《高等代數(shù)與解析幾何》考試大綱.

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1、 《高等代數(shù)與解析幾何》考試大綱 學(xué)時數(shù)： 192 學(xué)分?jǐn)?shù)： 6+6=12 適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué) 一、課程說明 高等代數(shù)與解析幾何是高校數(shù)學(xué)系課程中聯(lián)系十分密切的兩門的基礎(chǔ)課．作為高等代數(shù)的主要內(nèi) 容，線性代數(shù)是由二維、 三維幾何空間中的向量代數(shù)進一步抽象推廣得來的， 高等代數(shù)的多數(shù)概念和方 法都有著很強的幾何背景． 而解析幾何的研究對象則是用代數(shù)的方法研究空間的幾何問題． 因此，高等 代數(shù)與解析幾何有著緊密的聯(lián)系， 它們的關(guān)系可歸納為 “代數(shù)為幾何提供研究方法， 幾何為代數(shù)提供直

2、 觀背景．”本課程的主要任務(wù)是使學(xué)生獲得代數(shù)的基本思想方法和行列式、矩陣、向量代數(shù)、線性方程 組、多項式理論、二次型、向量空間、線性變換、歐氏空間、二次型、常見曲面等方面的系統(tǒng)知識．它 一方面為后繼課程（如近世代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、計算方法、微分方程、泛涵分析）提供一些所需的基礎(chǔ)理 論和知識；另一方面還對提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強“三基” （基礎(chǔ)知識、基本理論、 基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力等重要作用． 二、與其它課程的關(guān)系 本課程作為一門基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)近世代數(shù)、離散數(shù)學(xué)、計算方法、微分方程、泛涵分析等課程的 基礎(chǔ)

3、． 三、考核內(nèi)容及要求 第一章 預(yù)備知識 （一）本章考核內(nèi)容 1、數(shù)環(huán)和數(shù)域 2、整數(shù)和整除性 3、數(shù)學(xué)歸納法 4、映射 （二）本章考核要求 1、識記：數(shù)環(huán)和數(shù)域、數(shù)學(xué)歸納法、映射． 1 2 、理解：理解數(shù)環(huán)與數(shù)域的定義；突出三個常用的數(shù)域，即有理數(shù)域、實數(shù)域和復(fù)數(shù)域，理解整數(shù)的整除性；理解第二歸納法原理；理解映射的定義、滿射、單射和雙射． 第二章 行列式 （一）本章考核內(nèi)容 1、二階與三階行列式 2、排列

4、 3、 n 階行列式的定義 4、行列式的性質(zhì) 5、行列式依行依列展開 6、克萊姆法則 7、拉普拉斯定理 （二）本章考核要求 1、識記：排列、逆序、逆序數(shù)奇偶排列的定義， n 階行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣 的初等變換等概念，元素的余子式、代數(shù)余子式等概念． 2、理解：排列的奇偶性與對換的關(guān)系， n 階行列式的定義，矩陣、矩陣的行列式、矩陣的初等變 換等概念， 元素的余子式、代數(shù)余子式等概念，行列式的一個 k 級子式的余子式等概念，行列式的乘法規(guī)則． 3 、簡單應(yīng)用：用定義計算一些特殊行列式，利用行列式性質(zhì)計算一

5、些簡單行列式，行列式按一行（列）展開的公式．掌握“化三角形法” 、“遞推降階法” 、“數(shù)學(xué)歸納法”等計算行列式的技巧． 4、綜合應(yīng)用：克萊姆 (Cramer) 法則． 第三章 向量代數(shù) （一）本章考核內(nèi)容 1、向量及線性運算 2、仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系 3、向量的數(shù)量積 4、向量的向量積 5、混合積與復(fù)合積 6、平面的方程 7、直線的方程 2 8、點、平面、直線的關(guān)系 9、平面束 （二）本章考核要求 1 、識記：向量的概念

