2019-2020年高中數(shù)學 2.3 冪函數(shù)教案 新人教A版必修1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 2.3 冪函數(shù)教案 新人教A版必修1 【教學目標】 【知識與技能】 1. 理解冪函數(shù)的概念. 2. 通過具體實例研究冪函數(shù)的圖象和性質，并初步進行應用. 【過程與方法】 通過對冪函數(shù)的學習，使學生進一步熟練掌握研究函數(shù)的一般思想方法. 【情感、態(tài)度價值觀】 1. 進一步滲透數(shù)形結合、分類討論的思想方法. 2. 體會冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊含其中的性質. 3. 通過引導學生主動參與作圖、分析圖象，培養(yǎng)學生的探索精神。 【重點難點】 重點：通過六個具體的冪函數(shù)認識概念，研究性質，體會圖象的變化規(guī)律． 難點：畫六個冪函數(shù)的圖象并由圖象概括冪函數(shù)的一般性質. 【突破方式】 教師引導學生動手作圖、媒體演示多個冪函數(shù)圖象，深化學生對圖象的直觀認識；觀察冪函數(shù)圖象，歸納冪函數(shù)的性質，加強學生對冪函數(shù)性質的理解和記憶. 【教學策略】 【教學順序】 復習引入 歸納定義 研究圖象 歸納性質 應用性質. 【教學方法與手段】 1．采用師生互動的方式，在教師的引導下，學生通過思考、交流、討論，理解冪函數(shù)的定義和性質，體驗自主探索、合作交流的學習方式，充分發(fā)揮學生的積極性與主動性. 2．利用投影儀及計算機輔助教學. 【教學過程】 創(chuàng)設情境 前面我們學習了函數(shù)定義，研究了函數(shù)的一般性質，并且研究了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù).函數(shù)這個大家庭有很多成員，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.它們在數(shù)學中的都承擔著各自的任務，每個成員又都有它們各自鮮活的個性.今天，我們利用研究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的研究方法，再來認識一位新成員. 請將下列問題中的y表示成x的函數(shù). 1. 如果張紅購買了每千克1元的水果x千克，那么她需要支付y= x 元; 2. 如果正方形的邊長為x，那么正方形的面積y= x2 ; 3. 如果立方體的邊長為x，那么立方體的體積y= x3 ; 4. 如果一個正方形場地的面積為x，那么這個正方形場地的邊長y=; 5. 如果某人以x m3/s的速度向蓄水池注入了體積為1m3的水，那么他注水的時間y= x -1 s. 請大家看如下問題. （板書：） 思考： 1. 以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個數(shù)學模型，你能發(fā)現(xiàn)幾個解析式結構上的共同特征嗎？ 2. 根據(jù)我們學習的函數(shù)的概念，你能否判斷它們能否構成函數(shù)？是我們學習過得哪類函數(shù) ？如果不是，你能否根據(jù)該函數(shù)的特征給它起個恰當?shù)拿郑? (抽取這幾個解析式的共同特征：我們能夠發(fā)現(xiàn)它們的右端都是冪的形式，并且底數(shù)是自變量x，冪指數(shù)是常數(shù) 。如果可以用希臘字母代替其中的冪指數(shù)，那么上述幾個解析式我們可以寫成的形式，這種形式的函數(shù)就是冪函數(shù).)（板書課題：冪函數(shù)） 探究新知 冪函數(shù)的定義（形式定義） 一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是常數(shù). 自變量x是冪的底數(shù)，換句話說，冪的底數(shù)是自變量x，冪指數(shù)是個常數(shù)，冪的系數(shù)是1，符合上述形式的函數(shù)，就是冪函數(shù). 請同學們舉出一個具體的冪函數(shù). 從引例和同學們剛才舉的例子中，我們可以發(fā)現(xiàn)，冪指數(shù)可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)一樣，都是基本初等函數(shù). 課堂練習 1．指出下列函數(shù)中的冪函數(shù). 探究新知 按照從特殊到一般的原則，我們先來研究幾個具有代表意義的冪函數(shù). 請同學們用描點法在平面直角坐標系中畫出上述函數(shù)的圖象.我們在前面的課程中已經(jīng)研究過了函數(shù)與的性質，它們的圖象已經(jīng)呈現(xiàn)在坐標紙中了，在這里，我們只畫出余下四個函數(shù)的圖象.（時間關系，分四組） 根據(jù)手里作出的圖象，以小組為單位對照函數(shù)圖象，討論以下四個問題： 1.描點法畫函數(shù)圖象的步驟；（列表、描點、連線） 2.互相檢查函數(shù)圖象的畫法，圖象是否一致； 3.討論在畫圖象過程中出現(xiàn)的問題； 4.探究冪函數(shù)圖象的變化規(guī)律，歸納冪函數(shù)的性質. 通過剛才觀察同學們作圖，其中幾個同學的圖象特別規(guī)范，請看. 變化趨勢. 首先可以很明顯的看到，上述六個冪函數(shù)的圖象都過同一個定點（1，1）. （一邊分析函數(shù)圖象的特征，一邊總結函數(shù)性質，填寫表格.） 