高中數(shù)學(xué) 第三講 圓錐曲線性質(zhì)的探討 3_3 平面與圓錐面的截線練習(xí) 新人教A版選修4-1

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3.3 平面與圓錐面的截線 A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．用一個(gè)過圓錐面頂點(diǎn)的平面去截圓錐面，則截線為(　　) A．橢圓　　　　　　 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條相交直線 答案：D 2．平面π與圓錐的母線平行，那么它們交線的離心率是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C.　　　　D．無法確定 解析：由題意，知交線為拋物線，故其離心率為1. 答案：A 3．一圓錐面的母線和軸線成30角，當(dāng)用一與軸線成30的不過頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，則所截得的截線是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．兩條相交直線 答案：C 4．一組平行平面與一圓錐的交線，具有(　　) A．相同的焦距 B．相同的準(zhǔn)線 C．相同的焦點(diǎn) D．相同的離心率 解析：因?yàn)槠叫衅矫媾c圓錐軸線夾角相等，所以由e＝可知，它們有相同的離心率． 答案：D 5．雙曲線的兩條準(zhǔn)線把兩焦點(diǎn)所連線段三等分，則它的離心率為(　　) A. B. C. D．2 解析：由題意知2c＝3，所以e＝. 答案：B 二、填空題 6．用一個(gè)平面去截一個(gè)正圓錐，而且這個(gè)平面不通過圓錐的頂點(diǎn)，則會(huì)出現(xiàn)四種情況：________、________、________、和________． 答案：圓、橢圓、拋物線、雙曲線 7．一平面截圓錐的截線為橢圓，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離分別是6和10，則橢圓的離心率為________． 答案： 8．已知F1，F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，PQ是經(jīng)過F1且垂直于F1F2的弦．已知∠PF2Q＝90，則雙曲線的離心率是________． 解析：如圖所示，由對(duì)稱性知△PF2Q是等腰直角三角形，點(diǎn)F1為PQ中點(diǎn)， 所以F1F2＝PF1， 設(shè)雙曲線的焦距為2c，實(shí)軸長(zhǎng)為2a， 則PF1＝2c，所以PF2＝2c. 由雙曲線結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，PF2－PF1＝2a， 即2c－2c＝2a，所以＝＋1. 所以e＝＋1. 答案：＋1 三、解答題 9．已知一圓錐面S的軸線為Sx，軸線與母線的夾角為30，在軸上取一點(diǎn)O，使SO＝3 cm，球O與這個(gè)錐面相切，求球O的半徑和切圓的半徑． 解：如下圖所示，OH＝SO＝cm， HC＝OHsin 60＝＝cm. 所以球O的半徑為cm，切點(diǎn)圓的半徑為cm. 10．已知圓錐面S，其母線與軸線所成的角為30，在軸線上取一點(diǎn)C，使SC＝5，通過點(diǎn)C作一截面δ使它與軸線所成的角為 45，截出的圓錐曲線是什么樣的圖形？求它的離心率及圓錐曲線上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和． 解：由題可知，截出的圓錐曲線是橢圓． e＝＝＝. 設(shè)圓錐曲線上任意一點(diǎn)為M，其兩焦點(diǎn)分別為點(diǎn)F1、F2，MF1＋MF2＝AB. 設(shè)圓錐面內(nèi)切球O1的半徑為R1，內(nèi)切球O2的半徑為R2. 因?yàn)镾O1＝2R1，CO1＝R1， 所以SC＝(2＋)R1＝5， 即R1＝. 因?yàn)镾O2＝2R2，CO2＝R2， 所以SC＝(2－)R2＝5， 即R2＝. 因?yàn)镺1O2＝CO1＋CO2＝(R1＋R2)＝10， 所以AB＝O1O2cos 30＝O1O2＝5， 即MF1＋MF2＝5. B級(jí)　能力提升 1．設(shè)平面π與圓柱的軸的夾角為β(0<β<90)，現(xiàn)放入Dandelin雙球使之與圓柱面和平面π都相切，若已知Dandelin雙球與平面π的兩切點(diǎn)的距離恰好等于圓柱的底面直徑，則截線橢圓的離心率為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：Dandelin雙球與平面π的切點(diǎn)恰好是橢圓的焦點(diǎn)，圓柱的底面直徑恰好等于橢圓的短軸長(zhǎng)，由題意知，2b＝2c. 所以e＝＝＝＝. 答案：B 2．已知圓錐面的軸截面為等腰直角三角形，用一個(gè)與軸線成 30角的不過圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的截線是_____． 解析：圓錐軸截面為等腰直角三角形，則軸線與母線成45角，又30<45，故截線為雙曲線． 答案：雙曲線 3．已知圓錐面S，母線與軸線所成的角為45，在軸線上取一點(diǎn)C，使SC＝5，過點(diǎn)C作一平面與軸線的夾角等于30，所截得的曲線是什么樣的圖形？求兩個(gè)焦球的半徑． 解：所截得的曲線是雙曲線． 設(shè)焦球O的半徑為R. 因?yàn)镾O＝R，OC＝2R， 所以SC＝(2＋)R＝5， 即R＝＝. 設(shè)另焦球O′的半徑為R′， 則OO′＝＝(R＋R′)， 又截面與軸線的夾角為30， 所以R′－R＝OO′＝(R＋R′)， 所以R′＝(3＋2)R＝.