(完整版)活用割補法求面積1

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1、在組合圖形中，除了多邊形外，還有由圓、扇形、弓形與三角形、矩形、平行四邊形、梯形等圖形組合而成的不規(guī)則圖形，為了計算它們的面積，常常需要變動圖形的位置或?qū)D形進(jìn)行分割、旋轉(zhuǎn)、拼補，使它變成可以計算出面積的規(guī)則圖形。就是在多邊形的組合圖形中,為了計算面積，有時也要用到割補的方法。 例1求下列各圖中陰影部分的面積： 分析與解：(1)如左下圖所示，將左下角的陰影部分分為兩部分，然后按照右下圖所示，將這兩部分分別拼補在陰影位置?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。 nx4x4電44一2=4.56。 (2)在題圖

2、虛線分割的兩個正方形中，右邊正方形的陰影部分是半徑為5的四分之一個圓，在左邊正方形中空白部分是半徑為5的四分之一個圓。 如下圖所示，將右邊的陰影部分平移到左邊正方形中?？梢钥闯?，原題圖的陰影部分正 好等于一個正方形的面積，為5x5=25。 例2在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段 （見右圖），求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾。 分析與解：陰影部分是一個梯形。我們用三種方法解答。 （1）割補法 從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形。將這兩個直角三角 形拼成一個長方形〔見下圏）。顯然，陰影部分正好是長方形的!所以康題

3、陰影部分占整個圖形面積的|、 （2）拼補法 將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形（下頁左上圖）。 顯絹圖中陰影面積占平行四邊形面積的冬根據(jù)商不變性質(zhì)，將陰影面 積和平行四邊行面積同時除以2,商不變。所以原題陰影部分占整個圖形面 （3）等分法 將原圖等分成9個小三角形（見右上圖），陰影部分占3個小三角形， 所以陰影部分占整個圏形面積的|= 注意，后兩種方法對任意三角形都適用。也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其它條件不變，結(jié)論仍然成立。 例3如左下圖所示，在一個等腰直角三角形中，削去一個三角形后，剩下一個上底長5厘米、下底長9厘米的等腰梯形（陰影部分

4、）。求這個梯形的面積。 分析與解：因為不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面積?？梢詮牡妊苯侨切闻c正方形之間的聯(lián)系上考慮。將四個同樣的等腰直角三角形拼成一個正方形（上頁右下圖），圖中陰影部分是邊長9厘米與邊長5厘米的兩個正方形面積之差，也是所求梯形面積的4倍。所以所求梯形面積是（9x9-5x5）一4=14（厘米2）。 例4在左下圖的直角三角形中有一個矩形，求矩形的面積。 分析與解：題中給出了兩個似乎毫無關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)，無法溝通與矩形的聯(lián)系。我們給這個直角三角形再拼補上一個相同的直角三角形（見右上圖）。因為A與A',B與B面積分別相等，所以甲、乙兩個矩形的面積相等。乙的面積是

5、4x6=24,所以甲的面積，即所求矩形的面積也是24。 例5下圖中，甲、乙兩個正方形的邊長的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面積大40厘米2。求乙正方形的面積。 甲乙 '~~a' 分析與解：如果從甲正方形中“挖掉”和乙正方形同樣大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（見左下圖）。 C 艮 ■ft L匕 C 頁 乙 把C割下，拼補到乙正方形的上面（見右上圖），這樣A,B，C三塊就合并成一個長20厘米的矩形，面積是40厘米2,寬是40-20=2（厘米）。這個寬恰好是兩個正方形的邊長之差，由此可求出乙正方形的邊長為（20-2）-2

6、=9（厘米），從而乙正方形的面積為9x9=81（厘米2）。 練習(xí)22 1?求下列各圖中陰影部分的面積: 2?以等腰直角三角形的兩條直角邊為直徑畫兩個半圓?。ㄒ娤聢D），直角邊長4厘米,求圖中陰影部分的面積。 3?在左下圖所示的等腰直角三角形中，剪去一個三角形后，剩下的部分是一個直角梯形 （陰影部分）。已知梯形的面積為36厘米2,上底為3厘米，求下底和高。 4?在右上圖中，長方形AEFD的面積是18厘米2，BE長3厘米，求CD的長。 5?下圖是甲、乙兩個正方形，甲的邊長比乙的邊長長3厘米，甲的面積比乙的面積大 45厘米2。求甲、乙的面積之和。 甲乙 6?

