 9、平面束 （二）本章考核要求 1 、識(shí)記：向量的概念

6、，向量的線性運(yùn)算，向量的數(shù)量積和向量積，向量的混合積，向量垂直、共線、共面，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達(dá)式及其運(yùn)算，方向數(shù)與方向余弦，平面方程、直線方程，點(diǎn)、平面、直線間的距離等概念． 2 、理解：向量及線性運(yùn)算，仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積，向量的向量積，混合積與復(fù)合積，平面的方程，直線的方程，點(diǎn)、平面、直線的關(guān)系，平面束． 3、簡單應(yīng)用：向量運(yùn)算規(guī)律的應(yīng)用，幾何度量，平面、直線方程，及點(diǎn)、直線、平面的關(guān)系． 4、綜合應(yīng)用：用向量解決中學(xué)幾何、三角問題，平面、直線的綜合問題． 第四章 矩陣 （一）本章考核內(nèi)容 1、矩陣的運(yùn)算

7、 2、可逆矩陣矩陣的秩 3、初等矩陣 4、矩陣的分塊 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算及其計(jì)算規(guī)律，可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、 矩陣的秩等概念． 2 、理解：矩陣乘積的行列式定理，矩陣的秩，分塊矩陣的意義，分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系． 3、簡單應(yīng)用：矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系， 階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個(gè) 矩陣的逆矩陣，分塊矩陣的加法、乘法的運(yùn)算及性質(zhì)， 4 、綜合應(yīng)用：一個(gè)矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件，會(huì)用初等變換的方法求一個(gè)方陣的逆矩陣，求分塊矩陣的

8、逆． 第五章 線性方程組 （一）本章考核內(nèi)容 1、消元法 3 2、矩陣的初等變換 3、線性方程組有解的判別方法 4、齊次線性方程組 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：方程組的解 ,系數(shù)矩陣、增廣矩陣． 2、理解：一般線性方程組 ,方程組的解 ,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)，階梯形 方程組的特征及作用，線性方程組有無解的判定． 3、簡單應(yīng)用：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系． 4、綜合應(yīng)用：求一般線性方程組有解的全部解． 第六章 多項(xiàng)式

9、 （一）本章考核內(nèi)容 1、一元多項(xiàng)式的定義和運(yùn)算 2、多項(xiàng)式的整除性 3、多項(xiàng)式的最大公因式 4、多項(xiàng)式的因式分解 5、多項(xiàng)式的重因式 6、多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根 7、復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域的上的多項(xiàng)式 8、有理數(shù)域上的多項(xiàng)式 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：一元多項(xiàng)式定義，整除定義，最大公因式定義，互素定義，不可約多項(xiàng)式定義， k 重因 式定義，本原多項(xiàng)式定義． 2、理解：數(shù)域 P 上一元多項(xiàng)式的定義、多項(xiàng)式相乘、次數(shù)、一元多項(xiàng)式環(huán)等概念，整除的定義， 兩個(gè) (或若干個(gè) )多項(xiàng)式的最大公因式 ,互

10、素等概念及性質(zhì)， 不可約多項(xiàng)式的定義及性質(zhì)， k 重因式的定義， 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式函數(shù)的關(guān)系， 代數(shù)基本定理， 有理系數(shù)多項(xiàng)式的分解與整系數(shù)多項(xiàng)式分解的關(guān)系， 多元 多項(xiàng)式、對(duì)稱多項(xiàng)式的定義． 3 、簡單應(yīng)用：多項(xiàng)式的運(yùn)算及運(yùn)算律，用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式，不可約多項(xiàng) 式的定義及性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)分解式， k 重因式，多項(xiàng)式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、多項(xiàng)式的根及性質(zhì)，對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理． 4 、綜合應(yīng)用：帶余除法及整除的性質(zhì)，因式分解及唯一性定理，復(fù)（實(shí)）系數(shù)多項(xiàng)式分解定理 及標(biāo)準(zhǔn)分解式，本原多項(xiàng)式的定義、高斯引理、整系數(shù)多項(xiàng)式的有理根的性質(zhì)、 Eisenst

