2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 冪函數(shù)教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3 冪函數(shù)教案 新人教A版必修1 【教學(xué)目標(biāo)】 【知識(shí)與技能】 1. 理解冪函數(shù)的概念. 2. 通過(guò)具體實(shí)例研究?jī)绾瘮?shù)的圖象和性質(zhì)，并初步進(jìn)行應(yīng)用. 【過(guò)程與方法】 通過(guò)對(duì)冪函數(shù)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步熟練掌握研究函數(shù)的一般思想方法. 【情感、態(tài)度價(jià)值觀】 1. 進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想方法. 2. 體會(huì)冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的性質(zhì). 3. 通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與作圖、分析圖象，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神。 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 重點(diǎn)：通過(guò)六個(gè)具體的冪函數(shù)認(rèn)識(shí)概念，研究性質(zhì)，體會(huì)圖象的變化規(guī)律． 難點(diǎn)：畫(huà)六個(gè)冪函數(shù)的圖象并由圖象概括冪函數(shù)的一般性質(zhì). 【突破方式】 教師引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手作圖、媒體演示多個(gè)冪函數(shù)圖象，深化學(xué)生對(duì)圖象的直觀認(rèn)識(shí)；觀察冪函數(shù)圖象，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)冪函數(shù)性質(zhì)的理解和記憶. 【教學(xué)策略】 【教學(xué)順序】 復(fù)習(xí)引入 歸納定義 研究圖象 歸納性質(zhì) 應(yīng)用性質(zhì). 【教學(xué)方法與手段】 1．采用師生互動(dòng)的方式，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)思考、交流、討論，理解冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，體驗(yàn)自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性與主動(dòng)性. 2．利用投影儀及計(jì)算機(jī)輔助教學(xué). 【教學(xué)過(guò)程】 創(chuàng)設(shè)情境 前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)定義，研究了函數(shù)的一般性質(zhì)，并且研究了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù).函數(shù)這個(gè)大家庭有很多成員，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.它們?cè)跀?shù)學(xué)中的都承擔(dān)著各自的任務(wù)，每個(gè)成員又都有它們各自鮮活的個(gè)性.今天，我們利用研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究方法，再來(lái)認(rèn)識(shí)一位新成員. 請(qǐng)將下列問(wèn)題中的y表示成x的函數(shù). 1. 如果張紅購(gòu)買(mǎi)了每千克1元的水果x千克，那么她需要支付y= x 元; 2. 如果正方形的邊長(zhǎng)為x，那么正方形的面積y= x2 ; 3. 如果立方體的邊長(zhǎng)為x，那么立方體的體積y= x3 ; 4. 如果一個(gè)正方形場(chǎng)地的面積為x，那么這個(gè)正方形場(chǎng)地的邊長(zhǎng)y=; 5. 如果某人以x m3/s的速度向蓄水池注入了體積為1m3的水，那么他注水的時(shí)間y= x -1 s. 請(qǐng)大家看如下問(wèn)題. （板書(shū)：） 思考： 1. 以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個(gè)數(shù)學(xué)模型，你能發(fā)現(xiàn)幾個(gè)解析式結(jié)構(gòu)上的共同特征嗎？ 2. 根據(jù)我們學(xué)習(xí)的函數(shù)的概念，你能否判斷它們能否構(gòu)成函數(shù)？是我們學(xué)習(xí)過(guò)得哪類(lèi)函數(shù) ？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個(gè)恰當(dāng)?shù)拿郑? (抽取這幾個(gè)解析式的共同特征：我們能夠發(fā)現(xiàn)它們的右端都是冪的形式，并且底數(shù)是自變量x，冪指數(shù)是常數(shù) 。如果可以用希臘字母代替其中的冪指數(shù)，那么上述幾個(gè)解析式我們可以寫(xiě)成的形式，這種形式的函數(shù)就是冪函數(shù).)（板書(shū)課題：冪函數(shù)） 探究新知 冪函數(shù)的定義（形式定義） 一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中是常數(shù). 自變量x是冪的底數(shù)，換句話(huà)說(shuō)，冪的底數(shù)是自變量x，冪指數(shù)是個(gè)常數(shù)，冪的系數(shù)是1，符合上述形式的函數(shù)，就是冪函數(shù). 請(qǐng)同學(xué)們舉出一個(gè)具體的冪函數(shù). 從引例和同學(xué)們剛才舉的例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)，冪指數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù). 課堂練習(xí) 1．指出下列函數(shù)中的冪函數(shù). 探究新知 按照從特殊到一般的原則，我們先來(lái)研究幾個(gè)具有代表意義的冪函數(shù). 請(qǐng)同學(xué)們用描點(diǎn)法在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出上述函數(shù)的圖象.我們?cè)谇懊娴恼n程中已經(jīng)研究過(guò)了函數(shù)與的性質(zhì)，它們的圖象已經(jīng)呈現(xiàn)在坐標(biāo)紙中了，在這里，我們只畫(huà)出余下四個(gè)函數(shù)的圖象.（時(shí)間關(guān)系，分四組） 根據(jù)手里作出的圖象，以小組為單位對(duì)照函數(shù)圖象，討論以下四個(gè)問(wèn)題： 1.描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象的步驟；（列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)） 2.互相檢查函數(shù)圖象的畫(huà)法，圖象是否一致； 3.討論在畫(huà)圖象過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題； 4.探究?jī)绾瘮?shù)圖象的變化規(guī)律，歸納冪函數(shù)的性質(zhì). 