《偏導(dǎo)數(shù)與全微分 (1)【基礎(chǔ)教學(xué)】》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《偏導(dǎo)數(shù)與全微分 (1)【基礎(chǔ)教學(xué)】（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y,xfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 00y,x某鄰域內(nèi)有定義，某鄰域內(nèi)有定義，固定不變時(shí)，固定不變時(shí)，0yy 即即 一元函數(shù)一元函數(shù) 0 xx 在在 ）（0,yxf處可導(dǎo)，處可導(dǎo)，xyxfyxxfx 00000,lim存在，存在，則稱此極限值為函數(shù)則稱此極限值為函數(shù) y,xf在點(diǎn)在點(diǎn) 00y,x處對(duì)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。記作記作 ,xzyyxx00 ,xfyyxx00 ,00yyxxxz 或或 .,00yxfx 即即 xyxfyxxfyxfxx 0000000,lim,當(dāng)當(dāng) 1蒼松優(yōu)選類似定義類似定義函數(shù)函數(shù) y,xf對(duì)對(duì) 的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)(函函)數(shù)數(shù)。y記作記作 ,yz ,yf
2、 ,yz yxfy,y,xf在點(diǎn)在點(diǎn) 00y,x處對(duì)處對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)定義為的偏導(dǎo)數(shù)定義為:函數(shù)函數(shù)y yyxfyyxfyxfyy 0000000,lim,也記作也記作,yzyyxx00 ,yfyyxx00 ,00yyxxyz 或或 .,00yxfy 偏導(dǎo)偏導(dǎo)(函函)數(shù)。數(shù)。記作記作,xz ,xf ,xz .,yxfx 若函數(shù)若函數(shù) y,xf內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn) y,x處對(duì)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)都的偏導(dǎo)數(shù)都 在區(qū)域在區(qū)域 D存在，存在，y,x的函數(shù)的函數(shù),則這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是則這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是 稱為函數(shù)稱為函數(shù) y,xf對(duì)對(duì) x的的 2蒼松優(yōu)選根據(jù)一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可。根據(jù)一元函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)
3、法則求導(dǎo)即可。2.對(duì)多元函數(shù)求關(guān)于某一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)對(duì)多元函數(shù)求關(guān)于某一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí),只需視其它只需視其它 變量為常數(shù)變量為常數(shù),例如三元函數(shù)例如三元函數(shù) z,y,xf在點(diǎn)在點(diǎn) z,y,x處關(guān)于處關(guān)于 x的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為:zyxfx,xzyxfzyxxfx ,lim0類似地類似地?,zyxfy?,zyxfz1.偏導(dǎo)函數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).3.?;,000000yyxxxxyyxxyfdxyxdfxf 3蒼松優(yōu)選例例1 求求223yxyxz 處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù).在點(diǎn)在點(diǎn) 21,解解xz ;32yx yz .yx23 21 yxyz
4、.7 21yxxz;8例例2 求求 10 x,xxzy的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。解解xz ;1yyxyz .ln xxy法一：法一：法二：法二：,462,2xxxz,622,xxzx821yxxz,31,12yyyz,23,1yyzy.721yxyz4蒼松優(yōu)選例例3 已知理想氣體狀態(tài)方程已知理想氣體狀態(tài)方程pV=RT（R為常數(shù)），求證：為常數(shù)），求證：1pTTVVp證證 因?yàn)橐驗(yàn)?;,2VRTVpVRTp;,pRTVpRTV.,RVpTRpVT所以所以 12pVRTRVpRVRTpTTVVp對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，dxdy可以看成是函數(shù)的微分可以看成是函數(shù)的微分 dy與自變量與自變量 的微分
5、的微分 dx之商，但上式表明，偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)，之商，但上式表明，偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)，不能看成是分子與分母之商。不能看成是分子與分母之商。5蒼松優(yōu)選yzxO二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:類似地類似地,00,yxfy 在幾何上表示空間曲線在幾何上表示空間曲線 0 xxy,xfz在點(diǎn)在點(diǎn) 0000z,y,xM處的切線對(duì)處的切線對(duì) 軸的軸的斜率斜率。y 00,yxfx 0y,xf是一元函數(shù)是一元函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù),由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù) 的幾何意義知：的幾何意義知：表示空間曲線表示空間曲線 0yyy,xfz在點(diǎn)在點(diǎn) 0000z,y,xM處的