11、ein 判別法． 4 第七章 向量空間 （一）本章考核內(nèi)容 1、向量空間的定義 2、向量的線性相關(guān)性 3、基 維數(shù) 坐標(biāo) 4、子空間 5、子空間的直和 6、線性空間的同構(gòu) 7、齊次線性方程組的解空間 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：向量空間的定義，子空間的定義， 2 、理解：向量空間的定義及性質(zhì)，線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，子空間的交與和的定義及性質(zhì)，子空間的直和的概念，向量空間同構(gòu)的定義． 3 、簡單應(yīng)用：

12、判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，向量組生成子空間的定義及等價(jià)條件，維數(shù)公式． 4、綜合應(yīng)用：子空間為直和的充要條件，兩個(gè)有限維空間同構(gòu)的充要條件． 第八章 線性變換 （一）本章考核內(nèi)容： 1、定義和性質(zhì) 2、線性變換的運(yùn)算 3、線性變換和矩陣 4、不變子空間 5、特征值和特征向量 6、可以對(duì)角化矩陣 7、最小多項(xiàng)式 （二）本章考核要求 1 、識(shí)記：線性變換的定義及性質(zhì)，矩陣的特征值、特征向量、特征多項(xiàng)式的概念，線性變換的值域、核、秩、零度等概念，不變子

13、空間的定義，最小多項(xiàng)式的概念． 5 2 、理解：線性變換與矩陣的聯(lián)系，矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)， 矩陣的特征值、 特征向量、特征多項(xiàng)式的概念和性質(zhì)，不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系， 掌 握標(biāo)準(zhǔn)型的定義，最小多項(xiàng)式的概念． 3 、簡單應(yīng)用：求一個(gè)矩陣的特征值和特征向量，相似矩陣與它們的特征多項(xiàng)式的關(guān)系及哈密爾 頓 -凱萊定理， 維線性空間中一個(gè)線性變換在某一組基下的矩陣為對(duì)角型的充要條件， 線性變換的值域 與它對(duì)應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系，判定一個(gè)子空間是否是 A- 子空間

14、． 4 、綜合應(yīng)用：不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系，一個(gè)矩陣相似于一個(gè)對(duì)角陣與它的最小多項(xiàng)式的關(guān)系． 第九章 若當(dāng)（ Jordan ）標(biāo)準(zhǔn)形 （一）本章考核內(nèi)容 1、λ -矩陣的概念 2、標(biāo)準(zhǔn)形 3、不變因子 4、矩陣相似的判定 5.初等因子 6.矩陣的 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 （二）本章考核要求 1、識(shí)記： 矩陣，行列式因子、不變因子、初等因子． 2、理解： 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關(guān)系． 第十章 歐氏空間 （一）

15、本章考核內(nèi)容 1、歐氏空間的定義 2、標(biāo)準(zhǔn)正交基 3、正交變換與正交矩陣 4、對(duì)稱變換與對(duì)稱矩陣 （二）本章考核要求 1 、識(shí)記：歐氏空間的定義，兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的定義，向量的長度，兩個(gè)向量的夾角、正交及度量矩陣等概念，正交變換的概念． 6 2 、理解：歐氏空間的性質(zhì)，向量的長度，兩個(gè)向量的夾角、正交及度量矩陣的基本性質(zhì)，正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，正交變換的概念及幾個(gè)等價(jià)關(guān)系，正交與直和的關(guān)系． 3 、簡單應(yīng)用：施密特正交化過程，把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量，兩個(gè)歐氏空間同構(gòu)的意義及同構(gòu)