通過(guò)剛才觀察同學(xué)們作圖，其中幾個(gè)同學(xué)的圖象特別規(guī)范，請(qǐng)看. 變化趨勢(shì). 首先可以很明顯的看到，上述六個(gè)冪函數(shù)的圖象都過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)（1，1）. （一邊分析函數(shù)圖象的特征，一邊總結(jié)函數(shù)性質(zhì)，填寫(xiě)表格.） 定義域 R R R [0，+∞） 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） （0，+∞） 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 奇函數(shù) 偶函數(shù) 單調(diào)性 遞增 （-∞，0）減 遞增 [0，+∞）增 （-∞，0）減 （-∞，0）增 （0，+∞）增 （0，+∞）減 （0，+∞）減 定點(diǎn) （1，1） 從這些函數(shù)的圖象我們可以看到，冪函數(shù)隨著冪指數(shù)的取值不同，它們的性質(zhì)和圖象也存在著差異，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)這個(gè)表格，尋找這6個(gè)冪函數(shù)的共性？ 定義域不同，但有公共區(qū)間（0，+∞）. 為了更好地觀察函數(shù)圖象特征，總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì)，我們把6個(gè)冪函數(shù)的圖象畫(huà)在同一平面直角坐標(biāo)系中.（這是冪函數(shù)……的圖象……） 總結(jié)性質(zhì) 雖然這6個(gè)冪函數(shù)圖象所分布的象限不同，但是我們還是不難發(fā)現(xiàn)它們共同的特征.這6個(gè)冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）. 注意到這6個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的單調(diào)性的差異，我們來(lái)觀察當(dāng)時(shí)的函數(shù)圖象，（演示幾何畫(huà)板，隱藏時(shí)圖象）很明顯，它們的圖象除了過(guò)點(diǎn)（1，1）外，還過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)． 再來(lái)觀察當(dāng)時(shí)的函數(shù)圖象，（演示幾何畫(huà)板，顯示時(shí)圖象，隱藏時(shí)圖象）冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)自變量取值從右邊趨于0時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地靠近軸，但不與軸相交，當(dāng)自變量取值趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地靠近軸，但不與軸相交． 演示畫(huà)板，改變冪指數(shù)的值，觀察函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，不難發(fā)現(xiàn)，所有冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；當(dāng)冪指數(shù)時(shí)，冪函數(shù)都過(guò)原點(diǎn)，在上是增函數(shù)；當(dāng)冪指數(shù)時(shí)，在上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向于0時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸． 性質(zhì)總結(jié)如下： 在（0,+∞）有定義，圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）； 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 圖象過(guò)原點(diǎn) 在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向于0時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地逼近軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地逼近軸． 下面我們應(yīng)用冪函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題. 例題解析 例1 比較下列兩個(gè)代數(shù)式值的大?。? 分析：觀察所給的兩個(gè)代數(shù)式，都是冪的形式.又因?yàn)閮缰笖?shù)相同，而底數(shù)不同，所以想到要利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決此類(lèi)問(wèn)題. （1）解：考察冪函數(shù)，因?yàn)樵冢?，+∞）上單調(diào)遞增，而且2.3<2.4,所以 . 以下各題同理可解： 例2 討論函數(shù)的定義域、奇偶性，作出它的圖象，并根據(jù)圖象說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性． 解：要使有意義，x可以取任意實(shí)數(shù)， 故函數(shù)定義域?yàn)镽． ∵f（－x）＝＝f（x）， ∴函數(shù)是偶函數(shù)； x 0 1 2 3 4 … 0 1 1.59 2.08 2.52 … 其圖象如右圖所示． 冪函數(shù)在［0，＋）上單調(diào)遞增，在（－∞，0）上單調(diào)遞減． 思考與討論 冪函數(shù)，當(dāng)（正奇數(shù)）時(shí)，函數(shù)有哪些性質(zhì)？ （演示畫(huà)板）定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽，是奇函數(shù)，在（-∞，+∞）上是增函數(shù). 當(dāng)（正偶數(shù)）時(shí)，這類(lèi)冪函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，留做同學(xué)們課下討論. 課堂練習(xí) 2．冪函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.答案： 3．的大小關(guān)系是________.答案a>b>c 歸納小結(jié) 本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪函數(shù)的定義，通過(guò)作出6個(gè)具有代表意義的冪函數(shù)的圖象，歸納總結(jié)冪函數(shù)的共同性質(zhì)，這也是我們研究函數(shù)的一般思想方法. 布置作業(yè) 作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象討論這個(gè)函數(shù)有哪些性質(zhì)，并給出證明. 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，相信冪函數(shù)已經(jīng)在大家的頭腦中留下十分深刻的印象.最后，讓我們?cè)谟茡P(yáng)的音樂(lè)聲中給大家展示一個(gè)數(shù)學(xué)公式，這是作為基本初等函數(shù)的冪函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，用含有階乘的冪指數(shù)是正整數(shù)的冪函數(shù)形式來(lái)表示——泰勒公式.