6、切線對(duì)處的切線對(duì)x軸的軸的斜率斜率。00,yxfx 在幾何上在幾何上 0M0,yyyxfz0,xxyxfz0 x 0y y,xfz 0000,xxxdxyxdfyxf 00,yx6蒼松優(yōu)選例例4 求函數(shù)求函數(shù) 0000022,y,x,y,x,yxxyy,xf在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù).解解 0,0 xf xfxfx 0,00,0lim0 xxxx 000lim20,0 0,0yf yfyfy 0,00,0lim0yyyy 000lim20.0 本例說(shuō)明本例說(shuō)明,二元函數(shù)在某一點(diǎn)處各偏導(dǎo)數(shù)都存在二元函數(shù)在某一點(diǎn)處各偏導(dǎo)數(shù)都存在,但未必連續(xù)但未必連續(xù).例例5二元函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系二元
7、函數(shù)的連續(xù)性與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是是否否存存在在？）的的在在（討討論論)0,0(),0,0(0,0),(yxffyxyxg 解解不存在，同理不存在，同理xxxfxffxxx 00lim)0,0()0,0(lim)0,0()0,0(yf 也不存在也不存在7蒼松優(yōu)選）連續(xù)。）連續(xù)。在（在（顯然顯然0,0),(yxyxg 一元函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)則一定在該點(diǎn)連續(xù)，但二元函數(shù)在一一元函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)則一定在該點(diǎn)連續(xù)，但二元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，它在該點(diǎn)處不一定連續(xù)。一元函數(shù)在一點(diǎn)處點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在，它在該點(diǎn)處不一定連續(xù)。一元函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù)則在該點(diǎn)處一定不可導(dǎo)，但二元函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù)，不連續(xù)則在該點(diǎn)處一定不
8、可導(dǎo)，但二元函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿平行于坐標(biāo)軸的方向趨于沿平行于坐標(biāo)軸的方向趨于0P時(shí)時(shí))()(0PfPf趨向于趨向于不能保證不能保證P以其它任意方式趨于以其它任意方式趨于0P時(shí)，時(shí)，。都趨于都趨于)()(0PfPf它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)可能存在。它在該點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)可能存在。原因原因本例說(shuō)明：二元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但在該點(diǎn)連續(xù)本例說(shuō)明：二元函數(shù)在一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但在該點(diǎn)連續(xù)8蒼松優(yōu)選設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y,xfz 在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù) ,yxfxzx .,yxfyzy 若這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，若這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，稱其為函數(shù)稱其為函
9、數(shù) y,xfz 的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù).xzx22xz ,yxfxx xzyyxz 2 ,yxfxy yzy22yz ,yxfyy yzxxyz 2 ,yxfyx 二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù).類似可定義三階、四階及更高階的偏導(dǎo)數(shù)，類似可定義三階、四階及更高階的偏導(dǎo)數(shù)，定理定理 則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)則在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)必相等混合偏導(dǎo)數(shù)必相等.y,xfz 在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)的兩個(gè)內(nèi)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),若函數(shù)若函數(shù) P-1139蒼松優(yōu)選,yyyx 32233xz yz xzx22xz xzyyxz 2 yzy22yz 解解,xy26,
10、xxyyx 2392例例5.設(shè)設(shè)求它的二階及三階偏導(dǎo)數(shù)求它的二階及三階偏導(dǎo)數(shù).,xyxyyxz13323 ,yyx19622 ,xyx1823 yzxxyz 2,yyx19622 再求再求33xz 22xzx,y26 33yz 22yzy,x18 yxz 23 22xzy,xy12 23yxz yxzy2.yx1862 10蒼松優(yōu)選證證xu 21r 22222zyxx ,rx31 22xu 31r 22243zyxxrx 523rx由自變量的對(duì)稱性知由自變量的對(duì)稱性知 22yu 31r 523rz31r 31r 523ry22zu 22xu 22yu 22zu 33r 52223rzyx.0
11、22xu 22yu .022zu例例6.證明函數(shù)證明函數(shù) ru1 滿足方程滿足方程 222zyxr(拉普拉斯方程拉普拉斯方程)11蒼松優(yōu)選設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y,xfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 00,yx某鄰域內(nèi)有定義，某鄰域內(nèi)有定義，分別給分別給00,yx 0000,yxfyyxxfz 以增量以增量,yx 、函數(shù)相應(yīng)的增量稱為函數(shù)相應(yīng)的增量稱為全增量全增量，記作記作.z ,oyBxAz P-114yBxAyxdfdzyx ),(|00,00）（全微分：全微分：的全增量可表示為的全增量可表示為 若函數(shù)若函數(shù) y,xfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 00,yxyBxA 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處處可微分可微分.
