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1、第六章 方 差 分 析,,5.1 方差分析的基本原理,上章介紹了一個(gè)或兩個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)方法。本章將介紹k(k3)個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)方法，即方差分析(analysis of variance)。這種方法的基本特點(diǎn)是：將所有k個(gè)樣本的觀察值和平均數(shù)作為一個(gè)整體加以考慮，把觀察值總變異的自由度和平方和分解為不同變異來源的自由度和平方和，進(jìn)而獲得不同變異來源的總體方差估計(jì)值。,其中，扣除了各種試驗(yàn)原因所引起的變異后的剩余變異提供了試驗(yàn)誤差的無偏估計(jì)，作為假設(shè)測驗(yàn)的依據(jù)。,上一章學(xué)習(xí)一個(gè)或兩個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)方法本章將學(xué)習(xí)k3個(gè)樣本平均數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)方法。在k3個(gè)樣本能否用統(tǒng)計(jì)推斷的方法
2、進(jìn)行兩兩測驗(yàn)?zāi)?？回答是不可取的。主要原因是?huì)提高犯第一類錯(cuò)誤的概率。例如，用一對(duì)一比較的方法檢驗(yàn)5個(gè)平均數(shù)之間的相等性，共檢驗(yàn)10對(duì)。假設(shè)每一對(duì)檢驗(yàn)接受無效假設(shè)的概率都是1-=0.95，而且這些檢驗(yàn)都是獨(dú)立的，那末，10對(duì)都接受的概率是0.9510=0.60, =1-0.6=0.40,犯第一類錯(cuò)誤的概率明顯增加。解決這一問題的一種統(tǒng)計(jì)方法，叫做方差分析法。此法將所有k個(gè)樣本的觀察值和平均數(shù)作為一個(gè)整體加以考慮，把觀察值總變異的自由度和平方和分解為不同變異來源的自由度和平方和，進(jìn)而獲得不同變異來源的總體方差估值。計(jì)算這些估值的適當(dāng)?shù)腇值，就測驗(yàn)假設(shè)H0: 1=2=3=k(各總體平均數(shù)相等），方差
3、分析是科學(xué)的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和分析中的一個(gè)十分重要工具。,5.1.1 自由度和平方和的分解,方差是平方和除以自由度的商。要將一個(gè)試驗(yàn)資料的總變異分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)變異，首先必須將總自由度和總平方和分解為各個(gè)變異來源的相應(yīng)部分。因此，自由度和平方和的分解是方差分析的第一步。 下面我們首先用一個(gè)例子來說明這一問題。,例5.1以A、B、C、D4種藥劑處理水稻種子，其中A為對(duì)照，每處理各得4個(gè)苗高觀察值(cm)，試分解其自由度和平方和。,1、總變異 把表中的全部觀察值作為一個(gè)組看待即把4個(gè)處理(4組、每組有4個(gè)觀察值)合并成一組，共有16個(gè)觀察值，根據(jù)前面講過的計(jì)算平方和的公式 ，可以計(jì)算出總變異的平
4、方和和自由度,自由度DFT=nk-1=44-1=15。 表中的每一個(gè)觀察值，即包括有處理的效應(yīng)(不同藥劑對(duì)苗高的影響)又受到誤差的影響。,其中：,稱為矯正數(shù)，用C表示。,2、誤差效應(yīng) 表中處理內(nèi)(組內(nèi))各觀察值之間，若不存在誤差，則各觀察值應(yīng)該相等，由于誤差是客觀存在的，因而處理內(nèi)(組內(nèi))各觀察值之間必然是有差異的，因此，可以用組內(nèi)(處理內(nèi))的差異度量誤差效應(yīng)：,藥劑A內(nèi)：,藥劑B內(nèi)：,藥劑C內(nèi)：,藥劑D內(nèi)：,從理論上講，這4個(gè)誤差平方和除以相應(yīng)的自由度得的誤差均方都可以作為總體誤差方差的無偏估計(jì)值。但是，用它們的加權(quán)平均值來估計(jì)總體誤差方差，則效果更佳。所以：,每個(gè)組內(nèi)(處理內(nèi))的自由度為：
