高考數(shù)學二輪復習 第1部分 小題速解方略—爭取高分的先機 專題三 三角函數(shù)與解三角形 3 正、余弦定理及解三角形限時速解訓練 理

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限時速解訓練十　正、余弦定理及解三角形 (建議用時40分鐘) 一、選擇題(在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的) 1．在△ABC中，已知A＝，BC＝3，AB＝，則C＝(　　) A.或　　　　　　　　 B. C. D.或 解析：選B.由正弦定理＝，即sin C＝，因為0＜C＜π，所以C＝或C＝，因為c＝＜a＝3，所以C＜，則C＝，故選B. 2．已知△ABC的三邊分別為4,5,6，則△ABC的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.設a＝6，b＝5，c＝4，則由余弦定理得cos A＝＝，所以sin A＝＝，S△ABC＝54＝. 3．(2016山西朔州一模)若△ABC的三個內角滿足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，則△ABC(　　) A．一定是銳角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是鈍角三角形 D．可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形 解析：選C.由于sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，結合正弦定理可知，a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13，由于cos C＝＝＜0，∴C為鈍角，故△ABC是鈍角三角形． 4．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，則A等于(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由題意得c＝2b， cos A＝＝＝， ∴A＝. 5．(2016湖南常德調研)在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60，則BC邊上的高等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2ABBCcos B，即()2＝22＋AB2－22ABcos 60，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC邊上的高是ABsin 60＝. 6．(2016江西上饒一模)已知△ABC中，內角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，則△ABC的面積等于(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由正弦定理得sin B＝2sin Acos B，故tan B＝2sin A＝2sin ＝，又B∈(0，π)，所以B＝，又A＝，所以△ABC是正三角形，所以S△ABC＝bcsin A＝11＝. 7．張曉華同學騎電動自行車以24 km/h的速度沿著正北方向的公路行駛，在點A處望見電視塔S在電動車的北偏東30方向上，15 min后到點 B處望見電視塔在電動車的北偏東75方向上，則電動車在點B時與電視塔S的距離是(　　) A．2 km B．3 km C．3 km D．2 km 解析：選B.畫出示意圖如圖所示， 由條件知AB＝24＝6.在△ABS中， ∠BAS＝30，AB＝6，∠ABS＝180－75＝105， 所以∠ASB＝45.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3. 8．(2016河北衡水中學檢測)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a＝5bsin C且cos A＝5cos Bcos C，則tan A的值為(　　) A．5 B．6 C．－4 D．－6 解析：選B.由正弦定理及已知得sin A＝5sin Bsin C，① 又cos A＝5cos Bcos C，② 由②－①得cos A－sin A＝5(cos Bcos C－sin Bsin C)＝5cos(B＋C)＝－5cos A，∴sin A＝6cos A，∴tan A＝6，選B. 9．設銳角△ABC的三內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝1，B＝2A，則b的取值范圍為(　　) A．(，) B．(1，) C．(，2) D．(0,2) 解析：選B.∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A， ∴sin B＝2sin Acos A，∴b＝2acos A， 又∵a＝1，∴b＝2cos A， ∵△ABC為銳角三角形，∴0＜A＜，0＜B＜，0＜C＜，即0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－A－2A＜，∴＜A＜，∴＜cos A＜，∴1＜2cos A＜， ∴b∈(1，)． 10．(2016北京東城一模)在銳角△ABC中，AB＝3，AC＝4，S△ABC＝3，則BC＝(　　) A．5 B.或 C. D. 解析：選D.由S△ABC＝ABACsin∠BAC＝34sin∠BAC＝3，得sin∠BAC＝，因為△ABC為銳角三角形，所以∠BAC∈，故∠BAC＝，在△ABC中，由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2ACABcos∠BAC＝42＋32－243cos＝13.所以BC＝，故選D. 11．已知△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且acos C＋c＝b，若a＝1，c－2b＝1，則角B為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.因為acos C＋c＝b，所以sin Acos C＋sin C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C，因為sin C≠0，所以cos A＝，因為A為△ABC的內角，所以A＝，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，知1＝b2＋c2－bc，聯(lián)立解得c＝，b＝1，由＝，得sin B＝＝＝，∵b＜c，∴B＜C，則B＝，故選B. 12．在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若a2＋b2＝2 018c2，則的值為(　　) A．0 B．1 C．2 017 D．2 018 解析：選C. ＝ ＝ ＝ ＝cos C＝＝ ＝＝2 017，故選C. 二、填空題(把答案填在題中橫線上) 13．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，那么＝________. 解析：由正弦定理得＝＝＝. 答案： 14．已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為，a＝3，B＝，則b＝________. 解析：由題意可得S＝acsin B，解得c＝1，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝9＋1－3＝7，故b＝. 答案： 15．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠B＝30，△ABC的面積為，則∠C＝________. 解析：由正弦定理得sin C＝＝.又S△ABC＝ACBCsin C＝，所以BC＝2.因為AB＜BC，所以∠C＜∠A，所以∠C＝60. 答案：60 16．在△ABC中，角A、B、C所對邊的邊長分別為a、b、c，設S是△ABC的面積，若2Ssin A＜()sin B，則下列結論中： ①a2＜b2＋c2；②c2＞a2＋b2； ③cos Bcos C＞sin Bsin C；④△ABC是鈍角三角形． 其中正確結論的序號是________． 解析：∵2Ssin A＜()sin B， ∴2bcsin Asin A＜cacos Bsin B， ∴bcsin Asin A＜acsin Bcos B， 又由正弦定理可得：bsin A＝asin B＞0， ∴cos B＞sin A＞0，∴A、B均是銳角，而cos B＝sin(90－B)，故有sin(90－B)＞sin A，即90－B＞A，則A＋B＜90，∴C＞90，∴△ABC是鈍角三角形，∴由余弦定理可得：cos C＝＜0，cos A＝＞0，即有c2＞a2＋b2，a2＜b2＋c2，故①②④正確； ∵cos Bcos C－sin Bsin C＝cos(B＋C)＝－cos A＜0，故③不正確，故答案為①②④. 答案：①②④