12、y,xfz 00,yx記作記作 處的處的全微分全微分.y,xfz 在點(diǎn)在點(diǎn) 00,yx其中其中 B,A僅與僅與 00,yx有關(guān)有關(guān)，,yx22 y,x 無(wú)關(guān)，無(wú)關(guān)，與與 dxxfdyxoxAxfxxfy)()()()(000一元函數(shù)微分的定義12蒼松優(yōu)選若函數(shù)若函數(shù) y,xfz 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分內(nèi)各點(diǎn)處都可微分,在在D內(nèi)可微分內(nèi)可微分.則稱函數(shù)則稱函數(shù) 引理引理:事實(shí)上事實(shí)上,由由 ,oyBxAz 知知,0lim00 zyx ,y,xfyy,xxfz 再由再由知知yyxxfyx ,lim00yxfzyx,lim00 yxf,若函數(shù)若函數(shù) y,xfz 在點(diǎn)在點(diǎn) y,x處處可微分可微
13、分，則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn) 必連續(xù)必連續(xù)。函數(shù)可微分與偏導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？函數(shù)可微分與偏導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？（或可微分的充分、（或可微分的充分、必要條件是什么？）必要條件是什么？）問(wèn)題問(wèn)題：連續(xù)是可微的必要條件連續(xù)是可微的必要條件不不可可微微處處不不連連續(xù)續(xù)，則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處在在),(),(00yxyxf13蒼松優(yōu)選證證固定固定 y，則則 ,y0|,x|yxfyxxfz,xoxA xyxfyxxfx ,lim0A xz同理可證同理可證 ,Byz 證畢證畢.yyzxxzdz 定理定理1(可微的必要條件可微的必要條件)且有且有 若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)處處可微分可微分，y,xfz y,x則該函數(shù)在點(diǎn)
14、則該函數(shù)在點(diǎn) 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)yz,xz 必定存在必定存在,y,x由由 ,oyBxAz xxoxAx 0limyzBxzA 14蒼松優(yōu)選習(xí)慣上，我們將自變量的增量習(xí)慣上，我們將自變量的增量 dyyzdxxzdz yx ,分別記作分別記作 ,dydx并分別并分別 稱為自變量稱為自變量x、y的微分。則函數(shù)的微分。則函數(shù) yxfz,的全微分就可寫為的全微分就可寫為 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件 事稱為二元函數(shù)的微分符合事稱為二元函數(shù)的微分符合。,zyxfu dzzudyyudxxudu 疊加原理也適合二元以上的函數(shù)，如疊加原
15、理也適合二元以上的函數(shù)，如 xdxdzxyxfz ),(ydydzyyxfz ),(15蒼松優(yōu)選 000),(222222yxyxyxxyyxf一元函數(shù)一元函數(shù) 在（在（0,0）處偏導(dǎo)數(shù)存在）處偏導(dǎo)數(shù)存在在（在（0,0）不連續(xù)，故不可微。）不連續(xù)，故不可微。二元函數(shù)二元函數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)存在，一定可寫出偏導(dǎo)數(shù)存在，一定可寫出?,嗎嗎它它不不是是 dzyfxfyx yfxfdzyfxfzyxyx 才有才有的高階無(wú)窮小時(shí)，的高階無(wú)窮小時(shí)，是是僅當(dāng)僅當(dāng) 函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件，而不是函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件，而不是充分條件。充分條件。在該點(diǎn)處不可微。在該點(diǎn)處不可微。處的偏
16、導(dǎo)數(shù)不存在，則處的偏導(dǎo)數(shù)不存在，則在在若若0),(Pyxf16蒼松優(yōu)選例如，函數(shù)例如，函數(shù) 0,0,00,0,22yxyxyxxyyxf處處,在在 00,.00,000,0yxff、但但dz不存在。不存在。yfxfzyx 0,00,0,22yxyx 若若 y,xP 沿著直線沿著直線 xy 趨于趨于 00,時(shí)，時(shí)，2200yxyxlimxyx 2200yxyxlimxyx 220limxxxxx 21 當(dāng)當(dāng)0 時(shí)，時(shí)，y,fx,fzyx 0000并不是并不是 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小 所以函數(shù)在所以函數(shù)在 00,處的微分不存在。處的微分不存在。yfxfzyx0,00,0 yfxfzyx 0,00
17、,017蒼松優(yōu)選定理定理2(充分條件充分條件)則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分可微分.若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) y,xfz yzxz 、y,x連續(xù)連續(xù),反之不一定成立，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是可微的充分條件而反之不一定成立，因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是可微的充分條件而非必要條件。如下例非必要條件。如下例 p-11618蒼松優(yōu)選 0),(00),(1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf證證明明在（在（0,0）處可微，但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。）處可微，但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。證明（證明（1）01sin)(lim)0,0()0,0(lim)0,0(200 xxxxfxffxxx0)0,0(yf同理同