7、求下圖（單位：厘米）中四邊形ABCD的面積。 五年級奧數(shù)專題二十一:用等量代換求面積 一個量可以用它的等量來代替；被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個數(shù)，它們的差不變。前者是等量公理，后者是減法的差不變性質(zhì)。這兩個性質(zhì)在解幾何題時有很重要的作用，它能將求一個圖形的面積轉(zhuǎn)化為求另一個圖形的面積，或?qū)蓚€圖形的面積差轉(zhuǎn)化為另兩個圖形的面積差，從而使隱蔽的關(guān)系明朗化，找到解題思路。 例1兩個相同的直角三角形如下圖所示（單位：厘米）重疊在一起，求陰影部分的面積。 分析與解：陰影部分是一個高為3厘米的直角梯形，然而它的上底與下底都不知道，因而不能直接求出它的面積。因為三角形AB

8、C與三角形DEF完全相同，都減去三角形DOC后，根據(jù)差不變性質(zhì)，差應(yīng)相等，即陰影部分與直角梯形OEFC面積相等，所以求陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為求直角梯形OEFC的面積。直角梯形OEFC的上底為10-3=7（厘米），面積為（7+10）x2-2=17（厘米2）。 所以，陰影部分的面積是17厘米2。 例2在右圖中，平行四邊形ABCD的邊BC長10厘米，直角三角形ECB的直角邊EC長8厘米。已知陰影部分的總面積比三角形EFG的面積大10厘米2,求平行四邊形ABCD的面積。 分析與解：因為陰影部分比三角形EFG的面積大10厘米2,都加上梯形FGCB后，根據(jù)差不變性質(zhì)，所得的兩個新圖形的面積差

9、不變，即平行四邊行ABCD比直角三角形ECB的面積大10厘米2,所以平行四邊形ABCD的面積等于 10x8-2+10=50（厘米2）。 例3在右圖中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD 的面積大18厘米2。求ED的長。 分析與解：求ED的長，需求出EC的長；求EC的長，需求出直角三角形ECB的面積。因為三角形AFB比三角形EFD的面積大18厘米2,這兩個三角形都加上四邊形FDCB后,其差不變，所以梯形ABCD比三角形ECB的面積大18厘米2。也就是說，只要求出梯形ABCD的面積，就能依次求出三角形ECB的面積和EC的長，從而求出ED的長。 梯

10、形ABCD面積=(8+4)x6-2=36(厘米2)， 三角形ECB面積=36-18=18（厘米2）, EC=18一6x2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。 例4下頁上圖中，ABCD是7x4的長方形，DEFG是10x2的長方形，求三角形 BCO與三角形EFO的面積之差。 分析：直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì),將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個圖形的面積之差，而這兩個圖形的面積之差容易求出,那么問題就解決了。 解法一：連結(jié)B，E（見左下圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO,則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BEC與三角形

11、BEF的面積之差。所求為4x（10-7）一2-2x （10-7）一2=3。 解法二：連結(jié)C，F(xiàn)（見右上圖）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形CFO,則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為4x（10-7）一2-2x (10-7)一2=3。 解法三：延長BC交GF于H(見下頁左上圖)。三角形BCO與三角形EFO都加 上梯形COFH,則原來的問題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為(4+2) x(10-7)-2-2x(10-7)=3。 解法四：延長AB,FE交于H(見右上圖)。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形BHEO,

12、則原來的問題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。所求為4x (10-7)-(10-7)x(4+2)一2=3。［ 例5左下圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是4厘米，求三角形ABC的面積。 分析與解：這道題似乎缺少大正方形的邊長這個條件，實際上本題的結(jié)果與大正方形的邊長沒關(guān)系。連結(jié)AD(見右上圖)，可以看出，三角形ABD與三角形ACD的底都等于小正方形的邊長，高都等于大正方形的邊長，所以面積相等。因為三角形AFD是三角形ABD與三角形ACD的公共部分，所以去掉這個公共部分，根據(jù)差不變性質(zhì)，剩下的兩個部分，即三角形ABF與三角形FCD面積仍然相等。根據(jù)等量代換

13、，求三角形ABC的面積等于求三角形BCD的面積，等于4x4一2=8(厘米2)。 練習(xí)21 1?左下圖中，等腰直角三角形ABC的腰為10厘米，以C為圓心、CF為半徑畫弧線 EF,組成扇形CEF。如果圖中甲、乙兩部分的面積相等，那么扇形所在的圓的面積是多少? 2?右上圖（單位：厘米）是兩個相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積。 3?左下圖中，扇形ABD的半徑是4厘米，甲比乙的面積大3.44厘米2。求直角梯形ABCD 的面積。（n=3.14） 4?在右上圖的三角形中，D，E分別是所在邊的中點，求四邊形ADFE的面積。 5.下頁左上圖中，矩形ABCD的邊AB為4厘米，BC為6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面積大9厘米2,求ED的長。