2022年拋物線的參數(shù)方程

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1、14.拋物線的參數(shù)方程主備：審核：學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解橢圓的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程及參數(shù)的意義；2.掌握橢圓的參數(shù)方程，并能解決一些簡單的問題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，學(xué)習(xí)難點(diǎn)：橢圓參數(shù)方程中參數(shù)的意義.學(xué)習(xí)過程：一、課前準(zhǔn)備：閱讀教材3334PP的內(nèi)容，理解拋物線的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程，并復(fù)習(xí)以下問題：1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：（1）223xtytt（t為參數(shù)），答：253xxy；（2）224xmym（m為參數(shù)），答：28xy.2.將下列普通方程化為參數(shù)方程：（1）22xy，其中1xtt（t為參數(shù)），答：221224xttytt；（2）234yx，其中xt（0t為參數(shù)），答：2 33xt

2、ty.二、新課導(dǎo)學(xué)：（一）新知：拋物線的參數(shù)方程的推導(dǎo)過程：如圖：設(shè)(,)M x y為拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，以射線OM為終邊的角記為，當(dāng)在(,)22內(nèi)變化時(shí)，點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動，并且對于的每一個(gè)值，在拋物線上都有唯一的M點(diǎn)與對應(yīng).因此，可以取為參數(shù)探求拋物線的參數(shù)方程.根據(jù)三角函數(shù)的定義得，tanyx，即tanyx，聯(lián)立22ypx，得22tan2tanpxpy（為參數(shù)），這為拋物線的不含頂點(diǎn)的參數(shù)方程，但方程的形式不夠簡潔，設(shè)1tant，(,0)(0,)tU，則222xptypt（t為參數(shù)），當(dāng)0t時(shí)，由參數(shù)方程得，正好為頂點(diǎn)(0,0)O，因此當(dāng)(,)t時(shí)，上式為22ypx的參數(shù)方程.注

3、意：參數(shù)t的幾何意義為：表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù).動動手：（1）選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)t，建立拋物線22xpy的參數(shù)方程.yxOM(x,y)名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 1 頁，共 4 頁 -【解析】如圖，(0,)(,)22U，根據(jù)三角函數(shù)的定義得，tanytx，即yxt，聯(lián)立22xpy，得222xptypt（t為參數(shù)）.（2）可選擇M到準(zhǔn)線的距離t為參數(shù)，22ypx的參數(shù)方程是怎樣的？【解析】如圖，|MAt，則2pxt，代入拋物線方程，得22yptt，所以，拋物線的參數(shù)方程為222pxtyptt（t為參數(shù)）.（二）典型例題：【例 1】A、B是拋物線22

4、yx上異于頂點(diǎn)的兩動點(diǎn)，且OAOB，OMAB并與AB相交于M，求點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】方法一：設(shè)(,)M x y，211(2,2)Att，222(2,2)Btt1212(,0)tttt且.由OAOBuuu ruuu r，所以0OA OBuuu ru uu r，221 21 2(2)20t tt t，1 21t t又OMABuuu u ruu u r，所以0OMABuuuu r uuu r，2221212()2()0 x tttt.所以12()0 x tty，12(0)yttxx又211(2,2)AMxtytuuuu r，222(2,2)MBtxtyu uu r且A，M，B共線.221212(

5、2)(2)(2)(2)xttyyttx，即121 2()20y ttt tx由，代入，得到2220(0)xyxx，這就是所求M點(diǎn)的軌跡方程.方法二：設(shè)2111(,)(0)2yAyy，2222(,)(0)2yByy，因?yàn)镺AOB，所以221212022yyy y，124y y，直線AB的方程為：211122()2yyyxyy，即122(2)yxyy，所以直線AB過定點(diǎn)(2,0)Cp又OMAB，所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，則M的軌跡方程為222()(0)xpypy.動動手：已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是拋物線222xptypt（t為參數(shù)）上異于頂點(diǎn)的兩動點(diǎn)，且OAOB，求ABM中點(diǎn)的軌跡方程【解

6、析】設(shè))2,2(121ptptA，)2,2(222ptptB，由OAOB，得121tt，AyxOM(x,y)M(x,y)OxyABAyxOM(x,y)名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 2 頁，共 4 頁 -又中點(diǎn)),(yxM由)(222)(222212122212221ttpptptyttpptptx，結(jié)合121tt，得點(diǎn)M的方程為:)2(2pxpy.三、總結(jié)提升：1.弄清拋物線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，特別是參數(shù)t對應(yīng)的角的取值范圍，會將拋物線的參數(shù)方程與普通方程互化.2.拋物線22(0)ypx p上任意一點(diǎn)可以設(shè)為2(2,2)Mptpt.3.在求軌跡方程時(shí)，可以考慮用參數(shù)的

7、方式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo).四、反饋練習(xí)：1.若點(diǎn)(3,)Pm在以點(diǎn)F為焦點(diǎn)的拋物線24()4xttyt為參數(shù)上，則PF等于（C）A2B3C4D52.拋物線22xmym（m為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（B）A(1,0)B(0,1)C(0,2)D(2,0)3.已知曲線22()2xpttpypt為參數(shù)為正常數(shù),上的兩點(diǎn),M N對應(yīng)的參數(shù)分別為12tt和，120tt且，那么MN（C）A1p tB12p tC14p tD18p t4.若曲線222xptypt（t為參數(shù)）上異于原點(diǎn)的不同的兩點(diǎn)1M、2M所對應(yīng)的參數(shù)分別是1t、2t，求12M M所在直線的斜率.【解析】由于1M、2M所對應(yīng)的參數(shù)分別是1t、2t，所以可設(shè)

8、兩點(diǎn)1M、2M坐標(biāo)分別為22111222(2,2),(2,2)MptptMptpt，所以，112222121222122M Mptptkptpttt.5.A、B是拋物線22yx上異于頂點(diǎn)的兩動點(diǎn)，且OAOB，點(diǎn)A、B在什么位置時(shí)，AOB的面積最?。孔钚≈凳嵌嗌?？【解析】設(shè)211(2,2)Att，222(2,2)Btt1212(,0)tttt且，則211|2|1OAtt，222|2|1OBtt，因?yàn)镺AOB，所以1 21t t，所以221 2122|(1)(1)AOBSt ttt221222tt2122()4tt4，當(dāng)且僅當(dāng)12tt時(shí)，即A、B關(guān)于x軸對稱時(shí)AOB面積最小，最小面積為4.五、學(xué)后反思：名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 3 頁，共 4 頁 -名師資料總結(jié)-精品資料歡迎下載-名師精心整理-第 4 頁，共 4 頁 -