16、與空間維數(shù)之間的關(guān)系，正交變換與向量的長度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系，歐氏空間中的每一個(gè)子空間都有唯一的正交補(bǔ)的性質(zhì)． 4 、綜合應(yīng)用：任一個(gè)對(duì)稱矩陣均可正交相似于一個(gè)對(duì)角陣，求正交陣的方法，用正交變換化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型． 第十一章 二次型 （一）本章考核內(nèi)容 1、二次型的定義及其矩陣表示 2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 3、復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上的二次型 4、正定二次型 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：二次型的矩陣表示 ,正定、半正定、負(fù)定二次型及正定矩陣等概念． 2、理解：二次形和非退化線性替換的概念 , 二次

17、型與對(duì)稱矩陣的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,合同概念及性質(zhì) , 復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性． 3、簡單應(yīng)用：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法（配方法、初等變換法） ． 4、綜合應(yīng)用：正定二次型及半正定二次型的等價(jià)條件． 第十二章 常見曲面 （一）本章考核內(nèi)容 1、曲面、曲線方程 2、柱面 3、錐面 4、旋轉(zhuǎn)曲面 5、橢球面 6、雙曲面 7、拋物面（包括正交變換在二次曲面方程化簡中的應(yīng)用） 8、二次曲面的直紋性 7 （二）本章考核要求 1、識(shí)記：柱面

18、、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的概念， 橢球面、雙曲面、拋物面、直紋面、直母線的概念． 2 、理解：曲面、曲線方程，柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的形成，利用平行截線法來研究橢球面、雙曲面、拋物面的形狀與性質(zhì)，直母線的性質(zhì)，正交變換化簡二次曲面方程． 3 、簡單應(yīng)用：導(dǎo)出柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程，根據(jù)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它們的性質(zhì)、形狀、直紋性，最后給出利用正交變換給出化簡一般二次面面的方法． 4、綜合應(yīng)用：應(yīng)用直母線的性質(zhì)計(jì)算證明直母線的有關(guān)問題． 四、命題結(jié)構(gòu)和要求 1、嚴(yán)格按照 教學(xué)大綱出題，不出超綱題、偏題、怪題； 2 、試題以考查數(shù)學(xué)的基本概念

19、、基本方法和基本原理為主，在此基礎(chǔ)上，加強(qiáng)對(duì)考生的運(yùn)算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力、空間想象能力、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力、創(chuàng)造能力的考查； 3、力求試卷難度控制在 0.5～ 0.55 之間，并確保試題具有較高的區(qū)分度，能將優(yōu)秀的學(xué)生區(qū)分出 來．具體說，試題的平均分控制在 70～ 80 分之間，區(qū)分度在 0.3 以上； 4、題量和試卷分量適當(dāng)． 各卷試題量控制在 20 題 (填空題 5 道，選擇題 5 道，計(jì)算證明題 10 道)， 試題份量以較優(yōu)秀水平的考生能在規(guī)定的時(shí)間里從容地完成試題作答為宜； 5、主客觀性試題在試卷中的占分比例保

20、持 7 : 3. 主觀性試題包括計(jì)算題、證明題、綜合題和應(yīng)用 題．客觀性試題包括填空題和選擇題； 6 、充分發(fā)揮各種題型功能．填空題主要用于考查三基以及數(shù)學(xué)重要性質(zhì)，一般不出省去解答過 程的大計(jì)算題， 以中等難度的試題為主． 選擇題主要考查考生對(duì)數(shù)學(xué)概念、 數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解并能進(jìn)行簡 單推理、判定和比較，一般不出成純粹的計(jì)算題， 以中等難度的試題為主． 綜合題和應(yīng)用題主要考查學(xué)生的邏輯思維和綜合運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力； 7 、試題有一定的內(nèi)容覆蓋面，但不追求面面俱到，以確保內(nèi)容效度．由于考試內(nèi)容廣泛，而考試時(shí)間有限，題量有限，一般要求保證重點(diǎn)章節(jié)被考查即可． 五、相關(guān)說明 針對(duì)本課程的特點(diǎn)，期末閉卷考核考核成績占 70%，平時(shí)作業(yè)成績占 15%，副卷成績占 15%． 8