數(shù)學(xué) 選講部分 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文 新人教A版選修4-4

選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程-2-3-知識梳理考點(diǎn)自測1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換 的作用下,點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)到點(diǎn)P(x,y),稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡稱伸縮變換.-4-知識梳理考點(diǎn)自測2.極坐標(biāo)系與極坐標(biāo)(1)極坐標(biāo)系:如圖所示,在平面內(nèi)取一個O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條Ox,叫做極軸;再選定一個單位,一個單位(通常取)及其正方向(通常取方向),這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo):設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn)M的叫做點(diǎn)M的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角叫做點(diǎn)M的極角,記為.有序數(shù)對叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記為.定點(diǎn) 射線 長度 角度 弧度 逆時針 距離|OM| xOM (,) M(,) -5-知識梳理考點(diǎn)自測3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),它的極坐標(biāo)為(,).(2)把直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時,通常有不同的表示法(極角相差2的整數(shù)倍).一般取0,0,2).-6-知識梳理考點(diǎn)自測4.直線的極坐標(biāo)方程(1)若直線過點(diǎn)M(0,0),且從極軸到此直線的角為,則它的方程為:sin(-)=.(2)幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程:直線過極點(diǎn):=0和;直線過點(diǎn)M(a,0),且垂直于極軸:;直線過 ,且平行于極軸:.5.圓的極坐標(biāo)方程(1)若圓心為M(0,0),半徑為r,則圓的方程為.(2)幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程:圓心位于極點(diǎn),半徑為r:=;圓心位于M(a,0),半徑為a:=;圓心位于 ,半徑為a:=.0sin(0-) = +0 cos =a sin =b r 2acos 2asin -7-知識梳理考點(diǎn)自測參數(shù)方程 參數(shù) -8-知識梳理考點(diǎn)自測-9-知識梳理考點(diǎn)自測 -10-知識梳理考點(diǎn)自測A解析解析:化為普通方程為x=3(y+1)+2,即x-3y-5=0,由于x=3t2+22,77,因此曲線為線段.故選A.-11-知識梳理考點(diǎn)自測B-12-知識梳理考點(diǎn)自測D解析解析:C的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+(y-1)2=1,圓心C(-1,1),又直線kx+y+4=0過定點(diǎn)A(0,-4),故當(dāng)CA與直線kx+y+4=0垂直時,圓心C到直線的距離最大,kCA=-5,-13-知識梳理考點(diǎn)自測5.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在圓2-2cos -4sin +4=0上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,0),則|AP|的最小值為.1解析解析:設(shè)圓心為C,則圓C:x2+y2-2x-4y+4=0,即(x-1)2+(y-2)2=1,故|AP|min=|PC|-r=2-1=1.-14-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程間的互化例1在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:=4cos .(1)說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程;(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為=0,其中0滿足tan 0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a.-15-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓.將x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的極坐標(biāo)方程為2-2sin +1-a2=0.(2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組若0,由方程組得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1.當(dāng)a=1時,極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上,所以a=1.-16-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得1.無論是參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程,還是極坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程,都要先化為直角坐標(biāo)方程,再由直角坐標(biāo)方程化為需要的方程.2.求解與極坐標(biāo)方程有關(guān)的問題時,可以轉(zhuǎn)化為熟悉的直角坐標(biāo)方程求解.若最終結(jié)果要求用極坐標(biāo)表示,則需將直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).-17-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-18-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四求距離的最值求距離的最值 -19-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-20-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得1.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程,常用的消參方法有代入消參、加減消參和三角恒等式消參等,往往需要對參數(shù)方程進(jìn)行變形,為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.2.若極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合,極軸與x軸正半軸重合,兩坐標(biāo)系的長度單位相同,則極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程可以互化.-21-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-22-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-23-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四求平面圖形面積的最值求平面圖形面積的最值例3(2017全國,文22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos =4.(1)M為曲線C1上的動點(diǎn),點(diǎn)P在線段OM上,且滿足|OM|OP|=16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為 ,點(diǎn)B在曲線C2上,求OAB面積的最大值.-24-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-25-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得對于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的問題,既可以通過極坐標(biāo)和參數(shù)方程來解決,也可以通過直角坐標(biāo)解決,但大多數(shù)情況下,把極坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)問題,把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程更有利于在一個熟悉的環(huán)境下解決問題.這樣可以減少由于對極坐標(biāo)和參數(shù)方程理解不到位造成的錯誤.-26-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四對點(diǎn)訓(xùn)練對點(diǎn)訓(xùn)練3在直角坐標(biāo)系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2 =1,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1,C2的極坐標(biāo)方程;(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為 (R),設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M,N,求C2MN的面積.-27-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四求動點(diǎn)軌跡的方程求動點(diǎn)軌跡的方程 -28-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-29-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四解題心得在求動點(diǎn)軌跡方程時,如果題目有明確要求,求軌跡的參數(shù)方程或求軌跡的極坐標(biāo)方程或求軌跡的直角坐標(biāo)方程,那么就按要求做;如果沒有明確的要求,那么三種形式的方程寫出哪種都可,哪種形式的容易求就寫哪種.-30-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-31-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-32-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四-33-考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四1.極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)不同,極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間不是一一對應(yīng)的,所以我們規(guī)定0,02來使平面上的點(diǎn)與它的極坐標(biāo)之間是一一對應(yīng)的,但仍然不包括極點(diǎn).2.在將曲線的參數(shù)方程化為普通方程時,不僅僅要把其中的參數(shù)消去,還要注意其中的x,y的取值范圍,也即在消去參數(shù)的過程中一定要注意普通方程與參數(shù)方程的等價性.