高等數學下：7-2 偏導數與全微分

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1、17.2 偏導數與全微分偏導數與全微分7.2.1 偏導數的概念偏導數的概念7.2.2 偏導數的幾何意義偏導數的幾何意義7.2.3 高階偏導數高階偏導數7.2.4 全微分全微分27.2 偏偏導數導數(partial derivative)與全微分與全微分( )yf x 復復習習： 一一元元函函數數xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(00( ,)zf x y 二二元元函函數數(, )( , )f xx yf x y ()()zf xxyyf xy ，全全增增量量偏偏增增量量( ,)( , )f x yyf x y 37.2 偏偏導數導數(partial derivative)與全微分

2、與全微分7.2.1 偏導數的概念偏導數的概念1 偏導數的定義偏導數的定義(1) f (x,y)在點在點P0(x0,y0)處的偏導數處的偏導數4),(yxfz ),(00yxx則稱此極限為函數則稱此極限為函數在點在點處對處對的偏導數，記為的偏導數，記為 x,yxfyxxfx )(),(lim0000000(,)xfxy is a rounded d called the partial derivative symbol. To distinguish it from the letter d, is sometimes pronounced partial instead of dee. 00

3、00000000(,)x xxxy yx xx xxyy yy yzzfzfxyxxx （ ， ），或或5解解x,yxfyxxfx )(),(lim0000000(,)xfxy 12xyzx 220(1)3(1) 2211limxxxx 2( ,2)324f xxx0000( ,)(,)xx xdf x yfxydx 1( ,2)xdf xdx 60000000(,)()(,)limyyf xyyf x ,yfxyy 即即7（2）偏導函數）偏導函數0(, )()( , )=limxxf xx yf x,yfx yx ( , )( , ).yyzf x yyzfzfx yyy 類類似似定定義義函

4、函數數對對自自變變量量 的的偏偏導導數數，記記作作， ，或或0( ,)()( , )= limyyf x yyf x,yfx yy 8(3) 偏導數概念可推廣到二元以上的函數偏導數概念可推廣到二元以上的函數處處在在如如),(),(zyxzyxfu ),(zyxfx,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 注：注：00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf 0(, , )( , , )lim,xf xx y zf x y zx 9解解2偏導數的計算偏導數的計算 仍然是

5、一元函數的求導公式和求導法則，對某仍然是一元函數的求導公式和求導法則，對某一個自變量求偏導時，一個自變量求偏導時，把其余的自變量看作常量把其余的自變量看作常量. . yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz10證明證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立11例例3.解：解：1 zyzxxyuln()zyzyuxxyy )(ln xyzzezu 1;zzyyxx1ln zyyzxxzzyzxyxyz lnzyx ：對對冪冪指指函函數數兩兩邊邊取取對對數數或或xyuzl

6、nln xzyuuzyln1 zyzyxyxyzu ln,zyxyzuxuuu 求求2(3 )323(3 ) ()zyx lnlnzyyx12(2)(2)求求fx (x0，y0)時，可先將時，可先將y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),(),(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例例5解解(2,1).xf求求13.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導數的偏導數求求設設yxfyxyxyxxyy

7、xf 例例 6 6解解,)0 , 0(),(時時當當 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy ( , )yfx y,)()(22222yxyxx (3)求分界點、不連續(xù)點處的偏導數只能用定義求求分界點、不連續(xù)點處的偏導數只能用定義求14,)0 , 0(),(時時當當 yx按定義可知：按定義可知：0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx 000lim0,xx (0,0)0yf .),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導數的偏導數求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例 6 6220(,0)0()0 xfxx 15

8、,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導數的偏導數求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例 6 6163 偏導數存在與連續(xù)的關系偏導數存在與連續(xù)的關系例如例如,函數函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函數在該點處并不連續(xù)但函數在該點處并不連續(xù). 偏導數存在偏導數存在

9、連續(xù)連續(xù).一元函數中在某點可導一元函數中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數中在某點偏導數存在多元函數中在某點偏導數存在 連續(xù)，連續(xù)，連續(xù)連續(xù) 偏導數存在偏導數存在:22(0,0)zxy如如：在在處處177.2.2 偏導數的幾何意義偏導數的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設設yxfzyxfyxM 0000(,)( ,)=xx xfxydf x ydx 0( ,)f x y 是是0yy 曲曲面面被被平平面面所所截截得得的的曲曲線線的的方方程程，00 xMM Tx在在點點處處的的切切線線對對 軸軸的的斜斜率率00(,)xfxy 是是該該曲曲線線18幾何意義幾何意義: :00

