2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第7講 函數(shù)的圖象.doc
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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第7講 函數(shù)的圖象 最新考綱 1.理解點的坐標與函數(shù)圖象的關系;2.會利用平移、對稱、伸縮變換,由一個函數(shù)圖象得到另一個函數(shù)的圖象;3.會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程解的個數(shù)與不等式的解的問題. 知 識 梳 理 1.函數(shù)圖象的作法 (1)描點法作圖:通過列表、描點、連線三個步驟,畫出函數(shù)圖象.用描點法在選點時往往選取特殊點,有時也可利用函數(shù)的性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性)畫出圖象. (2)圖象變換法作圖:一個函數(shù)的圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q,得到另一個與之有關的函數(shù)圖象,在高考中要求學生掌握三種變換(平移變換、伸縮變換、對稱變換). 2.函數(shù)圖象間的變換 (1)平移變換 對于平移,往往容易出錯,在實際判斷中可熟記口訣:左加右減,上加下減. (2)對稱變換 (3)伸縮變換 y=f(x)y=f(ax). y=f(x)y=Af(x). 診 斷 自 測 1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“”) 精彩PPT展示 (1)當x∈(0,+∞)時,函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的 圖象相同.() (2)函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)的圖象關于原點對稱.() (3)若函數(shù)y=f(x)滿足f(1+x)=f(1-x),則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱.(√) (4)若函數(shù)y=f(x)滿足f(x-1)=f(x+1),則函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=1對稱.() (5)將函數(shù)y=f(-x)的圖象向右平移1個單位得到函數(shù)y=f(-x-1)的圖象.() 2.(xx浙江卷)在同一直角坐標系中,函數(shù)f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的圖象可能是( ) 解析 ∵a>0,且a≠1,∴f(x)=xa在(0,+∞)上單調(diào)遞增,∴排除A;當0<a<1或a>1時,B,C中f(x)與g(x)的圖象矛盾,故選D. 答案 D 3.(xx山東卷)已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是( ) A.a(chǎn)>1,c>1 B.a(chǎn)>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析 由題圖可知,函數(shù)在定義域內(nèi)為減函數(shù),所以0<a<1.又當x=0時,y>0,即logac>0,所以0<c<1. 答案 D 4.已知函數(shù)f(x)=的圖象與直線y=x恰有三個公共點,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-∞,-1] B.[-1,2) C.[-1,2] D.[2,+∞) 解析 法一 特值法,令m=2,排除C、D,令m=0,排除A,故選B. 法二 令x2+4x+2=x,解得x=-1或x=-2, 所以三個解必須為-1,-2和2,所以有-1≤m<2. 故選B. 答案 B 5.(人教A必修1P112A2)點P從點O出發(fā),按逆時針方向沿周長為l的圖形運動一周,O,P兩點連線的距離y與點P走過的路程x的函數(shù)關系如圖,那么點P所走的圖形是( ) 答案 C 考點一 簡單函數(shù)圖象的作法 【例1】 作出下列函數(shù)的圖象: (1)y=|lg x|;(2)y=. 解 (1)y=|lg x|=作出圖象如圖1. (2)因y=1+,先作出y=的圖象,將其圖象向右平移1個單位,再向上平移1個單位,即得y=的圖象,如圖2. 規(guī)律方法 (1)常見的幾種函數(shù)圖象如二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、形如y=x+(m>0)的函數(shù)是圖象變換的基礎.(2)常握平移變換、伸縮變換、對稱變換規(guī)律,可以幫助我們簡化作圖過程. 【訓練1】 作出下列函數(shù)的圖象: (1)y=2x+2;(2)y=x2-2|x|-1. 解 (1)將y=2x的圖象向左平移2個單位.圖象如圖1.(2)y=圖象如圖2. 