5、n -1=4-1=3,,所以誤差的自由度為：DFe=k(n-1)=4(4-1)=12,3、處理效應(yīng),如果沒有處理效應(yīng)，表中各個(gè)處理(組)平均數(shù),來度量處理效應(yīng)。,從理論上講均應(yīng)該相等， 因此可以用,為了進(jìn)行正確的F 測驗(yàn)，必須使它們都是估,應(yīng)為：,需要注意的是，,系樣本平均數(shù)的方差，,是,的估值，而,則是,的估值,本例中 平方和:602=504+98 自由度： 15=3+12 因此誤差平方和可以采用簡單的辦法計(jì)算 SSe=SST-SSt=602-504=98。 進(jìn)而可得均方：,平方和與自由度的分解歸納為下表,將上述例子推廣到一般，設(shè)有k組數(shù)據(jù)，每組皆具n個(gè)觀察值，則資料共有nk個(gè)觀察值，其數(shù)
6、據(jù)分組如表6.1(P99)。,5.1.2 F分布與F測驗(yàn),一、F 分布 在一個(gè)平均數(shù)為、方差為2的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取兩個(gè)獨(dú)立樣本，分別求,,按上述方法從正態(tài)總體中進(jìn)行一系列抽樣，就可得到一系列的F值而作成一個(gè)F分布。它是具平均數(shù)F=1和取值區(qū)間為0, 的一組曲線；,而某一特定曲線的形狀僅決定于參數(shù)1和2。 F分布下一定區(qū)間的概率可從已制成的統(tǒng)計(jì)表中查出。附表5給出了各種1和2下右尾概率=0.05和=0.01,二、F 測驗(yàn) 在方差分析的體系中，F(xiàn)測驗(yàn)可用于檢測某項(xiàng)變異因素的效應(yīng)或方差是否存在。所以在計(jì)算F值時(shí)，總是將要測驗(yàn)的那一項(xiàng)變異因素的均方作分子，而以另一項(xiàng)變異(如誤差項(xiàng))作分母。,F測
7、驗(yàn)需具備的條件：(1)變數(shù)y遵循N(，2)；,=8.17，具有自由度1=3，2=12。試測驗(yàn)藥劑間變異,是否顯著大于藥劑內(nèi)變異？,假設(shè)H0：,對(duì)HA：,=0.05,查附表5在1=3，2=12時(shí) F0.05=3.49， F0.01=5.95 實(shí)得F F0.01 P0.01,測驗(yàn)計(jì)算：,將例6.1和例6.3的分析結(jié)果歸納在一起，列出方差分析表如下：,水稻藥劑處理苗高方差分析表,,5.2 多重比較,5.2.1 最小顯著差數(shù)法,最小顯著差數(shù)法(least significant differrence，簡稱LSD法),例6.4 試以LSD法測驗(yàn)各種藥劑處理的苗高平均數(shù)之間的差異顯著性。,由附
8、表4，=12時(shí)，t0.05=2.179,t 0.01=3.055 故 LSD0.05=2.1792.02=4.40(cm) LSD0.01=3.0552.02=6.17(cm),不同藥劑處理水稻苗高平均數(shù)比較(LSD法),a,b,c,,,,c,A,,A,,B,,B,,C,,C,5.2.2 q 法,q 測驗(yàn)方法是將k個(gè)平均數(shù)由大到小排列后，根據(jù)所比較的兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)是幾個(gè)平均數(shù)間的極差分別確定最小顯著極差LSR值的。,例6.5 試以q法測驗(yàn)各種藥劑處理的苗高平均數(shù)之間的差異顯著性。,查附表7，得到當(dāng)DF=12時(shí)，p=2,3,4的q值,LSR值,不同藥劑處理水稻苗高平均數(shù)比較(q法),5.