18、理2222)()(1sin)()()0,0(),(yxyxfyxfz 0)()(1sin)()(lim)0,0()0,0(lim22220000 yxyxyfxfzyxyxyx 22)()(yx 0000)0,0(|)0,0(yxdfdz19蒼松優(yōu)選 )0,0(),(0)0,0(),(1cos21sin2),(222222yxyxyxyxxyxxyxfx不存在不存在)21cos221sin2(lim),(lim22000 xxxxyxfxxxyx 不不連連續(xù)續(xù)在在不不存存在在即即)0,0(),(),(lim00yxfyxfxxyx 20蒼松優(yōu)選解解dyyzdxxzdz xydx2 dyyx22
19、 dzzudyyudxxudu dx dyzeyyz2cos21dzyeyz dzzudyyudxxudu dxyzxyz 1 dyxzxyzlndzxyxyzln例例1.求下列函數(shù)的全微分求下列函數(shù)的全微分:;2sin2 ;122yzeyxuyyxz 103 x,xxuyz（1）（2）（3）21蒼松優(yōu)選二元函數(shù)中極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微分之間的關(guān)系：二元函數(shù)中極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微分之間的關(guān)系：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 可微分可微分 連續(xù)連續(xù) 極限存在極限存在 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 22蒼松優(yōu)選小結(jié)：小結(jié)：偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,lim,0000000 xyxfyxxfyxfxx ,00yyxxxz,
20、00yyxxxf,00yyxxxz.,00yxfx?,00yxfy,xz ,xf ,xz.,yxfx偏導(dǎo)偏導(dǎo)(函函)數(shù)數(shù) 全微分全微分 全增量全增量 y,xfyy,xxfz dyyzdxxzdz 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義；高階偏導(dǎo)數(shù)及求法。偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義；高階偏導(dǎo)數(shù)及求法。二元函數(shù)可微二元函數(shù)可微 oyBxAz oyyxfxyxfzyx 0000,23蒼松優(yōu)選22xz 例例7.驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù) 22lnyxz滿足方程滿足方程 .yz022 證證,ln2122yxzxz 22xz 22yz ,yxx22 yz ,yxy22 222222yxxxyx,22222yxxy222222yxyyyx.2222
21、2yxyx22xz 22yz 22222yxxy22222yxyx.0 24蒼松優(yōu)選例例1 求求yxz2sin2的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解解xz ;2sin2yxyz .2cos22yx25蒼松優(yōu)選2006年研究生入學(xué)試題年研究生入學(xué)試題 數(shù)學(xué)一、二數(shù)學(xué)一、二 12分分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) uf,0在在 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且 22yxfz滿足等式滿足等式 02222yzxz（1）驗(yàn)證）驗(yàn)證 ;0 uufuf（2）若）若 ,11,01ff求函數(shù)求函數(shù) uf的表達(dá)式。的表達(dá)式。解解 ;22yxxufxuufxz 2222222222222yxyxxyxufyxxufyxxxz ufuyufux
22、 3222 26蒼松優(yōu)選 ufuxufuyyz 322222再由已知條件，知再由已知條件，知 ufuxufuyufuyufuxyzxz 322232222222 0 uufuf（2）00 ufufuuufuf兩邊求對(duì)兩邊求對(duì)u的不定積分，得的不定積分，得 1Cduufufu 1Cufuduufufudduufufu 1 ufu 2ln1Cuufuuf 則則 uufln由自變量的對(duì)稱性，得由自變量的對(duì)稱性，得 .11C將將 11 f代入上式，得代入上式，得 01 f將將 代入上式，得代入上式，得 .02C.1 ufu則則 27蒼松優(yōu)選定理定理2(充分條件充分條件)則函數(shù)在該點(diǎn)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分可
23、微分.若函數(shù)若函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) y,xfz yz,xz y,x連續(xù)連續(xù),證：證：設(shè)偏導(dǎo)數(shù)在設(shè)偏導(dǎo)數(shù)在 yxP,處連續(xù)。則偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某鄰域內(nèi)必處連續(xù)。則偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的某鄰域內(nèi)必 存在。存在。設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) yyxx ,為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則 yxfyyxfyyxfyyxxfyxfyyxxfz,10,11 xyyxxfyyxfyyxxfx 由拉格朗日中值定理：由拉格朗日中值定理：又又 yxfx,在在 yx,連續(xù)，連續(xù)，時(shí)的無(wú)窮小。時(shí)的無(wú)窮小。是當(dāng)是當(dāng)即即0,0,lim111100yxyxfyyxxfyxfyyxxfxxxxyx xxyxfyyxfyyxxfx 1,。時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)00,01 yx 28蒼松優(yōu)選同理：同理：yyyxfyxfyyxfy 2,。時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)00,02 yx 則：則：yxyyxfxyxfzyx 21 ,2122 yxyxyx 2121即即 oyx 21所以所以 oyyxfxyxfzyx ,29蒼松優(yōu)選
偏導(dǎo)數(shù)與全微分 (1)【基礎(chǔ)教學(xué)】
