《高等數(shù)學(xué)：6-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：6-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念6.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義6.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)6.2.4 全微分全微分6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念1 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義(1) f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)),(yxfz ),(00yxx則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處對(duì)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為的偏導(dǎo)數(shù)，記為 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. 例如，極限例如，極限(1)可以表示為可以表示為 x,yxfyxxf
2、yxfxx )(),(lim),(0000000 y,yxfyyxfyxfxy )(),(lim),(0000000 即即（2）偏導(dǎo)函數(shù)）偏導(dǎo)函數(shù)(3) 偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)處處在在如如),(),(zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 注：注：00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf 解解2偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)
3、公式和求導(dǎo)法則，對(duì)某仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對(duì)某一個(gè)自變量求偏導(dǎo)時(shí)，其余的自變量看作常量。一個(gè)自變量求偏導(dǎo)時(shí)，其余的自變量看作常量。 yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz證明證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3.zyxyuuuxuz,求求 解：解：1 zyzxxyu)(lnzyyyyxxuz )(ln xyzzezu ;1zyzxyx 1ln zyyzxxzzyzxyxyz lnxyyxzyzlnln ：對(duì)冪指函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)冪指函數(shù)兩邊取
4、對(duì)數(shù)或或xyuzlnln xzyuuzyln1 zyzyxyxyzu ln證明證明 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 注注:(2)(2)求求fx (x0，y0)時(shí)，可先將時(shí)，可先將y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),(),(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例例5解解).1 , 2(),1 ,(xxfxf求求.),()0 , 0(),
5、(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 6 6解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx (3)求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 00lim0 xx yfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0
6、(0 , 00lim0 yy ,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy3 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中
7、在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，6.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點(diǎn)上一點(diǎn)為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線xTM0對(duì)對(duì)x軸的軸的斜率斜率. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線yTM0對(duì)對(duì)y軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfx
8、yzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .6.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例7 7. 02222 yuxu具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解解),ln(21ln2222yxyx 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等
9、嗎？,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 證畢證畢例例9 證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 滿足方程滿足方程證明證明 ,)(212222221 zyxzyxuxzyxxu2)(2123222 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱性，所以由于函數(shù)關(guān)于自變量的對(duì)稱
10、性，所以.31 ,315232252322rzrzuryryu 因此因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033523 rrr證畢證畢 6.2.4 6.2.4 全微分全微分1增量、全增量及偏微分增量、全增量及偏微分 ),(),(yxfyxxf xyxfx ),( ),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù) 對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得叫做函數(shù)在點(diǎn)叫做函數(shù)在點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)于自變量增量對(duì)應(yīng)于自變量增量x、y的全增量。的全增量。
11、z=f (x+x，y+y)f (x，y) (1)2全微分的定義全微分的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz 0lim0 z 3 可微的必要條件可微的必要條件 證明證明如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域 )( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，上式仍成立，時(shí)，上式仍成立， 此時(shí)此時(shí)|x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 4偏
12、導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件 一元函數(shù)一元函數(shù)可微等價(jià)于可導(dǎo)?？晌⒌葍r(jià)于可導(dǎo)。 f (x，y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0處偏導(dǎo)存在，但處偏導(dǎo)存在，但 f(x，y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0處處不連續(xù)。所以不連續(xù)。所以f (x，y)在點(diǎn)在點(diǎn)P0處一定不可微。處一定不可微。 而多元函數(shù)而多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不能推出可微。偏導(dǎo)存在不能推出可微。 0 , 0 , 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf如如例例5. 函數(shù)可微的充分條件函數(shù)可微的充分條件 證明證明),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx
13、 ),(1 )10(1 在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）其中其中1 為為yx ,的函數(shù)的函數(shù), xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx處可微處可微. 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，02 , 習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 方
14、法：方法：6. 全微分的計(jì)算全微分的計(jì)算 （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy （iii）P0(x0, ,y0)處且處且dx，dy給定時(shí)的微分給定時(shí)的微分 （1）先求）先求fx(x,y)、fy(x,y),判斷判斷f (x,y)的可微性。的可微性。 (利用充分條件）利用充分條件）幾類微分：幾類微分：(i) P(x,y)處的微分；處的微分； （ii）P0(x0,y0)處的微分；處的微分；例例1.（1）計(jì)算）計(jì)算z = x2y+y3的全微分；的全微分； （2）計(jì)算）計(jì)算z = x2y+y3在點(diǎn)在點(diǎn)(2，1)處的全微分；處的全微分； （3）計(jì)算計(jì)算z = x2y+y3在點(diǎn)在點(diǎn)( (2，
15、1) )處相應(yīng)于處相應(yīng)于 x=0.1，y=0.1 時(shí)的全微分。時(shí)的全微分。 解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 (3) 當(dāng)當(dāng)x=0.1，y=0.1時(shí)，時(shí)， 3 . 07 . 04 . 0 dz有有解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 7 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在小結(jié)小結(jié) 本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念。數(shù)及全微分的概念。 本節(jié)要求理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)本節(jié)要求理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念；了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何數(shù)及全微分的概念；了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義；了解多元函數(shù)可微的充分與必要條件以及意義；了解多元函數(shù)可微的充分與必要條件以及多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。熟練掌握多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。熟練掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算。習(xí)題習(xí)題 6 62
高等數(shù)學(xué)：6-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分