9、2.3 新復(fù)極差法,新復(fù)極差法，又稱最短顯著極差法(shortest significant range)，與q法相似。計(jì)算LSR值查的是SSR值(附表8)而不是q表。,LSR值,1. 標(biāo)記字母法,,,,,,,,A,B,2. 列梯形表法,3. 劃線法,29cm(D) 23cm(B) 18cm(A) 14cm(C),5.2.4 多重比較方法的選擇,1、試驗(yàn)事先確定比較的標(biāo)準(zhǔn)，凡是與對(duì)照相比較，或與預(yù)定要比較的對(duì)象比較，一般可選用最小顯著差數(shù)法LSDa法； 2、根據(jù)否定一個(gè)正確的H0和接受一個(gè)不正確的H0的相對(duì)重要性來決定。 參考以下幾點(diǎn)： 根據(jù)試驗(yàn)的側(cè)重點(diǎn)選擇。三種方法的顯著尺度不相同，L
10、SD法最低，SSR次之，q法最高。故對(duì)于試驗(yàn)結(jié)論事關(guān)重大或有嚴(yán)格要求時(shí)，用q測驗(yàn)，一般試驗(yàn)可采用SSR法。,方差分析的基本步驟： （1）分解平方和與自由度； （2）F測驗(yàn)； （3）平均數(shù)的多重比較。,,5.3 方差分析的線性模型與期望均方,5.3.1 方差分析的線性數(shù)學(xué)模型,方差分析是建立在一定的線性可加模型的基礎(chǔ)上的。所謂線性可加模型是指總體每一個(gè)變量可按其變異的原因分解成若干個(gè)線性組成部分，它是方差分析的基礎(chǔ)。,表6.1數(shù)據(jù)的線性模型可表示為：,式中，為總體平均數(shù)，i為試驗(yàn)處理效應(yīng)，ij為隨機(jī)誤差具有N(0，2)。,在以樣本符號(hào)表示時(shí)，樣本的線性組成為：,,是的無偏估計(jì)值，,5.3.2 期
11、望均方,在線性可加模型中，由于對(duì)i有不同解釋產(chǎn)生了固定模型(I)和隨機(jī)模型(II)。 一、固定模型(fixed model) 指試驗(yàn)的各處理都抽自特定的處理總體，其處理效應(yīng)i=(i- )是一個(gè)固定的常量，我們的目的就在于研究i，所測驗(yàn)的假設(shè)是H0：i=0或H0：i= 。,一般的栽培和飼養(yǎng)試驗(yàn)，如肥料試驗(yàn)、藥效試驗(yàn)、密度試驗(yàn)、飼料試驗(yàn)、品種試驗(yàn)等均屬于固定模型。,例6.8以5個(gè)水稻品種作大區(qū)比較試驗(yàn)，每品種作3次取樣，測定其產(chǎn)量，所得數(shù)據(jù)為單向分組資料。本試驗(yàn)需明確各品種的效應(yīng)，故為固定模型，方差分析和期望均方的參數(shù)列入下表：,5個(gè)水稻品種產(chǎn)量的方差分析與期望均方表,固定模型的處理效應(yīng)（本例為
12、品種效應(yīng)） i屬于固定效應(yīng)，固定效應(yīng)的方差用表示。 固定模型的F測驗(yàn),二、隨機(jī)模型(random model) 指試驗(yàn)中的各處理皆是抽自N(0， )的一組隨機(jī)樣本，因而處理效應(yīng)i是隨機(jī)的，它會(huì)因試驗(yàn)的不同而不同；故我們的目的不在于研究i而在于研究i的變異度。 隨機(jī)模型在遺傳、育種和生態(tài)的研究試驗(yàn)方面有較廣泛的用處。,例6.9研究秈粳雜交F5代系間單株干草重的遺傳變異，隨機(jī)抽取76個(gè)系進(jìn)行試驗(yàn)，每系隨機(jī)取2個(gè)樣品測定干草重（g/株）。因這76個(gè)系是隨機(jī)抽取的樣本，要從這些樣本來估計(jì)F5代系間單株干草重的遺傳變異，故這是隨機(jī)模型。其方差分析的結(jié)果如下：,隨機(jī)模型的F 測驗(yàn),本例中系統(tǒng)內(nèi) MS
13、估計(jì)了2，因而,這是測驗(yàn)處理效應(yīng)的變異度，而不是測驗(yàn)處理效應(yīng)本身。 本例F72.79/17.77=4.09F0.05，說明單株干草重存在遺傳變異。,,5.4 單向分組資料的方差分析,5.4.1 組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析,每組具n個(gè)觀察值的k組數(shù)據(jù)的符號(hào)表,組內(nèi)觀察值數(shù)目相等的單向分組資料的方差分析,例：研究6種氮肥施用法對(duì)小麥的效應(yīng)，每種施肥法種5盆小麥，完全隨機(jī)設(shè)計(jì)。最后測定它們的含氮量（mg）， 試作方差分析,1. 自由度和平方和的分解 自由度： 總變異的自由度=65-1=29處理間的自由度=6-1=5誤差的自由度=6（5-1）=24 平方和： （按照公式進(jìn)行計(jì)算） SS