6、，向量的線性運算，向量的數(shù)量積和向量積，向量的混合積，向量垂直、共線、共面，兩向量的夾角，向量的坐標(biāo)表達式及其運算，方向數(shù)與方向余弦，平面方程、直線方程，點、平面、直線間的距離等概念． 2 、理解：向量及線性運算，仿射坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系，向量的數(shù)量積，向量的向量積，混合積與復(fù)合積，平面的方程，直線的方程，點、平面、直線的關(guān)系，平面束． 3、簡單應(yīng)用：向量運算規(guī)律的應(yīng)用，幾何度量，平面、直線方程，及點、直線、平面的關(guān)系． 4、綜合應(yīng)用：用向量解決中學(xué)幾何、三角問題，平面、直線的綜合問題． 第四章 矩陣 （一）本章考核內(nèi)容 1、矩陣的運算

7、 2、可逆矩陣矩陣的秩 3、初等矩陣 4、矩陣的分塊 （二）本章考核要求 1、識記：矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運算及其計算規(guī)律，可逆矩陣、逆矩陣、伴隨矩陣、 矩陣的秩等概念． 2 、理解：矩陣乘積的行列式定理，矩陣的秩，分塊矩陣的意義，分塊乘法的初等變換和廣義初等矩陣的關(guān)系． 3、簡單應(yīng)用：矩陣乘積的秩與它的因子的秩的關(guān)系， 階方陣可逆的充要條件和用公式法求一個 矩陣的逆矩陣，分塊矩陣的加法、乘法的運算及性質(zhì)， 4 、綜合應(yīng)用：一個矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形和矩陣可逆的充要條件，會用初等變換的方法求一個方陣的逆矩陣，求分塊矩陣的

8、逆． 第五章 線性方程組 （一）本章考核內(nèi)容 1、消元法 3 2、矩陣的初等變換 3、線性方程組有解的判別方法 4、齊次線性方程組 （二）本章考核要求 1、識記：方程組的解 ,系數(shù)矩陣、增廣矩陣． 2、理解：一般線性方程組 ,方程組的解 ,增廣矩陣，線性方程組的初等變換等概念及性質(zhì)，階梯形 方程組的特征及作用，線性方程組有無解的判定． 3、簡單應(yīng)用：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系． 4、綜合應(yīng)用：求一般線性方程組有解的全部解． 第六章 多項式

9、 （一）本章考核內(nèi)容 1、一元多項式的定義和運算 2、多項式的整除性 3、多項式的最大公因式 4、多項式的因式分解 5、多項式的重因式 6、多項式函數(shù)與多項式的根 7、復(fù)數(shù)域與實數(shù)域的上的多項式 8、有理數(shù)域上的多項式 （二）本章考核要求 1、識記：一元多項式定義，整除定義，最大公因式定義，互素定義，不可約多項式定義， k 重因 式定義，本原多項式定義． 2、理解：數(shù)域 P 上一元多項式的定義、多項式相乘、次數(shù)、一元多項式環(huán)等概念，整除的定義， 兩個 (或若干個 )多項式的最大公因式 ,互

10、素等概念及性質(zhì)， 不可約多項式的定義及性質(zhì)， k 重因式的定義， 多項式與多項式函數(shù)的關(guān)系， 代數(shù)基本定理， 有理系數(shù)多項式的分解與整系數(shù)多項式分解的關(guān)系， 多元 多項式、對稱多項式的定義． 3 、簡單應(yīng)用：多項式的運算及運算律，用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個多項式的最大公因式，不可約多項 式的定義及性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)分解式， k 重因式，多項式函數(shù)的概念、余數(shù)定理、多項式的根及性質(zhì)，對稱多項式基本定理． 4 、綜合應(yīng)用：帶余除法及整除的性質(zhì)，因式分解及唯一性定理，復(fù)（實）系數(shù)多項式分解定理 及標(biāo)準(zhǔn)分解式，本原多項式的定義、高斯引理、整系數(shù)多項式的有理根的性質(zhì)、 Eisenst