考點二 函數(shù)圖象的辨識 【例2】 (1)(xx成都三診)函數(shù)y=的部分圖象大致為( ) (2)函數(shù)f(x)=則y=f(1-x)的圖象是( ) 解析 (1)依題意,注意到當x>0時,22x-1>0,2x|cos 2x|≥0,此時y≥0;當x<0時,22x-1<0,2x|cos2x|≥0,此時y≤0,結(jié)合各選項知,故選A. (2)畫出y=f(x)的圖象,再作其關于y軸對稱的圖象,得到y(tǒng)=f(-x)的圖象,再將所得圖象向右平移1個單位,得到y(tǒng)=f[-(x-1)]=f(-x+1)的圖象. 答案 (1)A (2)C 規(guī)律方法 函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手:(1)從函數(shù)的定義域,判斷圖象的左右位置;從函數(shù)的值域,判斷圖象的上下位置;(2)從函數(shù)的單調(diào)性,判斷圖象的變化趨勢;(3)從函數(shù)的奇偶性,判斷圖象的對稱性;(4)從函數(shù)的特征點,排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項. 【訓練2】 函數(shù)f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的圖象大致為( ) 解析 因為f(-x)=[1-cos(-x)]sin(-x)=-(1-cos x)sin x=-f(x),所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,排除B;當x∈(0,π)時,1-cos x>0,sin x>0,所以f(x)>0,排除A;又函數(shù)f(x)的導函數(shù)f′(x)=sin2x-cos2x+cos x,所以f′(0)=0,排除D,故選C. 答案 C 考點三 函數(shù)圖象的應用 【例3】 (1)函數(shù)f(x)=2ln x的圖象與函數(shù)g(x)=x2-4x+5的圖象的交點個數(shù)為( ) A.3 B.2 C.1 D.0 (2)已知函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=kx-2的圖象恰有兩個交點,則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析 (1)在同一直角坐標系下畫出函數(shù)f(x)=2ln x與函數(shù)g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的圖象,如圖所示. ∵f(2)=2ln 2>g(2)=1,∴f(x)與g(x)的圖象的交點個數(shù)為2,故選B. (2)根據(jù)絕對值的意義,y== 在直角坐標系中作出該函數(shù)的圖象,如圖中實線所示.根據(jù)圖象可知,當0<k<1或1<k<4時有兩個交點. 答案 (1)B (2)(0,1)∪(1,4) 規(guī)律方法 利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題,如判斷方程是否有解,有多少個解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法. 【訓練3】 (1)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當x∈[-1,1]時,f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象的交點共有( ) A.10個 B.9個 C.8個 D.7個 (2)(xx黃岡調(diào)研)設函數(shù)f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,對于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是________ . 解析 (1)根據(jù)f(x)的性質(zhì)及f(x)在[-1,1]上的解析式可作圖如下 可驗證當x=10時,y=|lg 10|=1;當x>10時,|lg x|>1. 因此結(jié)合圖象及數(shù)據(jù)特點知y=f(x)與y=|lg x|的圖象交點共有10個. (2)如圖,要使f(x)≥g(x)恒成立,則-a≤1, ∴a≥-1. 答案 (1)A (2)[-1,+∞) 微型專題 函數(shù)圖象的對稱性問題 函數(shù)圖象的對稱性反映了函數(shù)的特性,是研究函數(shù)性質(zhì)的一個重要方面,它包含一個函數(shù)圖象自身的對稱性和兩個函數(shù)圖象之間的對稱性,其中兩個函數(shù)圖象之間對稱性的實質(zhì)是兩個函數(shù)圖象上的對應點之間的對稱性,所以問題的關鍵在于找到對應點的坐標之間的對稱性,可取同一個y值,尋找它們橫坐標之間的對稱性或者取同一個x值,尋找它們縱坐標之間的對稱性. 例4 下列說法中,正確命題的個數(shù)為( ) ①函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(x)的圖象關于直線y=0對稱; ②函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=-f(-x)的圖象關于坐標原點對稱; ③如果函數(shù)y=f(x)對于一切x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),那么y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱; ④函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關于直線x=1對稱. A.1 B.2 C.3 D.4 點撥 先注意區(qū)別是一個函數(shù)圖象自身的對稱還是兩個函數(shù)圖象之間的對稱,再根據(jù)函數(shù)圖象關于坐標軸、原點或一條垂直于x軸的直線對稱所滿足的條件逐個分析判斷. 