定義域 R R R [0，+∞） 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） （0，+∞） 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 奇函數(shù) 偶函數(shù) 單調(diào)性 遞增 （-∞，0）減 遞增 [0，+∞）增 （-∞，0）減 （-∞，0）增 （0，+∞）增 （0，+∞）減 （0，+∞）減 定點 （1，1） 從這些函數(shù)的圖象我們可以看到，冪函數(shù)隨著冪指數(shù)的取值不同，它們的性質和圖象也存在著差異，請同學們根據(jù)這個表格，尋找這6個冪函數(shù)的共性？ 定義域不同，但有公共區(qū)間（0，+∞）. 為了更好地觀察函數(shù)圖象特征，總結冪函數(shù)的性質，我們把6個冪函數(shù)的圖象畫在同一平面直角坐標系中.（這是冪函數(shù)……的圖象……） 總結性質 雖然這6個冪函數(shù)圖象所分布的象限不同，但是我們還是不難發(fā)現(xiàn)它們共同的特征.這6個冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，圖象都過點（1，1）. 注意到這6個冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的單調(diào)性的差異，我們來觀察當時的函數(shù)圖象，（演示幾何畫板，隱藏時圖象）很明顯，它們的圖象除了過點（1，1）外，還過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)． 再來觀察當時的函數(shù)圖象，（演示幾何畫板，顯示時圖象，隱藏時圖象）冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當自變量取值從右邊趨于0時，圖象在軸右方無限地靠近軸，但不與軸相交，當自變量取值趨于時，圖象在軸上方無限地靠近軸，但不與軸相交． 演示畫板，改變冪指數(shù)的值，觀察函數(shù)圖象的變化趨勢，不難發(fā)現(xiàn)，所有冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；當冪指數(shù)時，冪函數(shù)都過原點，在上是增函數(shù)；當冪指數(shù)時，在上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向于0時，圖象在軸右方無限地逼近軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸． 性質總結如下： 在（0,+∞）有定義，圖象過點（1,1）； 在上是增函數(shù) 在上是減函數(shù) 圖象過原點 在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向于0時，圖象在軸右方無限地逼近軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸． 下面我們應用冪函數(shù)的性質來解決問題. 例題解析 例1 比較下列兩個代數(shù)式值的大?。? 分析：觀察所給的兩個代數(shù)式，都是冪的形式.又因為冪指數(shù)相同，而底數(shù)不同，所以想到要利用冪函數(shù)的性質解決此類問題. （1）解：考察冪函數(shù)，因為在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而且2.3<2.4,所以 . 以下各題同理可解： 例2 討論函數(shù)的定義域、奇偶性，作出它的圖象，并根據(jù)圖象說明函數(shù)的單調(diào)性． 解：要使有意義，x可以取任意實數(shù)， 故函數(shù)定義域為R． ∵f（－x）＝＝f（x）， ∴函數(shù)是偶函數(shù)； x 0 1 2 3 4 … 0 1 1.59 2.08 2.52 … 其圖象如右圖所示． 冪函數(shù)在［0，＋）上單調(diào)遞增，在（－∞，0）上單調(diào)遞減． 思考與討論 冪函數(shù)，當（正奇數(shù)）時，函數(shù)有哪些性質？ （演示畫板）定義域為R，值域為R，是奇函數(shù)，在（-∞，+∞）上是增函數(shù). 當（正偶數(shù)）時，這類冪函數(shù)的性質和特點，留做同學們課下討論. 課堂練習 2．冪函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.答案： 3．的大小關系是________.答案a>b>c 歸納小結 本節(jié)課我們學習了冪函數(shù)的定義，通過作出6個具有代表意義的冪函數(shù)的圖象，歸納總結冪函數(shù)的共同性質，這也是我們研究函數(shù)的一般思想方法. 布置作業(yè) 作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象討論這個函數(shù)有哪些性質，并給出證明. 通過本節(jié)課的學習，相信冪函數(shù)已經(jīng)在大家的頭腦中留下十分深刻的印象.最后，讓我們在悠揚的音樂聲中給大家展示一個數(shù)學公式，這是作為基本初等函數(shù)的冪函數(shù)在高等數(shù)學中的應用，用含有階乘的冪指數(shù)是正整數(shù)的冪函數(shù)形式來表示——泰勒公式.