14、T=45.763 SSt=44.463 SSe=SST-SSt=47.763-44.463=1.300 2. F測驗(yàn)(見下表) 方差分析表,單向分組資料的方差分析,3.各處理平均數(shù)的比較,單向分組資料的方差分析,多重比較結(jié)果：,2、組內(nèi)觀察值數(shù)目不等的單向分組資料的方差分析,其方差分析表為：,方差分析表,設(shè)有K個(gè)處理，每處理中的觀察值數(shù)目分別為n1，n2, , nk的資料，其數(shù)據(jù)類型如表：,例：調(diào)查4種不同類型的水稻田28塊，每田稻縱卷葉螟的百叢蟲口密度如表，問不同類型田的蟲口密度有無差異？,表 4塊稻田的蟲口密度,a.分解自由度 總自由度28-1=27 處理間自由度k-1=3
15、處理內(nèi)自由度27324,b.計(jì)算平方和 C3272283 818.89 SST=x2-C =4 045-3 818.89=226.11 SSt= 1022/7+732/6+802/8+722/7-C=96.13 SSe=SST-SSt=129.98,C.計(jì)算均方,226.111540.13,組間均方,組內(nèi)均方,總均方,96.13332.04,129.98245.42,方差分析表,平方和 自由度 均方 F F0.01 SSt=96.13 3 St2=96.13/3=32.04 St2/ Se2=5.91** 4.72 SSe=129.98 24 S
16、e2=129.98/24=5.42 SST=226.11 27,,,d.計(jì)算F值（列出方差分析表）,,計(jì)算平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤 采用新復(fù)極差法，查SSR表，自由度為12時(shí) 平均數(shù)大小排序、比較,e.多重比較,處理 蟲口密度 顯著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B,,,計(jì)算新的n0值，,,處理 蟲口密度 顯著性 0.05 0.01 A 14.57 a A B 12.17 ab AB D 10.29 b B C 10.0 b B,,,,f.結(jié)論 本
17、試驗(yàn)中不同處理間有極顯著差異(F=5.91F.01(4.72))，其中在.05和.01水平上第1塊田與第3、4田的蟲口密度有顯著差異，其他處理間差異均不顯著。,5.4.2組內(nèi)又分亞組的單向分組資料的方差分析,設(shè)一系統(tǒng)分組資料共有l(wèi)組，每組內(nèi)有m個(gè)亞組，每一亞組內(nèi)有n個(gè)觀察值，則該資料共有l(wèi)mn個(gè)觀察值。其觀察值的線性模型為：,將該線性模型變型得：,等式的左邊是總效應(yīng)，它是由右邊的(1)組間變異；(2)同一組內(nèi)亞組間變異；(3)同一亞組內(nèi)各重復(fù)觀察值間的變異所構(gòu)成。其自由度和平方和的估計(jì)如下：,1、總變異 自由度DFT=lmn-1,2、組間(處理間)變異 自由度DFt=l-1,3、同一
18、組內(nèi)亞組間的變異 自由度,4、亞組內(nèi)變異 自由度,二級(jí)系統(tǒng)分組資料的方差分析,例6.12在溫室內(nèi)以4種培養(yǎng)液(l=4)培養(yǎng)某種作物，每種3盆(m=3)，每盆4株(n=4)，一個(gè)月后測定其株高生長量(mm),結(jié)果如下表，試作方差分析。,一、自由度和平方和分解 總自由度DFT=lmn-1=(434)-1=47 培養(yǎng)液間自由度DFt=l-1=4-1=3 培養(yǎng)液內(nèi)盆間自由度 DFe1=l(m-1)=4(3-1)=8 盆內(nèi)株間自由度 DFe2=lm(n-1)=43(4-1)=36,2、培養(yǎng)液間差異,二、F 測驗(yàn) 1、盆間差異,F=157.81/89.06=1.77 此F值小于1=8,2=36 F
19、0.05=2.22,所以接受H0,推斷：該試驗(yàn)同一培養(yǎng)液內(nèi)盆間的生長量無顯著差異；而不同培養(yǎng)液間的生長量有極顯著的差異。,F=2375.25/157.81=15.05,此F值大于1=3,2=8F0.01=7.59,故否定,方差分析表,三、各培養(yǎng)液平均數(shù)間的比較,4種培養(yǎng)液的LSR值(新復(fù)極差測驗(yàn)),4種培養(yǎng)液植株生長量(mm)的差異顯著性,,5.5 兩向分組資料的方差分析,5.5.1 組合內(nèi)只有單個(gè)觀察值的兩向分組資料的方差分析,設(shè)有A和B兩個(gè)因素，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，每一處理組合僅有一個(gè)觀察值，則全試驗(yàn)共有ab個(gè)觀察值，其資料類型如下表：,觀察值的線性模型為：,因此，總變異可
