高等數(shù)學(xué)下：7-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

《高等數(shù)學(xué)下：7-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)下：7-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、17.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分7.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念7.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義7.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)7.2.4 全微分全微分27.2 偏偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(partial derivative)與全微分與全微分( )yf x 復(fù)復(fù)習(xí)習(xí)： 一一元元函函數(shù)數(shù)xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00( ,)zf x y 二二元元函函數(shù)數(shù)(, )( , )f xx yf x y ()()zf xxyyf xy ，全全增增量量偏偏增增量量( ,)( , )f x yyf x y 37.2 偏偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)(partial derivative)與全微分

2、與全微分7.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念1 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義(1) f (x,y)在點在點P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)4),(yxfz ),(00yxx則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在點在點處對處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為的偏導(dǎo)數(shù)，記為 x,yxfyxxfx )(),(lim0000000(,)xfxy is a rounded d called the partial derivative symbol. To distinguish it from the letter d, is sometimes pronounced partial instead of dee. 00

3、00000000(,)x xxxy yx xx xxyy yy yzzfzfxyxxx （ ， ），或或5解解x,yxfyxxfx )(),(lim0000000(,)xfxy 12xyzx 220(1)3(1) 2211limxxxx 2( ,2)324f xxx0000( ,)(,)xx xdf x yfxydx 1( ,2)xdf xdx 60000000(,)()(,)limyyf xyyf x ,yfxyy 即即7（2）偏導(dǎo)函數(shù)）偏導(dǎo)函數(shù)0(, )()( , )=limxxf xx yf x,yfx yx ( , )( , ).yyzf x yyzfzfx yyy 類類似似定定義義函

4、函數(shù)數(shù)對對自自變變量量 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記作作， ，或或0( ,)()( , )= limyyf x yyf x,yfx yy 8(3) 偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)處處在在如如),(),(zyxzyxfu ),(zyxfx,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 注：注：00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf 0(, , )( , , )lim,xf xx y zf x y zx 9解解2偏導(dǎo)數(shù)的計算偏導(dǎo)數(shù)的計算 仍然是

5、一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對某仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對某一個自變量求偏導(dǎo)時，一個自變量求偏導(dǎo)時，把其余的自變量看作常量把其余的自變量看作常量. . yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz10證明證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立11例例3.解：解：1 zyzxxyuln()zyzyuxxyy )(ln xyzzezu 1;zzyyxx1ln zyyzxxzzyzxyxyz lnzyx ：對對冪冪指指函函數(shù)數(shù)兩兩邊邊取取對對數(shù)數(shù)或或xyuzl

6、nln xzyuuzyln1 zyzyxyxyzu ln,zyxyzuxuuu 求求2(3 )323(3 ) ()zyx lnlnzyyx12(2)(2)求求fx (x0，y0)時，可先將時，可先將y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),(),(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例例5解解(2,1).xf求求13.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyy

7、xf 例例 6 6解解,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy ( , )yfx y,)()(22222yxyxx (3)求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)只能用定義求求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)只能用定義求14,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 000lim0,xx (0,0)0yf .),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 6 6220(,0)0()0 xfxx 15

8、,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 6 6163 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在

9、連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，連續(xù)連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在:22(0,0)zxy如如：在在處處177.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 0000(,)( ,)=xx xfxydf x ydx 0( ,)f x y 是是0yy 曲曲面面被被平平面面所所截截得得的的曲曲線線的的方方程程，00 xMM Tx在在點點處處的的切切線線對對 軸軸的的斜斜率率00(,)xfxy 是是該該曲曲線線18幾何意義幾何意義: :00

10、00(, )(,) =yyydf xyfxydy 19),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)7.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)zx 仍仍是是關(guān)關(guān)于于的的函函數(shù)數(shù)xy和和20解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例7 722=zzx yy x ？21具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相

11、等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？22例例8 證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程證明證明 122222221(),uxyzxyz 322221()22uxyzxx 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 23由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以22222352351313, .uyuzyrrzrr 因此因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033

12、523 rrr例例8 證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 滿足方程滿足方程2223513uxxrr 24 7.2.4 7.2.4 全微分全微分1增量、全增量及偏微分增量、全增量及偏微分 00(,)( ,)f xx yf x y 0( ,)xfx yx),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù) 對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得叫做函數(shù)在點叫做函數(shù)在點(x，y)對應(yīng)于自變量增量對應(yīng)于自變量增量x、y的的全增量全增量

13、. . z=f (x+x，y+y)f (x，y) (1)252全微分的定義全微分的定義26可微：可微：),( oyBxAz 0lim0z 3 可微的必要條件可微的必要條件 00lim(,)xyf xx yy 要要證證：),(yxf ),(lim0zyxf 27證明證明如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, )( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時，上式仍成立，時，上式仍成立， 此時此時|x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A,xz 同理可得同理可得.yzB 0(, )( , )limxf xx yf x yx zdzBA xyxzyxy 2

14、84偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件 一元函數(shù)一元函數(shù)可微等價于可導(dǎo)可微等價于可導(dǎo), , f (x，y)在點在點原點原點處偏導(dǎo)存在，但處偏導(dǎo)存在，但 f(x，y)在點原在點原點處不連續(xù)點處不連續(xù), ,所以所以f (x，y)在點原點處一定不可微。在點原點處一定不可微。 而多元函數(shù)而多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不能推出可微。偏導(dǎo)存在不能推出可微。 0 , 0 , 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf如如例例295. 函數(shù)可微的充分條件函數(shù)可微的充分條件 證明證明),(),(yxfyyxxfz =( ) ?zzxyoxy 1( , )xzfx yxx yyyxfy 2),(

15、 1,20,00 xy 當(dāng)當(dāng)時時，30習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu ,zxxdx 取取則則=( )zzzxyoxy =zzdzxyxy dz ,zyydy 取取則則.zzdzdxdyxy( ,)uu x y z 31方法：方法：6. 全微分的計算全微分的計算 （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy （iii）P0(x0, ,y0)處且處且dx，dy給定時的微分給定時的微分 （1）先求）先求fx(x,y)、fy(x,y), 判斷判斷f (x,y)的可微性的可微性 (利用

16、充分條件）利用充分條件）幾類微分：幾類微分：(i) P(x,y)處的微分；處的微分； （ii）P0(x0,y0)處的微分；處的微分；32例例9.（1）計算）計算z = x2y+y3的全微分；的全微分； （2）計算）計算z = x2y+y3在點在點(2，1)處的全微分；處的全微分； （3）計算計算z = x2y+y3在點在點( (2，1) )處相應(yīng)于處相應(yīng)于 x=0.1，y=0.1 時的全微分。時的全微分。 解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 (3) x=0.1，y=0.1， 0.40.70

17、.3dz (20.1, 10.1)(2,1)zffdz 33解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 34357 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在 222222221sin, 0( , ) 0, 0 xyxyxyf x yxy 在在原原點點可可微微，但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)不不連連續(xù)續(xù)36小結(jié)小結(jié) 本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念。數(shù)及全微分的概念。 本節(jié)要求理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)本節(jié)要求理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念；了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何數(shù)及全微分的概念；了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義；了解多元函數(shù)可微的充分與必要條件以及意義；了解多元函數(shù)可微的充分與必要條件以及多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。熟練掌握多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。熟練掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算。zx 注注意意：是是一一個個整整體體記記號號. .1 zxyxyz