解析 對于①,把函數(shù)y=f(x)中的y換成-y,x保持不變,得到的函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關于x軸對稱;對于②,把函數(shù)y=f(x)中的x換成-x,y換成-y,得到的函數(shù)的圖象與原函數(shù)的圖象關于原點對稱;對于③,若對于一切x∈R,都有f(a+x)=f(a-x),則f(x)的圖象關于直線x==a對稱;對于④,因為函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關于y軸對稱,它們的圖象分別向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象;即y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象關于直線x=1對稱. 答案 D 點評 本題的難點在于對函數(shù)圖象的各種對稱的正確理解,熟練掌握這些基礎知識是化解難點的關鍵.在復習備考中要對函數(shù)圖象的各種對稱進行總結(jié). [思想方法] 1.列表描點法是作函數(shù)圖象的輔助手段,要作函數(shù)圖象首先要明確函數(shù)圖象的位置和形狀:(1)可通過研究函數(shù)的性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、周期性、單調(diào)性等;(2)可通過函數(shù)圖象的變換如平移變換、對稱變換、伸縮變換等;(3)可通過方程的同解變形,如作函數(shù)y=的圖象. 2.合理處理識圖題與用圖題 (1)識圖 對于給定函數(shù)的圖象,要從圖象的左右、上下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性,注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系. (2)用圖 要用函數(shù)的思想指導解題,即方程的問題函數(shù)解(方程的根即相應函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,或是方程變形后,等式兩端相對應的兩函數(shù)圖象交點的橫坐標),不等式的問題函數(shù)解(不等式的解集即一個函數(shù)圖象在另一個函數(shù)圖象的上方或下方時的相應x的范圍). [易錯防范] 1.用描點法作函數(shù)圖象時,要注意取點合理,并用“平滑”的曲線連接,作完后要向兩端伸展一下,以表示在整個定義域上的圖象. 2.要注意一個函數(shù)的圖象自身對稱和兩個不同的函數(shù)圖象對稱的區(qū)別. 基礎鞏固題組 (建議用時:40分鐘) 一、選擇題 1.(xx保定模擬)函數(shù)y=21-x的大致圖象為( ) 解析 y=21-x=x-1,因為0<<1,所以y=x-1為減函數(shù),取x=0時,則y=2,故選A. 答案 A 2.函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的圖象大致是( ) 解析 函數(shù)f(x)=ln(x2+1)的定義域為(-∞,+∞),又因為f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù)且f(0)=ln 1=0,綜上選A. 答案 A 3.為了得到函數(shù)y=lg的圖象,只需把函數(shù)y=lg x的圖象上所有的點( ) A.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度 B.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度 C.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度 D.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度 解析 y=lg=lg(x+3)-1,將y=lg x的圖象向左平移3個單位長度得到y(tǒng)=lg(x+3)的圖象,再向下平移1個單位長度,得到y(tǒng)=lg(x+3)-1的圖象. 答案 C 4.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范圍是( ) A.(-1,0) B.[-1,0) C.(-2,0) D.[-2,0) 解析 在同一坐標系內(nèi)作出y=log2(-x),y=x+1的圖象,知滿足條件的x∈(-1,0),故選A. 答案 A 5.函數(shù)y=的圖象可能是( ) 解析 法一 函數(shù)y=的圖象過點(e,1),排除C,D;函數(shù)y=的圖象過點(-e,-1),排除A. 法二 由已知,設f(x)=,則f(-x)=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),排除A,C,當x>0時,f(x)=ln x在(0,+∞)上為增函數(shù),排除D. 答案 B 二、填空題 6.