20、分解成A因素效應(yīng)、B因素效應(yīng)和誤差效應(yīng)三個(gè)部分。其自由度和平方和的分解如下表：,注意：這種類型資料，其誤差項(xiàng)是誤差與互作的混合項(xiàng)。因此只有AB不存在互作時(shí)，才能正確估計(jì)誤差。另外，為提高試驗(yàn)的精確性。誤差自由度不能小于12。,例5.13采用5種生長素處理豌豆，未處理為對(duì)照，待種子發(fā)芽后，分別每盆中移植4株，每組6盆，每盆一個(gè)處理，試驗(yàn)共有4組24盆，并按組排列于溫室中，使同組各盆的環(huán)境條件一致。當(dāng)各盆見第一朵花時(shí)記錄4株豌豆的總節(jié)間數(shù)，結(jié)果見下表，試作方差分析。,(1)自由度和平方和的分解,方差分析表,（2）F測驗(yàn) 組間效應(yīng)：假設(shè),F1.48/2.89 <1,推斷：組間環(huán)境條件無顯著差異，不同
21、生長素處理有顯著差異。,處理間效應(yīng)：假設(shè),F13.17/2.89=4.56,（3）處理間比較 此例有預(yù)先指定的對(duì)照，故用LSD 法。,查得15時(shí)，t0.05=2.131，t0.01=2.947 LSD0.05=1.2022.131=2.56, LSD0.01=1.202 2.947=3.54,5.5.2 組合內(nèi)有重復(fù)觀察值的兩向分組資料方差分析,設(shè)有A、B兩個(gè)試驗(yàn)因素，A因素有a 個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，共有ab個(gè)處理組合，每個(gè)組合有n個(gè)觀察值，則該資料共有abn個(gè)觀察值。如果試驗(yàn)按完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，則其資料類型如下表：,線性模型為：,各變異來源的自由度和平方和的估計(jì)為：,例6.14施用A1、A
22、2、A33種肥料于B1、B2、B33種土壤，以小麥為指示作物，每處理組合種3盆，得產(chǎn)量結(jié)果(g)如下表，試作方差分析。,期望均方,1、自由度和平方和的分解,2、F 測驗(yàn) 將上述結(jié)果及自由度錄于方差分析表中，以固定模型作F測驗(yàn),3、平均數(shù)的比較 (1)各處理組合平均數(shù)的比較,各處理組合平均數(shù)的LSR值,各處理平均數(shù)的新復(fù)極差測驗(yàn),(2)各肥類平均數(shù)的比較,肥類平均數(shù)的LSR測驗(yàn),,5.6 方差分析的基本假定與數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,5.6.1 方差分析的基本假定,1、可加性(additivity) 處理效應(yīng)與環(huán)境效應(yīng)是可加的，如：,2、正態(tài)性(normality) 試驗(yàn)誤差 應(yīng)該是隨機(jī)的、彼此獨(dú)立的，具有平
23、均數(shù)為0而且作正態(tài)分布。,3、同質(zhì)性(homogeneity) 所有試驗(yàn)處理必須具有共同的誤差方差。,5.6.2 數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換,1、平方根轉(zhuǎn)換(square root transformation) 如果樣本平均數(shù)與其方差有比例關(guān)系，則用此轉(zhuǎn)換。,2、對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換(logarithmic transformation) 如果數(shù)據(jù)表現(xiàn)出倍加性，則用此轉(zhuǎn)換。,3、反正弦轉(zhuǎn)換(acrsine transformation) 如果資料系成數(shù)或百分?jǐn)?shù)，則它將作二項(xiàng)分布，而已知這一分布的方差是決定于平均數(shù)p的。所以，在理論上如果p0.7則需要作反正弦轉(zhuǎn)換，以獲得一個(gè)比較一致的方差。,4、用幾個(gè)觀察值的平均數(shù)作方差分析。,
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