高中數(shù)學(xué)必修二 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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1、高中數(shù)學(xué)必修2 第一章 立體幾何初步 特殊幾何體表面積公式（c為底面周長(zhǎng)，h為高，為斜高，l為母線） 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 （4）球體的表面積和體積公式：V= ； S= 第二章 直線與平面的位置關(guān)系 2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 1 平面含義：平面是無(wú)限延展的 2 三個(gè)公理： （1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). 符號(hào)表示為 L A ·

2、 α A∈L B∈L => L α A∈α B∈α 公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi). C · B · A · α （2）公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線 => 有且只有一個(gè)平面α， 使A∈α、B∈α、C∈α。 公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。 P · α L β （3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。 符號(hào)表示為：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L 公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù). 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

3、 1 空間的兩條直線有如下三種關(guān)系： 共面直線 相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 平行直線：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)； 異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。 2 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線 =>a∥c a∥b c∥b 強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。 公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。 3 等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ). 4 注意點(diǎn)： ① a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，

4、與O的選擇無(wú)關(guān)，為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上； ② 兩條異面直線所成的角θ∈(0， )； ③ 當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b； ④ 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； ⑤ 計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。 — 2.1.4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系 1、直線與平面有三種位置關(guān)系： （1）直線在平面內(nèi) —— 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn) （2）直線與平面相交 —— 有且只有一個(gè)公共點(diǎn) （3）直線在平面平行 —— 沒(méi)有公共點(diǎn) 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平

5、面外，可用a α來(lái)表示 a α a∩α=A a∥α 2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 直線與平面平行的判定 1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。 簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。 符號(hào)表示： a α b β => a∥α a∥b 平面與平面平行的判定 1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。 符號(hào)表示： a β b β a∩b = P β∥α a∥α b∥α

6、 2、判斷兩平面平行的方法有三種： （1）用定義； （2）判定定理； （3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。 — 2.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì) 1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。 符號(hào)表示： a ∥α a β a∥b α∩β= b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。 2、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。 符號(hào)表示： α∥β α∩γ= a a∥b

7、 β∩γ= b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 直線與平面垂直的判定 1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。 P a

8、 L 2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 注意點(diǎn)： a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視； b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。 平面與平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形 A 梭 l β B 　　α 2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β 3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4直線

9、與平面、平面與平面垂直的性質(zhì) 1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。 2、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理： 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。 第三章 直線與方程 （1）直線的傾斜角 定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180° （2）直線的斜率 ①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), α=0°, k

10、 = tan0°=0; 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°, k 不存在. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，不存在。 ②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2） 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°； (2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān)； (3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 （3）直線方程 ①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過(guò)點(diǎn) 注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。 當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直

11、線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b ③兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)， ④截矩式：其中直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),即與軸、軸的截距分別為。 ⑤一般式：（A，B不全為0） 注意：各式的適用范圍 特殊的方程如： 平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （6）兩直線平行與垂直 當(dāng)，時(shí)， ； 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

12、 （7）兩條直線的交點(diǎn) 相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。 方程組無(wú)解 ； 方程組有無(wú)數(shù)解與重合 （8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)， 則 （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離 （10）兩平行直線距離公式 已知兩條平行線直線和的一般式方程為：， ：，則與的距離為 第四章 圓與方程 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為圓的半徑。 2、圓的方程 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為r； 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系： 當(dāng)

13、>，點(diǎn)在圓外 當(dāng)=，點(diǎn)在圓上 當(dāng)<，點(diǎn)在圓內(nèi) （2）一般方程 當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為 當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。 （3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)； 另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以此來(lái)確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況： （1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為 ，則有；； （2）過(guò)圓外一點(diǎn)的切

14、線：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】 (3)過(guò)圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過(guò)此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。 設(shè)圓， 兩圓的位置關(guān)系常通過(guò)兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來(lái)確定。 當(dāng)時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條； 當(dāng)時(shí)兩圓外切，連心線過(guò)切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當(dāng)時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線； 當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，只有一條公切線； 當(dāng)時(shí)，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)時(shí)，為同心圓。 注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線 圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)