10、00(, )(,) =yyydf xyfxydy 19),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 純偏導純偏導混合偏導混合偏導 二階及二階以上的偏導數二階及二階以上的偏導數7.2.3 高階偏導數高階偏導數zx 仍仍是是關關于于的的函函數數xy和和20解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例7 722=zzx yy x ？21具備怎樣的條件才能使混合偏導數相

11、等？具備怎樣的條件才能使混合偏導數相等？問題：問題：混合偏導數都相等嗎？混合偏導數都相等嗎？22例例8 證明函數證明函數ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程證明證明 122222221(),uxyzxyz 322221()22uxyzxx 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 23由于函數關于自變量的對稱性，所以由于函數關于自變量的對稱性，所以22222352351313, .uyuzyrrzrr 因此因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033

12、523 rrr例例8 證明函數證明函數ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 滿足方程滿足方程2223513uxxrr 24 7.2.4 7.2.4 全微分全微分1增量、全增量及偏微分增量、全增量及偏微分 00(,)( ,)f xx yf x y 0( ,)xfx yx),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數數 對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數數對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數微分學中增量與微分的關系得由一元函數微分學中增量與微分的關系得叫做函數在點叫做函數在點(x，y)對應于自變量增量對應于自變量增量x、y的的全增量全增量

13、. . z=f (x+x，y+y)f (x，y) (1)252全微分的定義全微分的定義26可微：可微：),( oyBxAz 0lim0z 3 可微的必要條件可微的必要條件 00lim(,)xyf xx yy 要要證證：),(yxf ),(lim0zyxf 27證明證明如如果果函函數數),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, )( oyBxAz 總成立總成立,當當0 y時，上式仍成立，時，上式仍成立， 此時此時|x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA A,xz 同理可得同理可得.yzB 0(, )( , )limxf xx yf x yx zdzBA xyxzyxy 2

14、84偏導存在不是函數可微的充分條件偏導存在不是函數可微的充分條件 一元函數一元函數可微等價于可導可微等價于可導, , f (x，y)在點在點原點原點處偏導存在，但處偏導存在，但 f(x，y)在點原在點原點處不連續(xù)點處不連續(xù), ,所以所以f (x，y)在點原點處一定不可微。在點原點處一定不可微。 而多元函數而多元函數偏導存在不能推出可微。偏導存在不能推出可微。 0 , 0 , 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf如如例例295. 函數可微的充分條件函數可微的充分條件 證明證明),(),(yxfyyxxfz =( ) ?zzxyoxy 1( , )xzfx yxx yyyxfy 2),(

15、 1,20,00 xy 當當時時，30習慣上，記全微分為習慣上，記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數.dzzudyyudxxudu ,zxxdx 取取則則=( )zzzxyoxy =zzdzxyxy dz ,zyydy 取取則則.zzdzdxdyxy( ,)uu x y z 31方法：方法：6. 全微分的計算全微分的計算 （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy （iii）P0(x0, ,y0)處且處且dx，dy給定時的微分給定時的微分 （1）先求）先求fx(x,y)、fy(x,y), 判斷判斷f (x,y)的可微性的可微性 (利用

16、充分條件）利用充分條件）幾類微分：幾類微分：(i) P(x,y)處的微分；處的微分； （ii）P0(x0,y0)處的微分；處的微分；32例例9.（1）計算）計算z = x2y+y3的全微分；的全微分； （2）計算）計算z = x2y+y3在點在點(2，1)處的全微分；處的全微分； （3）計算計算z = x2y+y3在點在點( (2，1) )處相應于處相應于 x=0.1，y=0.1 時的全微分。時的全微分。 解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 (3) x=0.1，y=0.1， 0.40.70

17、.3dz (20.1, 10.1)(2,1)zffdz 33解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 34357 多元函數連續(xù)、可導、可微的關系多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數可微函數連續(xù)函數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導存在偏導存在 222222221sin, 0( , ) 0, 0 xyxyxyf x yxy 在在原原點點可可微微，但但偏偏導導不不連連續(xù)續(xù)36小結小結 本節(jié)主要討論了多元函數的偏導數、高階偏導本節(jié)主要討論了多元函數的偏導數、高階偏導數及全微分的概念。數及全微分的概念。 本節(jié)要求理解多元函數的偏導數、高階偏導本節(jié)要求理解多元函數的偏導數、高階偏導數及全微分的概念；了解多元函數偏導數的幾何數及全微分的概念；了解多元函數偏導數的幾何意義；了解多元函數可微的充分與必要條件以及意義；了解多元函數可微的充分與必要條件以及多元函數的連續(xù)、可導、可微的關系。熟練掌握多元函數的連續(xù)、可導、可微的關系。熟練掌握多元函數的偏導數與全微分的計算。多元函數的偏導數與全微分的計算。zx 注注意意：是是一一個個整整體體記記號號. .1 zxyxyz