11、ein 判別法． 4 第七章 向量空間 （一）本章考核內(nèi)容 1、向量空間的定義 2、向量的線性相關(guān)性 3、基 維數(shù) 坐標(biāo) 4、子空間 5、子空間的直和 6、線性空間的同構(gòu) 7、齊次線性方程組的解空間 （二）本章考核要求 1、識記：向量空間的定義，子空間的定義， 2 、理解：向量空間的定義及性質(zhì)，線性組合、線性表示、線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，子空間的交與和的定義及性質(zhì)，子空間的直和的概念，向量空間同構(gòu)的定義． 3 、簡單應(yīng)用：

12、判斷一個代數(shù)系統(tǒng)是否是線性空間，基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系，向量組生成子空間的定義及等價條件，維數(shù)公式． 4、綜合應(yīng)用：子空間為直和的充要條件，兩個有限維空間同構(gòu)的充要條件． 第八章 線性變換 （一）本章考核內(nèi)容： 1、定義和性質(zhì) 2、線性變換的運算 3、線性變換和矩陣 4、不變子空間 5、特征值和特征向量 6、可以對角化矩陣 7、最小多項式 （二）本章考核要求 1 、識記：線性變換的定義及性質(zhì)，矩陣的特征值、特征向量、特征多項式的概念，線性變換的值域、核、秩、零度等概念，不變子

13、空間的定義，最小多項式的概念． 5 2 、理解：線性變換與矩陣的聯(lián)系，矩陣相似的概念和線性變換在不同基下的矩陣相似等性質(zhì)， 矩陣的特征值、 特征向量、特征多項式的概念和性質(zhì)，不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系， 掌 握標(biāo)準(zhǔn)型的定義，最小多項式的概念． 3 、簡單應(yīng)用：求一個矩陣的特征值和特征向量，相似矩陣與它們的特征多項式的關(guān)系及哈密爾 頓 -凱萊定理， 維線性空間中一個線性變換在某一組基下的矩陣為對角型的充要條件， 線性變換的值域 與它對應(yīng)的矩陣的秩的關(guān)系及線性變換的秩和零度間的關(guān)系，判定一個子空間是否是 A- 子空間

14、． 4 、綜合應(yīng)用：不變子空間與線性變換矩陣化簡之間的關(guān)系，一個矩陣相似于一個對角陣與它的最小多項式的關(guān)系． 第九章 若當(dāng)（ Jordan ）標(biāo)準(zhǔn)形 （一）本章考核內(nèi)容 1、λ -矩陣的概念 2、標(biāo)準(zhǔn)形 3、不變因子 4、矩陣相似的判定 5.初等因子 6.矩陣的 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形 （二）本章考核要求 1、識記： 矩陣，行列式因子、不變因子、初等因子． 2、理解： 矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、行列式因子、不變因子、初等因子及其之間關(guān)系． 第十章 歐氏空間 （一）

15、本章考核內(nèi)容 1、歐氏空間的定義 2、標(biāo)準(zhǔn)正交基 3、正交變換與正交矩陣 4、對稱變換與對稱矩陣 （二）本章考核要求 1 、識記：歐氏空間的定義，兩個歐氏空間同構(gòu)的定義，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣等概念，正交變換的概念． 6 2 、理解：歐氏空間的性質(zhì)，向量的長度，兩個向量的夾角、正交及度量矩陣的基本性質(zhì)，正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，正交變換的概念及幾個等價關(guān)系，正交與直和的關(guān)系． 3 、簡單應(yīng)用：施密特正交化過程，把一組線性無關(guān)的向量化為單位正交的向量，兩個歐氏空間同構(gòu)的意義及同構(gòu)