函數(shù)f(x)的圖象向右平移1個單位長度,所得圖象與曲線y=ex關于y軸對稱,則f(x)=________. 解析 與y=ex圖象關于y軸對稱的函數(shù)為y=e-x,依題意,f(x)圖象向右平移一個單位,得y=e-x的圖象.∴f(x)的圖象可由y=e-x的圖象向左平移一個單位得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 答案 e-x-1 7.若方程|ax|=x+a(a>0)有兩個解,則a的取值范圍是________. 解析 畫出y=|ax|與y=x+a的圖象,如圖.只需a>1. 答案 (1,+∞) 8.(xx長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=且關于x的方程f(x)-a=0有兩個實根,則實數(shù)a的范圍是________. 解析 當x≤0時,0<2x≤1,所以由圖象可知要使方程f(x)-a=0有兩個實根,即函數(shù)y=f(x)與y=a的圖象有兩個交點,所以由圖象可知0<a≤1. 答案 (0,1] 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=. (1)畫出f(x)的草圖;(2)指出f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)f(x)==1-,函數(shù)f(x)的圖象是由反比例函數(shù)y=-的圖象向左平移1個單位后,再向上平移1個單位得到,圖象如圖所示. (2)由圖象可以看出,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(-1,+∞). 10.已知函數(shù)f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,并指出其增減性; (2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四個不相等的實根}. 解 f(x)= 作出函數(shù)圖象如圖. (1)函數(shù)的增區(qū)間為[1,2],[3,+∞);函數(shù)的減區(qū)間為(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐標系中作出y=f(x)和y=m的圖象,使兩函數(shù)圖象有四個不同的交點(如圖).由圖知0<m<1, ∴M={m|0<m<1}. 能力提升題組 (建議用時:25分鐘) 11.已知函數(shù)f(x)=則對任意x1,x2∈R,若0<|x1|<|x2|,下列不等式成立的是( ) A.f(x1)+f(x2)<0 B.f(x1)+f(x2)>0 C.f(x1)-f(x2)>0 D.f(x1)-f(x2)<0 解析 函數(shù)f(x)的圖象如圖所示: 且f(-x)=f(x),從而函數(shù)f(x)是偶函數(shù)且在[0,+∞)上是增函數(shù). 又0<|x1|<|x2|, ∴f(x2)>f(x1), 即f(x1)-f(x2)<0. 答案 D 12.函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx (-2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 令1-x=t,則x=1-t. 由-2≤x≤4,知-2≤1-t≤4, 所以-3≤t≤3. 又y=2sin πx=2sin π(1-t)=2sin πt. 在同一坐標系下作出y=和y=2sin πt的圖象. 由圖可知兩函數(shù)圖象在[-3,3]上共有8個交點,且這8個交點兩兩關于原點對稱. 因此這8個交點的橫坐標的和為0,即t1+t2+…+t8=0. 也就是1-x1+1-x2+…+1-x8=0, 因此x1+x2+…+x8=8. 答案 D 13.已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù),當x∈[0,1]時,f(x)=x,且在[-1,3]內(nèi),關于x的方程f(x)=kx+k+1(k∈R,k≠-1)有四個根,則k的取值范圍是________. 解析 由題意作出f(x)在[-1,3]上的示意圖如圖, 記y=k(x+1)+1, ∴函數(shù)y=k(x+1)+1的圖象過定點A(-1,1). 記B(2,0),由圖象知,方程有四個根, 即函數(shù)y=f(x)與y=kx+k+1的圖象有四個交點, 故kAB<k<0,kAB==-,∴-<k<0. 答案 14.已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x++2的圖象關于點A(0,1)對稱. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)設f(x)圖象上任一點P(x,y),則點P關于(0,1)點的對稱點P′(-x,2-y)在h(x)的圖象上, 即2-y=-x-+2,∴y=f(x)=x+(x≠0). (2)g(x)=f(x)+=x+,g′(x)=1-. ∵g(x)在(0,2]上為減函數(shù), ∴1-≤0在(0,2]上恒成立,即a+1≥x2在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4,即a≥3,故a的取值范圍是[3,+∞).- 配套講稿:
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