（全國(guó)通用版）2022-2023高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量檢測(cè)A 新人教B版必修4

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1、（全國(guó)通用版）2022-2023高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量檢測(cè)A 新人教B版必修4 一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.下列說法中正確的是(　　) A.兩個(gè)單位向量的數(shù)量積為1 B.若a·b=a·c,且a≠0,則b=c C. D.若b⊥c,則(a+c)·b=a·b 解析:由于b⊥c,所以b·c=0,因此(a+c)·b=a·b+c·b=a·b,故D項(xiàng)正確. 答案:D 2.設(shè)e是單位向量,=2e,=-2e,||=2,則四邊形ABCD一定是(　　) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析:由=2

2、e,=-2e知,所以四邊形ABCD為平行四邊形. 又||=||=||=2, 所以四邊形ABCD為菱形. 答案:B 3.已知a=(-6,y),b=(-2,1),且a與b共線,則y等于 (　　) A.-6 B.6 C.3 D.-3 解析:由于a∥b,所以-6×1=-2y,y=3. 答案:C 4.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,則實(shí)數(shù)k的值為 (　　) A.6 B.-6 C.3 D.-3 解析:因?yàn)閏⊥d,所以c·d=0, 即(2a+3b)·(ka-4b)=2k-12=0,解得k=6. 答案:A 5.已知|a|=

3、1,|b|=,且a⊥(a-b),則向量a與向量b的夾角是(　　) A.30° B.45° C.90° D.135° 解析:因?yàn)閍⊥(a-b), 所以a·(a-b)=0,即|a|2-a·b=0, 于是1-1××cos=0,cos=, 故=45°. 答案:B 6.已知一物體在共點(diǎn)力F1=(lg 5,lg 2),F2=(lg 2,lg 2)的作用下產(chǎn)生位移s=(2lg 5,1),則此物體在共點(diǎn)力的作用下所做的功為(　　) A.lg 2 B.lg 5 C.2 D.3 解析:所做的功W=(F1+F2)·s=(lg 5+lg 2,2lg 2)·(2lg 5

4、,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2. 答案:C 7.在△ABC中,若()·=||2,則△ABC的形狀一定是(　　) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:()·=()·()=||2-||2, 于是||2-||2=||2, 所以||2=||2+||2, 故△ABC是直角三角形. 答案:C 8.在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,若點(diǎn)P在AM上,且滿足=2,則·()等于(　　) A.- B.- C. D. 解析:因?yàn)锳M=1,=2,所以||=. 于是·()=·(2)==-||2=-. 答案

5、:A 9.在△ABC中,AB邊的高為CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則等于(　　) A. a-b B. a-b C. a-b D. a-b 解析:因?yàn)閍·b=0,所以∠ACB=90°, 于是AB=,CD=, 所以BD=,AD=,即AD∶BD=4∶1, 所以)=a-b. 答案:D 10.定義:|a※b|=|a||b|sin θ,其中θ為向量a與b的夾角.若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,則|a※b|等于(　　) A.-8 B.8 C.8或-8 D.6 解析:因?yàn)閍·b=-6, 所以-6=2×5×cos θ, 于是cos θ=-,從而sin

6、 θ=, 故|a※b|=|a||b|sin θ=2×5×=8. 答案:B 二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上) 11.已知單位向量e1,e2的夾角為60°,則|2e1-e2|=　　　　　.? 解析:|2e1-e2|=. 答案: 12.已知|a|=10,|b|=8,a與b的夾角為120°,則向量b在向量a方向上的射影的數(shù)量等于　　　　　.? 解析:b在a方向上的射影的數(shù)量為=|b|cos=8×cos 120°=-4. 答案:-4 13.已知a=(1,1), b=(1,0),c滿足a·c=0,且|a|=|c|,b·c>0,則c=　

7、　　　　.? 解析:設(shè)c=(x,y). 由a·c=0,得x+y=0. ① 由|a|=|c|,得x2+y2=2. ② 由①②,得 ∵b·c>0, ∴x>0,∴c=(1,-1). 答案:(1,-1) 14.在菱形ABCD中,若AC=2,則=　　　　　.? 解析:設(shè)兩對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,則AO=OC=1,于是=2·()=2-2||2=0-2=-2. 答案:-2 15.若a=(sin θ,cos θ-2sin θ),b=(1,2),且|a|=|b|,則鈍角θ等于　　　　　.? 解析:因?yàn)閨a|=|b|, 所以, 即sin2θ+cos2θ+4sin2θ-4sin θco

8、s θ=5, 于是sin2θ-sin θcos θ=1, 從而-sin θcos θ=cos2θ. 因?yàn)棣仁氢g角,所以cos θ≠0, 于是-sin θ=cos θ,tan θ=-1,故θ=. 答案: 三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 16.(8分)已知向量a=(2,0),b=(1,4). (1)求2a+3b,a-2b; (2)若向量ka+b與a+2b平行,求k的值. 解:(1)∵a=(2,0),b=(1,4), ∴2a+3b=2(2,0)+3(1,4)=(4,0)+(3,12)=(7,12),a-2b=(2,0)-2(1,

9、4)=(2,0)-(2,8)=(0,-8). (2)依題意得ka+b=(2k,0)+(1,4)=(2k+1,4), a+2b=(2,0)+(2,8)=(4,8). ∵向量ka+b與a+2b平行, ∴8(2k+1)-4×4=0,解得k=. 17.(8分)已知向量a=(sin θ-cos θ,2cos θ+sin θ),b=(1,2). (1)若a∥b,求tan θ的值; (2)若a⊥b,求θ的值. 解:(1)由a∥b,得2(sin θ-cos θ)=2cos θ+sin θ, 即2sin θ-2cos θ=2cos θ+sin θ, 所以sin θ=4cos θ, 于是ta

10、n θ==4. (2)由a⊥b,得sin θ-cos θ+2(2cos θ+sin θ)=0, 即3sin θ+3cos θ=0, 即sin θ+cos θ=0, 從而tan θ=-1,故θ=kπ+(k∈Z). 18.(9分)如圖,已知AC,BD是梯形ABCD的對(duì)角線,E,F分別是BD,AC的中點(diǎn).求證:EF∥BC. 證明設(shè)=a,=b, 則=b-a. ∵,∴=λ=λb(λ∈R,λ≠0,且λ≠1). ∵E為BD的中點(diǎn), ∴(b-a). ∵F為AC的中點(diǎn), ∴ =) =)=)=(λb-a), ∴(λb-a)-(b-a) =b=. ∴EF∥BC. 19.(10

11、分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng); (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(-t)·=0,求t的值. 解:(1)由題設(shè)知=(3,5),=(-1,1),則 =(2,6),=(4,4). 所以||==2,||==4. 故所求的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為2,4. (2)由題設(shè)知=(-2,-1), -t=(3+2t,5+t). 由(-t)·=0, 得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 從而5t=-11,所以t=-. 20.(10分)如圖,M是矩形ABCD的邊CD上的一點(diǎn),AC與BM交于點(diǎn)N,BN=BM. (1)求證:M是CD的中點(diǎn); (2)若AB=2,BC=1,H是BM上異于點(diǎn)B的一動(dòng)點(diǎn),求的最小值. (1)證明設(shè)=m=n, 由題意知)=+m)=. 又+n+n()=(1-n)+n, ∴ ∴=m,即M是CD的中點(diǎn). (2)解:以B為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,BC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則由題意可設(shè)點(diǎn)H(-x,x),且0