16、與空間維數(shù)之間的關(guān)系，正交變換與向量的長度，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交矩陣間的關(guān)系，歐氏空間中的每一個子空間都有唯一的正交補的性質(zhì)． 4 、綜合應(yīng)用：任一個對稱矩陣均可正交相似于一個對角陣，求正交陣的方法，用正交變換化實二次型為標(biāo)準(zhǔn)型． 第十一章 二次型 （一）本章考核內(nèi)容 1、二次型的定義及其矩陣表示 2、二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 3、復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上的二次型 4、正定二次型 （二）本章考核要求 1、識記：二次型的矩陣表示 ,正定、半正定、負(fù)定二次型及正定矩陣等概念． 2、理解：二次形和非退化線性替換的概念 , 二次

17、型與對稱矩陣的一一對應(yīng)關(guān)系 ,合同概念及性質(zhì) , 復(fù)數(shù)域和實數(shù)域上二次型的規(guī)范性的唯一性． 3、簡單應(yīng)用：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的方法（配方法、初等變換法） ． 4、綜合應(yīng)用：正定二次型及半正定二次型的等價條件． 第十二章 常見曲面 （一）本章考核內(nèi)容 1、曲面、曲線方程 2、柱面 3、錐面 4、旋轉(zhuǎn)曲面 5、橢球面 6、雙曲面 7、拋物面（包括正交變換在二次曲面方程化簡中的應(yīng)用） 8、二次曲面的直紋性 7 （二）本章考核要求 1、識記：柱面

18、、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的概念， 橢球面、雙曲面、拋物面、直紋面、直母線的概念． 2 、理解：曲面、曲線方程，柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的形成，利用平行截線法來研究橢球面、雙曲面、拋物面的形狀與性質(zhì)，直母線的性質(zhì)，正交變換化簡二次曲面方程． 3 、簡單應(yīng)用：導(dǎo)出柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面的方程，根據(jù)二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程研究它們的性質(zhì)、形狀、直紋性，最后給出利用正交變換給出化簡一般二次面面的方法． 4、綜合應(yīng)用：應(yīng)用直母線的性質(zhì)計算證明直母線的有關(guān)問題． 四、命題結(jié)構(gòu)和要求 1、嚴(yán)格按照 教學(xué)大綱出題，不出超綱題、偏題、怪題； 2 、試題以考查數(shù)學(xué)的基本概念

19、、基本方法和基本原理為主，在此基礎(chǔ)上，加強對考生的運算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力、空間想象能力、綜合運用所學(xué)知識解決實際問題能力、創(chuàng)造能力的考查； 3、力求試卷難度控制在 0.5～ 0.55 之間，并確保試題具有較高的區(qū)分度，能將優(yōu)秀的學(xué)生區(qū)分出 來．具體說，試題的平均分控制在 70～ 80 分之間，區(qū)分度在 0.3 以上； 4、題量和試卷分量適當(dāng)． 各卷試題量控制在 20 題 (填空題 5 道，選擇題 5 道，計算證明題 10 道)， 試題份量以較優(yōu)秀水平的考生能在規(guī)定的時間里從容地完成試題作答為宜； 5、主客觀性試題在試卷中的占分比例保

20、持 7 : 3. 主觀性試題包括計算題、證明題、綜合題和應(yīng)用 題．客觀性試題包括填空題和選擇題； 6 、充分發(fā)揮各種題型功能．填空題主要用于考查三基以及數(shù)學(xué)重要性質(zhì)，一般不出省去解答過 程的大計算題， 以中等難度的試題為主． 選擇題主要考查考生對數(shù)學(xué)概念、 數(shù)學(xué)性質(zhì)的理解并能進行簡 單推理、判定和比較，一般不出成純粹的計算題， 以中等難度的試題為主． 綜合題和應(yīng)用題主要考查學(xué)生的邏輯思維和綜合運用知識解決實際問題的能力； 7 、試題有一定的內(nèi)容覆蓋面，但不追求面面俱到，以確保內(nèi)容效度．由于考試內(nèi)容廣泛，而考試時間有限，題量有限，一般要求保證重點章節(jié)被考查即可． 五、相關(guān)說明 針對本課程的特點，期末閉卷考核考核成績占 70%，平時作業(yè)成績占 15%，副卷成績占 15%． 8