高等數(shù)學(xué)：6-2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

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1、6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念6.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義6.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)6.2.4 全微分全微分6.2 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念1 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義(1) f (x,y)在點在點P0(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)),(yxfz ),(00yxx則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在點在點處對處對的偏導(dǎo)數(shù)，記為的偏導(dǎo)數(shù)，記為 00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx. 例如，極限例如，極限(1)可以表示為可以表示為 x,yxfyxxf

2、yxfxx )(),(lim),(0000000 y,yxfyyxfyxfxy )(),(lim),(0000000 即即（2）偏導(dǎo)函數(shù)）偏導(dǎo)函數(shù)(3) 偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念可推廣到二元以上的函數(shù)處處在在如如),(),(zyxzyxfu ,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 注：注：00),(),(00yyxxxxyxfyxf 00),(),(00yyxxyyyxfyxf 解解2偏導(dǎo)數(shù)的計算偏導(dǎo)數(shù)的計算 仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)

3、公式和求導(dǎo)法則，對某仍然是一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則，對某一個自變量求偏導(dǎo)時，其余的自變量看作常量。一個自變量求偏導(dǎo)時，其余的自變量看作常量。 yxxz32 yxyz23 8231221 yxxz7221321 yxyz證明證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3.zyxyuuuxuz,求求 解：解：1 zyzxxyu)(lnzyyyyxxuz )(ln xyzzezu ;1zyzxyx 1ln zyyzxxzzyzxyxyz lnxyyxzyzlnln ：對冪指函數(shù)兩邊取對數(shù)對冪指函數(shù)兩邊取

4、對數(shù)或或xyuzlnln xzyuuzyln1 zyzyxyxyzu ln證明證明 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 注注:(2)(2)求求fx (x0，y0)時，可先將時，可先將y0代入得代入得 ),(),(0 xyxf ，再求再求dxd ，即即dxyxdfdxd),(0 最后再將最后再將x0代入代入. . ,arcsin)1(),(2yxyxyxf ,)1 ,(2xxf ;),(),(xdxxdfxfx211 4)1 , 2( xf例例5解解).1 , 2(),1 ,(xxfxf求求.),()0 , 0(),

5、(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 6 6解解,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx (3)求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 , 00lim0 xx yfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0

6、(0 , 00lim0 yy ,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy3 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf, 依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff. 但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中

7、在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，6.2.2 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線xTM0對對x軸的軸的斜率斜率. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線yTM0對對y軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfx

8、yzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo) 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .6.2.3 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例7 7. 02222 yuxu具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解解),ln(21ln2222yxyx 問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等

9、嗎？,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 證畢證畢例例9 證明函數(shù)證明函數(shù)ru1 0222222 zuyuxu其中其中 222zyxr 滿足方程滿足方程證明證明 ,)(212222221 zyxzyxuxzyxxu2)(2123222 2322222)( zyxxu.31523rxr 23222)( zyxxxzyxx2)(23(25222 由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱性，所以由于函數(shù)關(guān)于自變量的對稱

10、性，所以.31 ,315232252322rzrzuryryu 因此因此222222zuyuxu 52223)(33rzyxr 033523 rrr證畢證畢 6.2.4 6.2.4 全微分全微分1增量、全增量及偏微分增量、全增量及偏微分 ),(),(yxfyxxf xyxfx ),( ),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù) 對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得叫做函數(shù)在點叫做函數(shù)在點(x，y)對應(yīng)于自變量增量對應(yīng)于自變量增量x、y的全增量。的全增量。

11、z=f (x+x，y+y)f (x，y) (1)2全微分的定義全微分的定義 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數(shù)在該點連續(xù)函數(shù)在該點連續(xù).事實上事實上),( oyBxAz 0lim0 z 3 可微的必要條件可微的必要條件 證明證明如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域 )( oyBxAz 總成立總成立,當(dāng)當(dāng)0 y時，上式仍成立，時，上式仍成立， 此時此時|x , ),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 4偏

12、導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件偏導(dǎo)存在不是函數(shù)可微的充分條件 一元函數(shù)一元函數(shù)可微等價于可導(dǎo)?？晌⒌葍r于可導(dǎo)。 f (x，y)在點在點P0處偏導(dǎo)存在，但處偏導(dǎo)存在，但 f(x，y)在點在點P0處處不連續(xù)。所以不連續(xù)。所以f (x，y)在點在點P0處一定不可微。處一定不可微。 而多元函數(shù)而多元函數(shù)偏導(dǎo)存在不能推出可微。偏導(dǎo)存在不能推出可微。 0 , 0 , 0 ,),(222222yxyxyxxyyxf如如例例5. 函數(shù)可微的充分條件函數(shù)可微的充分條件 證明證明),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx

13、 ),(1 )10(1 在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個方括號內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）其中其中1 為為yx ,的函數(shù)的函數(shù), xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函數(shù)故函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微. 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當(dāng)當(dāng)0 y時，時，02 , 習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 方

14、法：方法：6. 全微分的計算全微分的計算 （2）dz= fx(x，y)dx+fy(x，y)dy （iii）P0(x0, ,y0)處且處且dx，dy給定時的微分給定時的微分 （1）先求）先求fx(x,y)、fy(x,y),判斷判斷f (x,y)的可微性。的可微性。 (利用充分條件）利用充分條件）幾類微分：幾類微分：(i) P(x,y)處的微分；處的微分； （ii）P0(x0,y0)處的微分；處的微分；例例1.（1）計算）計算z = x2y+y3的全微分；的全微分； （2）計算）計算z = x2y+y3在點在點(2，1)處的全微分；處的全微分； （3）計算計算z = x2y+y3在點在點( (2，

15、1) )處相應(yīng)于處相應(yīng)于 x=0.1，y=0.1 時的全微分。時的全微分。 解解 (1)223,2yxyzxyxz dyyxxydxdz)3(222 (2)7 , 4)1 ,2()1 ,2( yzxzdydxdz74 (3) 當(dāng)當(dāng)x=0.1，y=0.1時，時， 3 . 07 . 04 . 0 dz有有解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 7 多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在小結(jié)小結(jié) 本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)本節(jié)主要討論了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念。數(shù)及全微分的概念。 本節(jié)要求理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)本節(jié)要求理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及全微分的概念；了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何數(shù)及全微分的概念；了解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義；了解多元函數(shù)可微的充分與必要條件以及意義；了解多元函數(shù)可微的充分與必要條件以及多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。熟練掌握多元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系。熟練掌握多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算。多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計算。習(xí)題習(xí)題 6 62