數(shù)學 選講部分 坐標系與參數(shù)方程 文 新人教A版選修4-4

選修44坐標系與參數(shù)方程-2-3-知識梳理考點自測1.平面直角坐標系中的伸縮變換設點P(x,y)是平面直角坐標系中的任意一點,在變換 的作用下,點P(x,y)對應到點P(x,y),稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換,簡稱伸縮變換.-4-知識梳理考點自測2.極坐標系與極坐標(1)極坐標系:如圖所示,在平面內取一個O,叫做極點,自極點O引一條Ox,叫做極軸;再選定一個單位,一個單位(通常取)及其正方向(通常取方向),這樣就建立了一個極坐標系.(2)極坐標:設M是平面內一點,極點O與點M的叫做點M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角叫做點M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點M的極坐標,記為.定點 射線 長度 角度 弧度 逆時針 距離|OM| xOM (,) M(,) -5-知識梳理考點自測3.極坐標與直角坐標的互化(1)設點P的直角坐標為(x,y),它的極坐標為(,).(2)把直角坐標轉化為極坐標時,通常有不同的表示法(極角相差2的整數(shù)倍).一般取0,0,2).-6-知識梳理考點自測4.直線的極坐標方程(1)若直線過點M(0,0),且從極軸到此直線的角為,則它的方程為:sin(-)=.(2)幾個特殊位置的直線的極坐標方程:直線過極點:=0和;直線過點M(a,0),且垂直于極軸:;直線過 ,且平行于極軸:.5.圓的極坐標方程(1)若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為.(2)幾個特殊位置的圓的極坐標方程:圓心位于極點,半徑為r:=;圓心位于M(a,0),半徑為a:=;圓心位于 ,半徑為a:=.0sin(0-) = +0 cos =a sin =b r 2acos 2asin -7-知識梳理考點自測參數(shù)方程 參數(shù) -8-知識梳理考點自測-9-知識梳理考點自測 -10-知識梳理考點自測A解析解析:化為普通方程為x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x=3t2+22,77,因此曲線為線段.故選A.-11-知識梳理考點自測B-12-知識梳理考點自測D解析解析:C的直角坐標方程為(x+1)2+(y-1)2=1,圓心C(-1,1),又直線kx+y+4=0過定點A(0,-4),故當CA與直線kx+y+4=0垂直時,圓心C到直線的距離最大,kCA=-5,-13-知識梳理考點自測5.在極坐標系中,點A在圓2-2cos -4sin +4=0上,點P的坐標為(1,0),則|AP|的最小值為.1解析解析:設圓心為C,則圓C:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|AP|min=|PC|-r=2-1=1.-14-考點一考點二考點三考點四參數(shù)方程與極坐標方程間的互化參數(shù)方程與極坐標方程間的互化例1在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程;(2)直線C3的極坐標方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a.-15-考點一考點二考點三考點四解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標方程為2-2sin +1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點的極坐標滿足方程組若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.當a=1時,極點也為C1,C2的公共點,在C3上,所以a=1.-16-考點一考點二考點三考點四解題心得1.無論是參數(shù)方程化為極坐標方程,還是極坐標方程化為參數(shù)方程,都要先化為直角坐標方程,再由直角坐標方程化為需要的方程.2.求解與極坐標方程有關的問題時,可以轉化為熟悉的直角坐標方程求解.若最終結果要求用極坐標表示,則需將直角坐標轉化為極坐標.-17-考點一考點二考點三考點四-18-考點一考點二考點三考點四求距離的最值求距離的最值 -19-考點一考點二考點三考點四-20-考點一考點二考點三考點四解題心得1.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等,往往需要對參數(shù)方程進行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.2.若極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與x軸正半軸重合,兩坐標系的長度單位相同,則極坐標方程與直角坐標方程可以互化.-21-考點一考點二考點三考點四-22-考點一考點二考點三考點四-23-考點一考點二考點三考點四求平面圖形面積的最值求平面圖形面積的最值例3(2017全國,文22)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點P的軌跡C2的直角坐標方程;(2)設點A的極坐標為 ,點B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.-24-考點一考點二考點三考點四-25-考點一考點二考點三考點四解題心得對于極坐標和參數(shù)方程的問題,既可以通過極坐標和參數(shù)方程來解決,也可以通過直角坐標解決,但大多數(shù)情況下,把極坐標問題轉化為直角坐標問題,把參數(shù)方程轉化為普通方程更有利于在一個熟悉的環(huán)境下解決問題.這樣可以減少由于對極坐標和參數(shù)方程理解不到位造成的錯誤.-26-考點一考點二考點三考點四對點訓練對點訓練3在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.(1)求C1,C2的極坐標方程;(2)若直線C3的極坐標方程為 (R),設C2與C3的交點為M,N,求C2MN的面積.-27-考點一考點二考點三考點四求動點軌跡的方程求動點軌跡的方程 -28-考點一考點二考點三考點四-29-考點一考點二考點三考點四解題心得在求動點軌跡方程時,如果題目有明確要求,求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標方程或求軌跡的直角坐標方程,那么就按要求做;如果沒有明確的要求,那么三種形式的方程寫出哪種都可,哪種形式的容易求就寫哪種.-30-考點一考點二考點三考點四-31-考點一考點二考點三考點四-32-考點一考點二考點三考點四-33-考點一考點二考點三考點四1.極坐標與平面直角坐標不同,極坐標與直角坐標之間不是一一對應的,所以我們規(guī)定0,02來使平面上的點與它的極坐標之間是一一對應的,但仍然不包括極點.2.在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時,不僅僅要把其中的參數(shù)消去,還要注意其中的x,y的取值范圍,也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性.